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5. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\ 3 - 2x ＞ 0\end{cases}$的整数解共有6个，则$a$的取值范围是 （ ）
A.$-5 ＜ a ＜ -4$
B.$-5 ＜ a ≤ -4$
C.$-5 ≤ a ＜ -4$
D.$-5 ≤ a ≤ -4$
A.$-5 ＜ a ＜ -4$
B.$-5 ＜ a ≤ -4$
C.$-5 ≤ a ＜ -4$
D.$-5 ≤ a ≤ -4$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集。结合“整数解共有6个”的条件，先从解集的上限出发找出所有符合的整数解，再根据整数解的范围反推参数a的取值范围，验证端点值是否能取到即可得到正确结果。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$x - a ＞ 0$，移项得：$x ＞ a$；
解不等式$3 - 2x ＞ 0$，移项得$-2x ＞ -3$，两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$x ＜ 1.5$。
第二步：得到不等式组的解集
两个不等式的公共解集为：$a ＜ x ＜ 1.5$。
第三步：确定整数解，推导a的范围
小于1.5的整数从大到小依次为1、0、-1、-2、-3、-4，共6个，刚好符合题目要求的整数解数量。
因此$x$必须能取到$-4$，且不能取到$-5$：
若$a ＜ -5$，则$x ＞ a$会包含整数$-5$，整数解变为7个，不符合要求；
若$a ≥ -4$，则$x ＞ a$无法取到$-4$，整数解变为5个，不符合要求。
综上可得$a$的取值范围是$-5 ≤ a ＜ -4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，核心难点是端点值的取舍，解题时可通过代入端点值验证是否符合题意，避免出现多取或漏取端点的错误。
【难度系数】
0.6
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集。结合“整数解共有6个”的条件，先从解集的上限出发找出所有符合的整数解，再根据整数解的范围反推参数a的取值范围，验证端点值是否能取到即可得到正确结果。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
解不等式$x - a ＞ 0$，移项得：$x ＞ a$；
解不等式$3 - 2x ＞ 0$，移项得$-2x ＞ -3$，两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$x ＜ 1.5$。
第二步：得到不等式组的解集
两个不等式的公共解集为：$a ＜ x ＜ 1.5$。
第三步：确定整数解，推导a的范围
小于1.5的整数从大到小依次为1、0、-1、-2、-3、-4，共6个，刚好符合题目要求的整数解数量。
因此$x$必须能取到$-4$，且不能取到$-5$：
若$a ＜ -5$，则$x ＞ a$会包含整数$-5$，整数解变为7个，不符合要求；
若$a ≥ -4$，则$x ＞ a$无法取到$-4$，整数解变为5个，不符合要求。
综上可得$a$的取值范围是$-5 ≤ a ＜ -4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，核心难点是端点值的取舍，解题时可通过代入端点值验证是否符合题意，避免出现多取或漏取端点的错误。
【难度系数】
0.6
6. 自编一个解集为 $ x ≥ 2 $ 的一元一次不等式组：.
答案
6. $\begin{cases} x + 1 ＞ -1, \\ x - 1 \ge 1 \end{cases}$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确题目要求：需要构造的是一元一次不等式组，且解集为$x\ge2$。我们可以利用不等式组解集的“同大取大”原则来构造：只要两个一元一次不等式的解集的公共部分是$x\ge2$即可。第一步，先构造一个解集恰好为$x\ge2$的一元一次不等式，可通过对$x\ge2$运用不等式的性质变形得到；第二步，再构造另一个一元一次不等式，它的解集要包含$x\ge2$（也就是解集是$x$大于任意比2小的数），这样两个不等式的公共解集就是$x\ge2$。
【解析】
1. 构造第一个不等式：对$x\ge2$两边同时减1，可得$x-1\ge1$，解这个不等式得$x\ge2$，满足解集要求。
2. 构造第二个不等式：我们取解集为$x＞-2$（$-2＜2$，该范围包含$x\ge2$），对$x＞-2$两边同时加1，可得$x+1＞-1$，解这个不等式得$x＞-2$。
3. 将两个不等式联立组成不等式组，其公共解集为$x\ge2$，符合题目要求。
注：还有其他构造方式，只要满足一元一次不等式组、解集为$x\ge2$均正确。
【答案】
$\begin{cases} x + 1 ＞ -1, \\ x - 1 \ge 1 \end{cases}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元一次不等式组的概念
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查一元一次不等式组解集的逆向应用，熟练掌握不等式组解集的判定口诀就能快速解题，答案不唯一，只要符合要求即可。
【难度系数】
0.8
首先明确题目要求：需要构造的是一元一次不等式组，且解集为$x\ge2$。我们可以利用不等式组解集的“同大取大”原则来构造：只要两个一元一次不等式的解集的公共部分是$x\ge2$即可。第一步，先构造一个解集恰好为$x\ge2$的一元一次不等式，可通过对$x\ge2$运用不等式的性质变形得到；第二步，再构造另一个一元一次不等式，它的解集要包含$x\ge2$（也就是解集是$x$大于任意比2小的数），这样两个不等式的公共解集就是$x\ge2$。
