5. 如图,小明家(A)在小亮家(B)的正北方.某日,小明与小亮约好去图书馆(D),小明行走的路线是$A→C→D$,小亮行走的路线是$B→C→D$.已知$AB=3\ \mathrm{km}$,$BC=4\ \mathrm{km}$,$CD=5\ \mathrm{km}$,$∠ABC=90°$,小明骑自行车速度为$a\ \mathrm{km/min}$,小亮走路速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$.小亮出发30 min后小明再出发,若小明在路上遇到小亮,则带上小亮一起去图书馆.为了使小亮能坐上小明的顺风车,则$a$的取值范围是________.

$\frac{1}{6}\lt a\leqslant\frac{1}{2}$

6. 如图,有一圆柱罐头,它的高为5 cm,底面直径为8 cm.在圆柱下底面的点C处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点B相对的点A开口处的食物,需要爬行的最短路程约为________ cm.
(π取3)

13

7. 如图,有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为150 m和200 m,AB=250 m,环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为50 m/min,则环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟?

解：(1)学校$C$会受噪声影响。理由如下： 如图，过点$C$作$CD\perp AB$于点$D。$
因为$AC = 150m，$$BC = 200m，$$AB = 250m，$所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，$所以$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ACB = 90^{\circ}。$ 因为$S_{\triangle ACB}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}CD\cdot AB，$所以$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{150\times200}{250}=120(m)\lt130m，$所以学校$C$会受噪声影响。 (2)如图，当$EC = 130m，$$FC = 130m$时，正好影响学校$C。$ 在$Rt\triangle EDC$中，$ED=\sqrt{EC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{130^{2}-120^{2}} = 50m，$所以$EF = 2ED = 100m。$ 因为环卫车的行驶速度为$50m/min，$所以$100\div50 = 2(min)。$ 答：环卫车噪声影响该学校持续的时间有$2min。$

在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$CD$ 为 $△ ABC$ 的高，点 $P$ 从点 $C$ 出发沿射线 $CD$ 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t\ \mathrm{s}$。
(1)求线段 $CD$ 的长.
(2)连接 $AP$，当 $△ ACP$ 为等腰三角形时，求 $t$ 的值.

解：(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}，$$AC = 6，$$BC = 8，$
所以$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10。$ 因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}CD\cdot AB，$
所以$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{6\times8}{10}=4.8。$ (2)由题意可得$CP = t。$ 若$CA = CP = 6，$则$t = 6；$ 若$CA = AP，$因为$CD\perp AB，$所以$CD = DP = 4.8，$
所以$CP = CD + DP = 4.8+4.8 = 9.6，$所以$t = 9.6；$ 若$AP = CP，$$PD = 4.8 - t，$
因为$\angle ADP = 90^{\circ}，$$AC = 6，$$DC = 4.8，$
$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}，$所以$AD = 3.6，$
因为$AD\perp CP，$$\angle ADP = 90^{\circ}，$
所以$t^{2}=(4.8 - t)^{2}+3.6^{2}，$ 展开得$t^{2}=23.04-9.6t+t^{2}+12.96，$ 移项得$9.6t=23.04 + 12.96，$即$9.6t = 36，$解得$t=\frac{15}{4}。$ 综上所述，当$\triangle ACP$为等腰三角形时，$t$的值为$6$或$9.6$或$\frac{15}{4}。$