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1. 若关于 $x$ 的方程 $2x - 4 = 3m$ 和 $x + 2 = m$ 有相同的根,则 $m$ 的值是(
A.10
B.-8
C.-10
D.8
B
)。A.10
B.-8
C.-10
D.8
答案
B
解析
由$x + 2 = m$，得$x = m - 2$，
把$x = m - 2$代入$2x - 4 = 3m$，得：
$2(m-2)-4=3m$，
$2m-4-4=3m$，
$-8=m$，
即$m=-8$。
故答案选：B。
把$x = m - 2$代入$2x - 4 = 3m$，得：
$2(m-2)-4=3m$，
$2m-4-4=3m$，
$-8=m$，
即$m=-8$。
故答案选：B。
2. 由方程组 $\begin{cases}x + m = 4\\y - 3 = m\end{cases} $ 可得出 $x$ 与 $y$ 的关系是(
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 7$
D.$x + y = -7$
C
)。A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 7$
D.$x + y = -7$
答案
C
解析
由方程组
$\begin{cases}x + m = 4 \quad (1) \\y - 3 = m \quad (2)\end{cases}$
从方程
(2)中，可以得到：
$m = y - 3$，
将上述表达式代入方程
(1)中，得：
$x + (y - 3) = 4$，
整理上式，得到：
$x + y - 3 = 4$，
进一步整理，得：
$x + y = 7$。
故答案为：C. $x + y = 7$。
$\begin{cases}x + m = 4 \quad (1) \\y - 3 = m \quad (2)\end{cases}$
从方程
(2)中，可以得到：
$m = y - 3$，
将上述表达式代入方程
(1)中，得：
$x + (y - 3) = 4$，
整理上式，得到：
$x + y - 3 = 4$，
进一步整理，得：
$x + y = 7$。
故答案为：C. $x + y = 7$。
3. 已知关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 2k + 2\\2x + 3y = k\end{cases} $。若 $x$ 与 $y$ 的值之和等于 1,则 $k$ 的值为(
A.1
B.-1
C.4
D.-4
B
)。A.1
B.-1
C.4
D.-4
答案
B
解析
已知方程组$\begin{cases}3x + 4y = 2k + 2\\2x + 3y = k\end{cases}$，且$x + y = 1$。
由$x + y = 1$可得$y = 1 - x$，
将$y = 1 - x$代入方程组：
$\begin{cases}3x + 4(1 - x) = 2k + 2\\2x + 3(1 - x) = k\end{cases}$
$\begin{cases}3x + 4 - 4x = 2k + 2\\2x + 3 - 3x = k\end{cases}$
$\begin{cases}-x + 4 = 2k + 2&(1)\\-x + 3 = k&(2)\end{cases}$
由$(2)$式可得$x = 3 - k$，
将$x = 3 - k$代入$(1)$式：
$-(3 - k) + 4 = 2k + 2$
$-3 + k + 4 = 2k + 2$
$k + 1 = 2k + 2$
$2k - k=1 - 2$
$k = -1$
所以，$k$的值为$-1$。
由$x + y = 1$可得$y = 1 - x$，
将$y = 1 - x$代入方程组：
$\begin{cases}3x + 4(1 - x) = 2k + 2\\2x + 3(1 - x) = k\end{cases}$
$\begin{cases}3x + 4 - 4x = 2k + 2\\2x + 3 - 3x = k\end{cases}$
$\begin{cases}-x + 4 = 2k + 2&(1)\\-x + 3 = k&(2)\end{cases}$
由$(2)$式可得$x = 3 - k$，
将$x = 3 - k$代入$(1)$式：
$-(3 - k) + 4 = 2k + 2$
$-3 + k + 4 = 2k + 2$
$k + 1 = 2k + 2$
$2k - k=1 - 2$
$k = -1$
所以，$k$的值为$-1$。
4. 方程组 $\begin{cases}3x + y = 30\\y - 2x = 5\end{cases} $ 的解为
$\left\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=15\end{array}\right. $
。答案
$\left\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=15\end{array}\right. $
解析
$\begin{cases}3x + y = 30\quad(1) \\y - 2x = 5\quad(2)\end{cases}$
由方程$(2)$可得：
$y=2x+5\quad(3)$
将方程$(3)$代入$(1)$得：
$3x+2x+5=30$
$5x=25$
$x = 5$
将$x = 5$代入方程$(3)$得：