【解析】
1. 构造第一个不等式：对$x\ge2$两边同时减1，可得$x-1\ge1$，解这个不等式得$x\ge2$，满足解集要求。
2. 构造第二个不等式：我们取解集为$x＞-2$（$-2＜2$，该范围包含$x\ge2$），对$x＞-2$两边同时加1，可得$x+1＞-1$，解这个不等式得$x＞-2$。
3. 将两个不等式联立组成不等式组，其公共解集为$x\ge2$，符合题目要求。
注：还有其他构造方式，只要满足一元一次不等式组、解集为$x\ge2$均正确。
【答案】
$\begin{cases} x + 1 ＞ -1, \\ x - 1 \ge 1 \end{cases}$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元一次不等式组的概念
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查一元一次不等式组解集的逆向应用，熟练掌握不等式组解集的判定口诀就能快速解题，答案不唯一，只要符合要求即可。
【难度系数】
0.8
7. 不等式组$\begin{cases}-x - 1 ＞ 0, \\ -2x - 6 ≤ 0\end{cases}$的解集是 ______ .
答案
7. $-3 \le x ＜ -1$
解析
【分析】
解一元一次不等式组需分两步进行：第一步先分别求解不等式组中的每个一元一次不等式，求解时要注意运用不等式的基本性质，尤其两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变；第二步再找出两个不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，找公共解集时可借助数轴或者“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀判断。
【解析】
分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$-x - 1 ＞ 0$：
移项得：$-x ＞ 1$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＜ -1$。
2. 解不等式$-2x - 6 ≤ 0$：
移项得：$-2x ≤ 6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -3$。
根据“大小小大中间找”的口诀，两个解集的公共部分为$-3 ≤ x ＜ -1$。
【答案】
$-3 \le x ＜ -1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解能力，解题的易错点是不等式两边同时乘除负数时忘记改变不等号方向，确定公共解集时结合数轴分析会更直观，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组需分两步进行：第一步先分别求解不等式组中的每个一元一次不等式，求解时要注意运用不等式的基本性质，尤其两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变；第二步再找出两个不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，找公共解集时可借助数轴或者“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀判断。
【解析】
分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$-x - 1 ＞ 0$：
移项得：$-x ＞ 1$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＜ -1$。
2. 解不等式$-2x - 6 ≤ 0$：
移项得：$-2x ≤ 6$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -3$。
根据“大小小大中间找”的口诀，两个解集的公共部分为$-3 ≤ x ＜ -1$。
【答案】
$-3 \le x ＜ -1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解能力，解题的易错点是不等式两边同时乘除负数时忘记改变不等号方向，确定公共解集时结合数轴分析会更直观，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在数轴上点A，B分别表示数-2，3，若点P为线段AB上不与端点重合的动点，且$P=2x+1$，则x的取值范围是
（第8题）
$-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 1$
。（第8题）答案
8. $-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 1$
解析
【分析】
解题时首先根据点P在线段AB上且不与端点重合的位置特征，确定点P表示的数的取值范围：它大于点A表示的数-2，小于点B表示的数3。再结合点P表示的数为$2x+1$，列出关于x的连不等式，解这个不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵点P是线段AB上不与端点重合的动点，
∴点P表示的数满足：$-2 ＜ 2x+1 ＜ 3$，
解左边不等式：
$2x+1 ＞ -2$
移项得$2x ＞ -3$
两边同时除以2得$x ＞ -\frac{3}{2}$；
解右边不等式：
$2x+1 ＜ 3$
移项得$2x ＜ 2$
两边同时除以2得$x ＜ 1$；
综上可得x的取值范围是$-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 1$。
【答案】
$-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 1$
