1. 在统计学里,数据的离散程度可以用、或等统计量来刻画。
2. 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的。
3. 方差是各个数据与它们平均数之差的平方的。而标准差则是方差的。一般而言,一组数据的方差或标准差越,这组数据就越稳定。

1. 离差平方和 方差 标准差 2. 平方和 3. 平均数 算术平方根 小

1. 数据 7,8,10,12,13 的离差平方和是()。
A.25
B.26
C.5.2
D.28

B

首先计算这组数据的平均数：$\bar{x} = \frac{7 + 8 + 10 + 12 + 13}{5} = \frac{50}{5} = 10$
然后计算各数据与平均数的离差平方：
$(7 - 10)^2 = (-3)^2 = 9$
$(8 - 10)^2 = (-2)^2 = 4$
$(10 - 10)^2 = 0^2 = 0$
$(12 - 10)^2 = 2^2 = 4$
$(13 - 10)^2 = 3^2 = 9$
离差平方和为：$9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26$
B

2. 甲、乙、丙、丁四位同学在四次数学测验中成绩的平均数相同,方差分别为 $ s_{甲}^{2} = 5.5 $,$ s_{乙}^{2} = 7.3 $,$ s_{丙}^{2} = 8.6 $,$ s_{丁}^{2} = 4.5 $,则在这四次数学测验中成绩最稳定的是()。
A.甲同学
B.乙同学
C.丙同学
D.丁同学

D

∵方差越小，成绩越稳定，$s_{丁}^{2}=4.5$最小，
∴成绩最稳定的是丁同学。
D

3. 数学老师为了解全班每位同学数学成绩的稳定性,要求每位同学对自己最近 4 次的数学测试成绩进行统计分析,那么小明需要求出这 4 次成绩的()。
A.平均数
B.众数
C.频率
D.方差

D

4. 如果给定数组中每一个数都加同一个非零常数,则数据的()。
A.平均数不变,方差不变
B.平均数改变,方差改变
C.平均数改变,方差不变
D.平均数不变,方差改变

C

设原数组数据为$x_1, x_2, \cdots, x_n$，平均数为$\overline{x}$，方差为$s^2$。
$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$，$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。
每个数加非零常数$a$后，新数据为$x_1 + a, x_2 + a, \cdots, x_n + a$。
新平均数$\overline{x}' = \frac{(x_1 + a) + (x_2 + a) + \cdots + (x_n + a)}{n} = \overline{x} + a$，与原平均数不同，即平均数改变。
新方差$s'^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}[(x_i + a) - (\overline{x} + a)]^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 = s^2$，即方差不变。
C

5. 已知一个样本数据为 1,2,3,4,5,则这个样本的方差为 $ s^{2} = $。

2

$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$
$s^{2}=\frac{1}{5}\left[(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}\right]=\frac{1}{5}\left[(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}\right]=\frac{1}{5}(4+1+0+1+4)=\frac{10}{5}=2$
2

6. 已知一组数据 4,2,$ a $,7,10 的平均数为 5,则这组数据的方差为。

$\frac{48}{5}$

$\because$ 数据 4,2,$a$,7,10 的平均数为 5，
$\therefore \frac{4 + 2 + a + 7 + 10}{5}=5$，
解得 $a=2$。
$\therefore$ 这组数据为 4,2,2,7,10。
方差为 $\frac{1}{5}[(4 - 5)^2 + (2 - 5)^2 + (2 - 5)^2 + (7 - 5)^2 + (10 - 5)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-1)^2 + (-3)^2 + (-3)^2 + 2^2 + 5^2]$
$=\frac{1}{5}[1 + 9 + 9 + 4 + 25]$
$=\frac{1}{5} × 48$
$=\frac{48}{5}$
$\frac{48}{5}$

7. 一组数据,如果其中最小的数和它们的平均数相等,那么这组数据的方差为。

0

设这组数据有$n$个数，分别为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，其中最小的数为$x_{min}$，平均数为$\overline{x}$。
由题意得$x_{min} = \overline{x}$。
因为$x_{min}$是最小的数，所以$x_i \geq x_{min}$（$i = 1,2,\cdots,n$）。
平均数$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = x_{min}$，则$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n x_{min}$。
由于每个$x_i \geq x_{min}$，要使它们的和为$n x_{min}$，只能每个$x_i = x_{min}$，即这组数据所有数都相等。
方差$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2] = 0$。
0

8. 从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40。
(1)哪种玉米苗长得高?
(2)哪种玉米苗长得齐?

解:
(1)$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{10}×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=\frac{1}{10}×300=30(cm)$，$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{10}×(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=\frac{1}{10}×310=31(cm)$。因为$\overline{x}_{甲}＜\overline{x}_{乙}$，所以乙种玉米苗长得高。
(2)$s^{2}_{甲}=\frac{1}{10}×[(25-30)^{2}+(41-30)^{2}+\cdots+(42-30)^{2}]=\frac{1}{10}×1042=104.2$，$s^{2}_{乙}=\frac{1}{10}×[(27-31)^{2}+(16-31)^{2}+\cdots+(40-31)^{2}]=\frac{1}{10}×1288=128.8$。因为$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$，所以甲种玉米苗长得齐。

9. 已知一组数据 $ x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,x_{4} ,x_{5} $ 的平均数是 2,方差是 $ \frac{1}{3} $,那么另一组数据 $ 3x_{1} - 2 $,$ 3x_{2} - 2 $,$ 3x_{3} - 2 $,$ 3x_{4} - 2 $,$ 3x_{5} - 2 $ 的平均数和方差分别是()。
A.$ 2,\frac{1}{3} $
B.2,1
C.$ 4,\frac{2}{3} $
D.4,3

D

已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s^{2}=\frac{1}{3}$。
新数据为$3x_{1}-2,3x_{2}-2,3x_{3}-2,3x_{4}-2,3x_{5}-2$。
新数据的平均数：
$\begin{aligned}\overline{x}'&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2)+(3x_{2}-2)+(3x_{3}-2)+(3x_{4}-2)+(3x_{5}-2)]\\&=\frac{1}{5}[3(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})-10]\\&=3×\frac{1}{5}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})-2\\&=3\overline{x}-2\\&=3×2 - 2\\&=4\end{aligned}$
新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^{2}&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2 - \overline{x}')^{2}+(3x_{2}-2 - \overline{x}')^{2}+\cdots+(3x_{5}-2 - \overline{x}')^{2}]\\&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2 - 4)^{2}+(3x_{2}-2 - 4)^{2}+\cdots+(3x_{5}-2 - 4)^{2}]\\&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-6)^{2}+(3x_{2}-6)^{2}+\cdots+(3x_{5}-6)^{2}]\\&=\frac{1}{5}[9(x_{1}-2)^{2}+9(x_{2}-2)^{2}+\cdots+9(x_{5}-2)^{2}]\\&=9×\frac{1}{5}[(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+\cdots+(x_{5}-2)^{2}]\\&=9s^{2}\\&=9×\frac{1}{3}\\&=3\end{aligned}$
D