$y=2×5 + 5$
$y=15$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 15 \end{cases}$
由方程$(2)$可得：
$y=2x+5\quad(3)$
将方程$(3)$代入$(1)$得：
$3x+2x+5=30$
$5x=25$
$x = 5$
将$x = 5$代入方程$(3)$得：
$y=2×5 + 5$
$y=15$
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 15 \end{cases}$
5. 定义一种新运算“※”：规定 $x※y = ax + by^2$,其中 $a$,$b$ 为常数。若 $-1※1 = 0$,$2※1 = 3$,则 $2※5 = $
27
。答案
27
解析
根据题意，已知新运算“※”定义为$x※y = ax + by^{2}$，其中$a$，$b$为常数。
由$-1※1 = 0$，可得$-a + b× 1^{2}=0$，即$-a + b = 0$ ①；
由$2※1 = 3$，可得$2a + b× 1^{2}=3$，即$2a + b = 3$ ②；
②$-$①得：$2a + b-(-a + b)=3 - 0$，
$2a + b + a - b = 3$，
$3a = 3$，
解得$a = 1$。
把$a = 1$代入①得：$-1 + b = 0$，解得$b = 1$。
所以$x※y = x + y^{2}$。
则$2※5 = 2 + 5^{2}=2 + 25 = 27$。
故答案为$27$。
由$-1※1 = 0$，可得$-a + b× 1^{2}=0$，即$-a + b = 0$ ①；
由$2※1 = 3$，可得$2a + b× 1^{2}=3$，即$2a + b = 3$ ②；
②$-$①得：$2a + b-(-a + b)=3 - 0$，
$2a + b + a - b = 3$，
$3a = 3$，
解得$a = 1$。
把$a = 1$代入①得：$-1 + b = 0$，解得$b = 1$。
所以$x※y = x + y^{2}$。
则$2※5 = 2 + 5^{2}=2 + 25 = 27$。
故答案为$27$。
6. 已知方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 12.5\\2x + 5y = 13\end{cases} $ 的解是 $\begin{cases}x = 1.5\\y = 2\end{cases} $,求方程组 $\begin{cases}3(m - 5)+4(n + 3)= 12.5\\2(m - 5)+5(n + 3)= 13\end{cases} $ 中 $m$,$n$ 的值,$m = $
6.5
,$n = $-1
。答案
6.5 -1
解析
根据题意，令$m - 5 = x$，$n + 3 = y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}3x + 4y = 12.5 \\2x + 5y = 13\end{cases}$
已知方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1.5 \\y = 2\end{cases}$
将$x = 1.5$，$y = 2$代入$m - 5 = x$，$n + 3 = y$，可得：
$m - 5 = 1.5$，解得$m = 6.5$；
$n + 3 = 2$，解得$n = -1$。
故答案为$6.5$；$-1$。
$\begin{cases}3x + 4y = 12.5 \\2x + 5y = 13\end{cases}$
已知方程组的解为：
$\begin{cases}x = 1.5 \\y = 2\end{cases}$
将$x = 1.5$，$y = 2$代入$m - 5 = x$，$n + 3 = y$，可得：
$m - 5 = 1.5$，解得$m = 6.5$；
$n + 3 = 2$，解得$n = -1$。
故答案为$6.5$；$-1$。
7. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3(2x - 5)-4(3y + 4)= 5\\x + 1 = 5(y + 2)\end{cases} $
(2) $\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}= 2\\2x + 3y = 13\end{cases} $
(3) $\begin{cases}x + y = 420\\30\%x + 40\%y = 160×80\%\end{cases} $
(4) $\begin{cases}\frac{y}{3}-\frac{x + 1}{6}= 3\\2(x - \frac{y}{2})= 3(x + \frac{y}{18})\end{cases} $
(1) $\begin{cases}3(2x - 5)-4(3y + 4)= 5\\x + 1 = 5(y + 2)\end{cases} $
(2) $\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}= 2\\2x + 3y = 13\end{cases} $
(3) $\begin{cases}x + y = 420\\30\%x + 40\%y = 160×80\%\end{cases} $