【知识点】
1. 数轴上点的取值
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题结合数轴上点的位置关系考查不等式的应用，解题关键是根据点的区间位置列出对应的不等式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据点P在线段AB上且不与端点重合的位置特征，确定点P表示的数的取值范围：它大于点A表示的数-2，小于点B表示的数3。再结合点P表示的数为$2x+1$，列出关于x的连不等式，解这个不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵点P是线段AB上不与端点重合的动点，
∴点P表示的数满足：$-2 ＜ 2x+1 ＜ 3$，
解左边不等式：
$2x+1 ＞ -2$
移项得$2x ＞ -3$
两边同时除以2得$x ＞ -\frac{3}{2}$；
解右边不等式：
$2x+1 ＜ 3$
移项得$2x ＜ 2$
两边同时除以2得$x ＜ 1$；
综上可得x的取值范围是$-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 1$。
【答案】
$-\frac{3}{2} ＜ x ＜ 1$
【知识点】
1. 数轴上点的取值
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题结合数轴上点的位置关系考查不等式的应用，解题关键是根据点的区间位置列出对应的不等式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
9. 对于实数$ x $，我们规定$[x]$表示不大于$ x $的最大整数，例如$[1.1]=1$，$[3]=3$，$[-2.2]=-3$，若$[\dfrac{x + 4}{3}]=5$，则$ x $的取值范围是
$11 \le x ＜ 14$
.答案
9. $11 \le x ＜ 14$
解析
【分析】
首先理解题中给出的新定义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，由此可以得到若$[a]=k$（$k$为整数），则$a$的取值范围是$k \le a ＜ k+1$。本题中$[\dfrac{x+4}{3}]=5$，我们可以把$\dfrac{x+4}{3}$看作整体$a$，代入上述取值范围得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求出$x$的取值范围。
【解析】
根据$[x]$的定义，若$[\dfrac{x+4}{3}]=5$，则可得不等式组：
$5 \le \dfrac{x+4}{3} ＜ 6$
不等式三边同时乘3，不等号方向不变：
$5×3 \le x+4 ＜ 6×3$
即：
$15 \le x+4 ＜ 18$
不等式三边同时减4：
$15-4 \le x ＜ 18-4$
解得：
$11 \le x ＜ 14$
【答案】
$11 \le x ＜ 14$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解取整符号的含义，将陌生的新定义问题转化为熟悉的不等式组问题求解，解题时需特别注意不等号端点的取值是否可取，避免出现端点错误。
【难度系数】
0.7
首先理解题中给出的新定义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，由此可以得到若$[a]=k$（$k$为整数），则$a$的取值范围是$k \le a ＜ k+1$。本题中$[\dfrac{x+4}{3}]=5$，我们可以把$\dfrac{x+4}{3}$看作整体$a$，代入上述取值范围得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求出$x$的取值范围。
【解析】
根据$[x]$的定义，若$[\dfrac{x+4}{3}]=5$，则可得不等式组：
$5 \le \dfrac{x+4}{3} ＜ 6$
不等式三边同时乘3，不等号方向不变：
$5×3 \le x+4 ＜ 6×3$
即：
$15 \le x+4 ＜ 18$
不等式三边同时减4：
$15-4 \le x ＜ 18-4$
解得：
$11 \le x ＜ 14$
【答案】
$11 \le x ＜ 14$
【知识点】
新定义运算，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是准确理解取整符号的含义，将陌生的新定义问题转化为熟悉的不等式组问题求解，解题时需特别注意不等号端点的取值是否可取，避免出现端点错误。
【难度系数】
0.7
10.（生活应用）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书. 下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了.”则这本书的价格x元所在的范围是
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了.”则这本书的价格x元所在的范围是
$50 ＜ x ＜ 60$
.答案
10. $50 ＜ x ＜ 60$
解析
【分析】
解题时先将三个人的猜测分别转化为对应的不等式，再根据“三人都猜错”的条件，反向推出每个猜测不成立时x的取值范围，最后取三个范围的公共部分，即可得到该书价格的范围。要注意“至多a元”表示价格≤a，猜错即价格＞a；“至少b元”表示价格≥b，猜错即价格＜b。
【解析】
首先分别转化三人的猜测并推导反向范围：
1. 小宇猜测“至多45元”，即原判断为$x ≤ 45$，小宇猜错，因此$x ＞ 45$；
2. 小跃猜测“至多50元”，即原判断为$x ≤ 50$，小跃猜错，因此$x ＞ 50$；
3. 小亮猜测“至少60元”，即原判断为$x ≥ 60$，小亮猜错，因此$x ＜ 60$。
由于三人都猜错，x需要同时满足以上三个条件，根据不等式解集“同大取大”的原则，取公共部分得$50 ＜ x ＜ 60$。
