5. (★)方程$x^{2} - 3x + 1 = 0$的根的情况是 【】
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根

A

对于方程$x^{2}-3x + 1=0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$。判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×1=9 - 4=5＞0$，所以方程有两个不等的实数根。

6. (★)关于$x的一元二次方程x^{2} - 6x + 2k = 0$有两个实数根,则实数$k$的取值范围是。

$k \leq \frac{9}{2}$

对于一元二次方程$x^2 - 6x + 2k = 0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2k$。因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$。即$(-6)^2 - 4×1×2k \geq 0$，$36 - 8k \geq 0$，解得$k \leq \frac{9}{2}$。

7. (★)国家实施惠农政策后,某镇农民人均收入经过两年提高$44\%$,这两年该镇农民人均收入年平均增长率是 【】
A.$22\%$
B.$20\%$
C.$10\%$
D.$11\%$

B

设原来人均收入为$a$，年平均增长率为$x$，根据题意得：
$a(1 + x)^2 = a(1 + 44\%)$，
化简得： $(1 + x)^2 = 1.44$，
开方得： $1 + x = 1.2$（舍去负值），
解得： $x = 0.2 = 20\%$。

8. (★★)一个矩形的周长为$56 cm$。
(1)当矩形面积为$180 cm^{2}$时,长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为$200 cm^{2}$的矩形吗？请说明理由。

(1)设矩形的长为$x\ cm$，则宽为$(28 - x)\ cm$。
由面积为$180\ cm^2$，得$x(28 - x) = 180$，
整理得$x^2 - 28x + 180 = 0$，
因式分解得$(x - 18)(x - 10) = 0$，
解得$x_1 = 18$，$x_2 = 10$。
因长$＞$宽，故长为$18\ cm$，宽为$10\ cm$。
(2)不能。
设矩形的长为$x\ cm$，则宽为$(28 - x)\ cm$。
假设面积为$200\ cm^2$，得$x(28 - x) = 200$，
整理得$x^2 - 28x + 200 = 0$，
判别式$\Delta = (-28)^2 - 4 × 1 × 200 = 784 - 800 = -16 ＜ 0$，
方程无实数根，故不能围成面积为$200\ cm^2$的矩形。

9. (★★)经研究发现：若一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0的两个根为x_{1}$,$x_{2}$,则$ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$。例如：一元二次方程$2x^{2} + 5x + 2 = 0的两根为x_{1} = -\frac{1}{2}$,$x_{2} = -2$,则$2x^{2} + 5x + 2 = 2(x + \frac{1}{2})(x + 2) = (2x + 1)(x + 2)$。根据上述方法填空：因式分解$4x^{2} + 13x + 3 = $。

$(4x + 1)(x + 3)$

首先，需要找到一元二次方程 $4x^{2} + 13x + 3 = 0$的两个根 $x_1$ 和 $x_2$，
这里 $a=4，b=13，c=3$，
根据一元二次方程的求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}=\frac{-13\pm\sqrt{13^2 - 4×4×3}}{2×4}=\frac{-13\pm\sqrt{169 - 48}}{8}=\frac{-13\pm\sqrt{121}}{8}=\frac{-13\pm11}{8}$
即：$x_1 = \frac{-13 + 11}{8}=-\frac{1}{4}$，$x_2=\frac{-13 - 11}{8}=-3$，
根据$ax^{2}+bx + c=a(x - x_1)(x - x_2)$，
对$4x^{2}+13x + 3$进行因式分解可得：
$4x^{2}+13x + 3 = 4(x+\frac{1}{4})(x + 3)=(4x + 1)(x + 3)$。

10. (★★)若$(x + y)(x + y - 2) - 3 = 0$,设$P = x + y$,则原方程可化为$(x + y)^{2} - 2(x + y) - 3 = 0$,即$P^{2} - 2P - 3 = 0$,解得$P_{1} = 3$,$P_{2} = -1$。故$x + y的值为3或-1$。仿照上面的方法,计算当$(a^{2} + b^{2})(a^{2} + b^{2} - 4) - 5 = 0$时,$a^{2} + b^{2}$的值为。

5

设 $P=a^{2}+b^{2}$, 
则原方程$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-4)-5=0$ 可化为 $P(P - 4) - 5 = 0$ ，
展开 $P(P - 4) - 5 = 0$ 得到 $P^{2}-4P-5 = 0$ ，
对 $P^{2}-4P-5 = 0$ 进行因式分解， $P^{2}-4P-5=(P - 5)(P+1)=0$ ，
则 $P - 5 = 0$ 或 $P+1 = 0$ ，
解得 $P_{1}=5$ ， $P_{2}=-1$ ，
因为 $a^{2}+b^{2}\geqslant0$ ，所以 $a^{2}+b^{2}$ 的值为 $5$ 。

11. (★★)已知关于$x的方程ax^{2} + 2x - 1 = 0$有实数根,求$a$的取值范围。

答题卡：
当 $a = 0$ 时，方程 $2x - 1 = 0$ 有实数根 $x = \frac{1}{2}$，符合题意。
当 $a \neq 0$ 时，方程 $ax^{2} + 2x - 1 = 0$ 是一元二次方程，根据判别式的定义，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \cdot a \cdot (-1) = 4 + 4a \geq 0$，
解得：$a \geq -1$ 且 $a \neq 0$。
综合以上两种情况，得出 $a$ 的取值范围是 $a \geq -1$。