9. 下列条件中：①$\angle A + \angle B = \angle C$；②$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$；③$\angle A = \angle B = 2\angle C$；④$\angle A= \frac{1}{2}\angle B= \frac{1}{3}\angle C$；⑤$\angle A = \angle B = \frac{1}{3}\angle C$,能确定$\triangle ABC$为直角三角形的条件有()
A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个

C

①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，x=30°，∠C=90°，是直角三角形；
③∠A=∠B=2∠C，2∠C+2∠C+∠C=180°，∠C=36°，∠A=∠B=72°，不是直角三角形；
④设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，x=30°，∠C=90°，是直角三角形；
⑤∠A=∠B=1/3∠C，1/3∠C+1/3∠C+∠C=180°，∠C=108°，∠A=∠B=36°，不是直角三角形；
综上，①②④是直角三角形，共3个。

10. 如图,已知$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle 1 = \angle 2$,则$\triangle ADE$是三角形.

等腰
解：因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle 2 = 90^{\circ}$。
又因为$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle A+\angle 1 = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle AED = 180^{\circ}-(\angle A+\angle 1)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}$，$\angle ADE = 180^{\circ}-(\angle 2+\angle BDE)$，由于$\angle 1=\angle 2$，$\angle AED=\angle C = 90^{\circ}$，$DE = DE$（公共边），所以$\triangle ADE\cong\triangle BDE$（$AAS$），则$AE = BE$，所以$\triangle ADE$是等腰三角形。

11. 在$\triangle ABC$中,已知$\angle A = 90^{\circ}$,且$\angle B - \angle C = 20^{\circ}$,则$\angle C$的度数为.

35°

在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle B + \angle C = 90^{\circ}$。又因为$\angle B - \angle C = 20^{\circ}$，设$\angle C = x$，则$\angle B = x + 20^{\circ}$，可得$x + (x + 20^{\circ}) = 90^{\circ}$，解得$2x = 70^{\circ}$，$x = 35^{\circ}$，即$\angle C = 35^{\circ}$。

12. 如图,$AD是\triangle ABC边BC$上的高,$BE平分\angle ABC$,交$AD于点E$,若$\angle C = 65^{\circ}$,$\angle BED = 68^{\circ}$,求$\angle ABC和\angle BAC$的度数.

∵AD是△ABC边BC上的高，∴∠ADB=90°。
在△BED中，∠BED=68°，∠ADB=90°，
∴∠EBD=180°-∠BED-∠ADB=180°-68°-90°=22°。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBD=2×22°=44°。
在△ABC中，∠ABC=44°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-44°-65°=71°。
∠ABC=44°，∠BAC=71°。

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$P为AD$延长线上一点,$PE\perp BC$,垂足为$E$.已知$\angle ACB = 80^{\circ}$,$\angle B = 24^{\circ}$,求$\angle P$的度数.

在$\triangle ABC$中，
由三角形内角和为$180^{\circ}$，
$\angle CAB=180^{\circ}-\angle ACB - \angle B=180^{\circ}-80^{\circ}-24^{\circ}=76^{\circ}$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，
所以$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle CAB = 38^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，
$\angle ADC=180^{\circ}-\angle C-\angle CAD=180^{\circ}-80^{\circ}-38^{\circ}=62^{\circ}$。
因为$\angle ADC$与$\angle PDE$是对顶角，
所以$\angle PDE=\angle ADC = 62^{\circ}$。
已知$PE\perp BC$，
所以$\angle PED = 90^{\circ}$。
在$\triangle PDE$中，
$\angle P=180^{\circ}-\angle PED-\angle PDE=180^{\circ}-90^{\circ}-62^{\circ}=28^{\circ}$。
综上，$\angle P$的度数为$28^{\circ}$。