【答案】
$50 ＜ x ＜ 60$
【知识点】
不等式的意义；不等式组的解集
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的实际应用，解题核心是正确理解“至多”“至少”的含义，结合错误判断反向推导取值范围，最后取公共解集，侧重考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先将三个人的猜测分别转化为对应的不等式，再根据“三人都猜错”的条件，反向推出每个猜测不成立时x的取值范围，最后取三个范围的公共部分，即可得到该书价格的范围。要注意“至多a元”表示价格≤a，猜错即价格＞a；“至少b元”表示价格≥b，猜错即价格＜b。
【解析】
首先分别转化三人的猜测并推导反向范围：
1. 小宇猜测“至多45元”，即原判断为$x ≤ 45$，小宇猜错，因此$x ＞ 45$；
2. 小跃猜测“至多50元”，即原判断为$x ≤ 50$，小跃猜错，因此$x ＞ 50$；
3. 小亮猜测“至少60元”，即原判断为$x ≥ 60$，小亮猜错，因此$x ＜ 60$。
由于三人都猜错，x需要同时满足以上三个条件，根据不等式解集“同大取大”的原则，取公共部分得$50 ＜ x ＜ 60$。
【答案】
$50 ＜ x ＜ 60$
【知识点】
不等式的意义；不等式组的解集
【点评】
本题结合生活场景考查不等式的实际应用，解题核心是正确理解“至多”“至少”的含义，结合错误判断反向推导取值范围，最后取公共解集，侧重考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 解不等式组$\begin{cases}3x-(x-2)≥6, \\x+1≥-2.\end{cases}$
晓华的解题过程如下：
解：$\begin{cases}3x-(x-2)≥6, &① \\x+1≥-2. &②\end{cases}$ 由①-②，得$x+1≥8$，解得$x≥7.$
月日 星期 大气
请问晓华的解法是否正确？若不正确，请给出正确的解题过程.
11. 解不等式组$\begin{cases}3x-(x-2)≥6, \\x+1≥-2.\end{cases}$
晓华的解题过程如下：
解：$\begin{cases}3x-(x-2)≥6, &① \\x+1≥-2. &②\end{cases}$ 由①-②，得$x+1≥8$，解得$x≥7.$
月日 星期 大气
请问晓华的解法是否正确？若不正确，请给出正确的解题过程.
答案
11. 晓华的解法不正确，过程略，$x\ge 2$.
解析
【分析】
首先判断晓华的解法是否正确，回忆一元一次不等式组的正确求解步骤：解不等式组需要先分别求出每个不等式的解集，再找出所有解集的公共部分，就是不等式组的解集。晓华错误地套用了二元一次方程组的加减消元法，直接将两个不等式相减，这种操作对解不等式组是不成立的，因此解法错误。解题时先分别解两个不等式，再根据“同大取大”的规则确定公共解集即可。
【解析】
晓华的解法不正确，正确解题过程如下：
$\begin{cases}3x-(x-2)≥6, &① \\x+1≥-2. &②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得$3x - x + 2 ≥ 6$
合并同类项，得$2x + 2 ≥ 6$
移项，得$2x ≥ 6 - 2$
计算得$2x ≥ 4$
两边同时除以2，得$x ≥ 2$
解不等式②：
移项，得$x ≥ -2 - 1$
计算得$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，根据“同大取大”的规则，不等式组的解集为$x ≥ 2$。
【答案】
晓华的解法不正确，该不等式组的解集为$x\ge 2$。
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解法
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题主要考查一元一次不等式组的求解，要注意区分不等式组和方程组的解法差异，不能直接用加减消元法处理不等式组，需先分别求解每个不等式，再结合解集确定规则得到最终解集，牢记解集判断口诀能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
首先判断晓华的解法是否正确，回忆一元一次不等式组的正确求解步骤：解不等式组需要先分别求出每个不等式的解集，再找出所有解集的公共部分，就是不等式组的解集。晓华错误地套用了二元一次方程组的加减消元法，直接将两个不等式相减，这种操作对解不等式组是不成立的，因此解法错误。解题时先分别解两个不等式，再根据“同大取大”的规则确定公共解集即可。
【解析】
晓华的解法不正确，正确解题过程如下：
$\begin{cases}3x-(x-2)≥6, &① \\x+1≥-2. &②\end{cases}$
解不等式①：
去括号，得$3x - x + 2 ≥ 6$
合并同类项，得$2x + 2 ≥ 6$
移项，得$2x ≥ 6 - 2$
计算得$2x ≥ 4$
两边同时除以2，得$x ≥ 2$
解不等式②：
移项，得$x ≥ -2 - 1$
计算得$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，根据“同大取大”的规则，不等式组的解集为$x ≥ 2$。
【答案】
晓华的解法不正确，该不等式组的解集为$x\ge 2$。
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解法
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题主要考查一元一次不等式组的求解，要注意区分不等式组和方程组的解法差异，不能直接用加减消元法处理不等式组，需先分别求解每个不等式，再结合解集确定规则得到最终解集，牢记解集判断口诀能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
