1. 在$\triangle ABC$中,已知$\angle A = 37^{\circ}$,$\angle B = 53^{\circ}$,则$\triangle ABC$为()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能

C

在$\triangle ABC$中，已知$\angle A = 37^{\circ}$，$\angle B = 53^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 37^{\circ} - 53^{\circ} = 90^{\circ}$。
由于$\angle C = 90^{\circ}$，因此$\triangle ABC$为直角三角形。

2. 直角三角形的一个锐角$\angle A是另一个锐角\angle B的3$倍,那么$\angle B$的度数是()
A.$22.5^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$67.5^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

A

设∠B的度数为x，则∠A=3x。因为直角三角形两锐角互余，所以x+3x=90°，解得x=22.5°，即∠B=22.5°。

3. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A - \angle B = 10^{\circ}$,则$\angle A$的度数为()
A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，所以$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$。又因为$\angle A - \angle B = 10^{\circ}$，联立可得$\angle A = (90^{\circ} + 10^{\circ}) ÷ 2 = 50^{\circ}$。

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为$D$,则下列结论不一定成立的是()

A.$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$
B.$\angle 1 = 30^{\circ}$
C.$\angle 1 = \angle 4$
D.$\angle 2 = \angle 3$

B

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$。
选项A：$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$。因为$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），即$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$，成立。
选项B：$\angle 1 = 30^{\circ}$。题目未给出任何边的关系或其他角度信息，无法确定$\angle 1$的度数，不一定成立。
选项C：$\angle 1 = \angle 4$。在$Rt\triangle ACD$中，$\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$；在$Rt\triangle ABC$中，$\angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，所以$\angle 1 = \angle 4$（同角的余角相等），成立。
选项D：$\angle 2 = \angle 3$。在$Rt\triangle BCD$中，$\angle 2 + \angle 4 = 90^{\circ}$；在$Rt\triangle ABC$中，$\angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，所以$\angle 2 = \angle 3$（同角的余角相等），成立。

5. 具备下列条件的$\triangle ABC$,不是直角三角形的是()
A.$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$
B.$\angle A + \angle B = \angle C$
C.$\angle A = 90^{\circ} - \angle C$
D.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$

D

A. 已知$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，
则$\angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$，
所以$\triangle ABC$是直角三角形，不符合题意。
B. 已知$\angle A + \angle B = \angle C$，
且$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，
代入得$2\angle C = 180^{\circ}$，
即$\angle C = 90^{\circ}$，
所以$\triangle ABC$是直角三角形，不符合题意。
C. 已知$\angle A = 90^{\circ} - \angle C$，
则$\angle A + \angle C = 90^{\circ}$，
即$\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$，
所以$\triangle ABC$是直角三角形，不符合题意。
D. 已知$\angle A : \angle B : \angle C = 3 : 4 : 5$，
设$\angle A = 3x$，$\angle B = 4x$，$\angle C = 5x$，
由三角形内角和定理得$3x + 4x + 5x = 180^{\circ}$，
解得$x = 15^{\circ}$，
所以$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle C = 75^{\circ}$，
没有$90^{\circ}$的角，
所以$\triangle ABC$不是直角三角形，符合题意。

6. 如图,$AD$,$CE是\triangle ABC$的两条高,若$\angle B = 50^{\circ}$,则$\angle COD$的度数是.

50°

∵AD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠CEB=90°。在△ABD中，∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-50°=40°。在△AEO中，∠AOE=180°-∠AEO-∠BAD=180°-90°-40°=50°。∵∠COD=∠AOE（对顶角相等），∴∠COD=50°。

7. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上,则$\angle 1$的度数为.

75°

如图，直尺上下两边平行，根据两直线平行，同位角相等，可得三角尺中$60^{\circ}$角的同位角为$60^{\circ}$。该同位角与$45^{\circ}$角和$\angle 1$构成一个平角，即$180^{\circ}$，所以$\angle 1=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$。

8. 求下列图中的$x$的值.

(1)
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$x+(x + 10)=90$
$2x+10 = 90$
$2x=80$
$x = 40$
(2)
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在这个三角形中有一个角是$90^{\circ}$，另外两个角都为$x^{\circ}$，则：
$x+x+90 = 180$
$2x=90$
$x = 45$