(4) $\begin{cases}\frac{y}{3}-\frac{x + 1}{6}= 3\\2(x - \frac{y}{2})= 3(x + \frac{y}{18})\end{cases} $
答案
$(1)$ 解方程组$\begin{cases}3(2x - 5)-4(3y + 4)= 5\\x + 1 = 5(y + 2)\end{cases}$
- **步骤一：化简方程组
对第一个方程$3(2x - 5)-4(3y + 4)= 5$进行化简：
$\begin{aligned}6x-15-12y - 16&=5\\6x-12y&=5 + 15 + 16\\6x-12y&=36\\x - 2y&=6\quad(1)\end{aligned}$
对第二个方程$x + 1 = 5(y + 2)$进行化简：
$\begin{aligned}x+1&=5y + 10\\x-5y&=9\quad(2)\end{aligned}$
步骤二：消元求解
用$(1)$式$x - 2y = 6$减去$(2)$式$x-5y = 9$：
$\begin{aligned}(x - 2y)-(x - 5y)&=6 - 9\\x - 2y-x + 5y&=-3\\3y&=-3\\y&=-1\end{aligned}$
把$y = -1$代入$(1)$式$x - 2y = 6$得：
$\begin{aligned}x-2×(-1)&=6\\x + 2&=6\\x&=4\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y=-1\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}= 2\\2x + 3y = 13\end{cases}$
步骤一：化简第一个方程
给$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2$两边同时乘以$6$得：$3x + 2y = 12\quad(1)$，第二个方程为$2x + 3y = 13\quad(2)$。
步骤二：消元求解
$(1)×3-(2)×2$得：
$\begin{aligned}3(3x + 2y)-2(2x + 3y)&=12×3-13×2\\9x+6y - 4x-6y&=36 - 26\\5x&=10\\x&=2\end{aligned}$
把$x = 2$代入$(2)$式$2x + 3y = 13$得：
$\begin{aligned}2×2+3y&=13\\4+3y&=13\\3y&=9\\y&=3\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$。
$(3)$ 解方程组$\begin{cases}x + y = 420\\30\%x + 40\%y = 160×80\%\end{cases}$
步骤一：化简第二个方程
$30\%x + 40\%y = 160×80\%$即$0.3x+0.4y = 128$，两边同时乘以$10$得$3x + 4y = 1280\quad(1)$，第一个方程$x + y = 420$变形为$x=420 - y\quad(2)$。
步骤二：代入求解
把$(2)$代入$(1)$得：
$\begin{aligned}3(420 - y)+4y&=1280\\1260-3y + 4y&=1280\\y&=1280 - 1260\\y&=20\end{aligned}$
把$y = 20$代入$(2)$式$x=420 - y$得：$x = 420-20 = 400$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 400\\y = 20\end{cases}$。
$(4)$ 解方程组$\begin{cases}\frac{y}{3}-\frac{x + 1}{6}= 3\\2(x - \frac{y}{2})= 3(x + \frac{y}{18})\end{cases}$
步骤一：化简方程组
对$\frac{y}{3}-\frac{x + 1}{6}= 3$两边同时乘以$6$得：$2y-(x + 1)=18$，即$-x + 2y=19\quad(1)$。
对$2(x - \frac{y}{2})= 3(x + \frac{y}{18})$化简：
$\begin{aligned}2x-y&=3x+\frac{y}{6}\\2x - y-3x-\frac{y}{6}&=0\\-x-\frac{7y}{6}&=0\\-x=\frac{7y}{6}\quad(2)\end{aligned}$
步骤二：代入求解
把$(2)$代入$(1)$得：
$\begin{aligned}\frac{7y}{6}+2y&=19\\frac{7y + 12y}{6}&=19\\19y&=114\\y&=6\end{aligned}$
把$y = 6$代入$(2)$式$-x=\frac{7y}{6}$得：$-x=\frac{7×6}{6}=7$，即$x=-7$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -7\\y = 6\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 4\\y=-1\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}}$；$(3)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 400\\y = 20\end{cases}}$；$(4)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = -7\\y = 6\end{cases}}$。
- **步骤一：化简方程组
对第一个方程$3(2x - 5)-4(3y + 4)= 5$进行化简：
$\begin{aligned}6x-15-12y - 16&=5\\6x-12y&=5 + 15 + 16\\6x-12y&=36\\x - 2y&=6\quad(1)\end{aligned}$
对第二个方程$x + 1 = 5(y + 2)$进行化简：
$\begin{aligned}x+1&=5y + 10\\x-5y&=9\quad(2)\end{aligned}$
步骤二：消元求解
用$(1)$式$x - 2y = 6$减去$(2)$式$x-5y = 9$：
$\begin{aligned}(x - 2y)-(x - 5y)&=6 - 9\\x - 2y-x + 5y&=-3\\3y&=-3\\y&=-1\end{aligned}$
把$y = -1$代入$(1)$式$x - 2y = 6$得：
$\begin{aligned}x-2×(-1)&=6\\x + 2&=6\\x&=4\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y=-1\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}= 2\\2x + 3y = 13\end{cases}$
步骤一：化简第一个方程
给$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2$两边同时乘以$6$得：$3x + 2y = 12\quad(1)$，第二个方程为$2x + 3y = 13\quad(2)$。
步骤二：消元求解
$(1)×3-(2)×2$得：
$\begin{aligned}3(3x + 2y)-2(2x + 3y)&=12×3-13×2\\9x+6y - 4x-6y&=36 - 26\\5x&=10\\x&=2\end{aligned}$
把$x = 2$代入$(2)$式$2x + 3y = 13$得：
$\begin{aligned}2×2+3y&=13\\4+3y&=13\\3y&=9\\y&=3\end{aligned}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$。
$(3)$ 解方程组$\begin{cases}x + y = 420\\30\%x + 40\%y = 160×80\%\end{cases}$
步骤一：化简第二个方程
$30\%x + 40\%y = 160×80\%$即$0.3x+0.4y = 128$，两边同时乘以$10$得$3x + 4y = 1280\quad(1)$，第一个方程$x + y = 420$变形为$x=420 - y\quad(2)$。
步骤二：代入求解
把$(2)$代入$(1)$得：
$\begin{aligned}3(420 - y)+4y&=1280\\1260-3y + 4y&=1280\\y&=1280 - 1260\\y&=20\end{aligned}$
把$y = 20$代入$(2)$式$x=420 - y$得：$x = 420-20 = 400$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 400\\y = 20\end{cases}$。
$(4)$ 解方程组$\begin{cases}\frac{y}{3}-\frac{x + 1}{6}= 3\\2(x - \frac{y}{2})= 3(x + \frac{y}{18})\end{cases}$
步骤一：化简方程组
对$\frac{y}{3}-\frac{x + 1}{6}= 3$两边同时乘以$6$得：$2y-(x + 1)=18$，即$-x + 2y=19\quad(1)$。
对$2(x - \frac{y}{2})= 3(x + \frac{y}{18})$化简：
$\begin{aligned}2x-y&=3x+\frac{y}{6}\\2x - y-3x-\frac{y}{6}&=0\\-x-\frac{7y}{6}&=0\\-x=\frac{7y}{6}\quad(2)\end{aligned}$
步骤二：代入求解
把$(2)$代入$(1)$得：
$\begin{aligned}\frac{7y}{6}+2y&=19\\frac{7y + 12y}{6}&=19\\19y&=114\\y&=6\end{aligned}$
把$y = 6$代入$(2)$式$-x=\frac{7y}{6}$得：$-x=\frac{7×6}{6}=7$，即$x=-7$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -7\\y = 6\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 4\\y=-1\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}}$；$(3)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 400\\y = 20\end{cases}}$；$(4)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = -7\\y = 6\end{cases}}$。
