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变式训练 (1)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 2x - 4k = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k = $
(2)(2024 静安三模)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + 2x + 1 = 0 $ 有实数根,则 $ a $ 的取值范围是(
A. $ a \leq 1 $
B. $ a \leq 1 $ 且 $ a \neq 0 $
C. $ a $ 取一切实数
D. $ a ＜ 1 $
$-\frac{1}{4}$
。(2)(2024 静安三模)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + 2x + 1 = 0 $ 有实数根,则 $ a $ 的取值范围是(
B
)A. $ a \leq 1 $
B. $ a \leq 1 $ 且 $ a \neq 0 $
C. $ a $ 取一切实数
D. $ a ＜ 1 $
答案
(1) $-\frac{1}{4}$；
(2) B。
(2) B。
解析
(1) 对于方程 $x^{2} - 2x - 4k = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(1)(-4k) = 4 + 16k$，
由于方程有两个相等的实数根，所以 $\Delta = 0$，
即：$4 + 16k = 0$，
解得：$k = -\frac{1}{4}$，
(2)对于方程 $ax^{2} + 2x + 1 = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4a(1) = 4 - 4a$，
由于方程有实数根，所以 $\Delta \geq 0$，
即：$4 - 4a \geq 0$，
解得：$a \leq 1$，
又因为二次项系数 $a$ 不能为0，所以 $a \neq 0$，
综上，$a \leq 1$ 且 $a \neq 0$。
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(1)(-4k) = 4 + 16k$，
由于方程有两个相等的实数根，所以 $\Delta = 0$，
即：$4 + 16k = 0$，
解得：$k = -\frac{1}{4}$，
(2)对于方程 $ax^{2} + 2x + 1 = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4a(1) = 4 - 4a$，
由于方程有实数根，所以 $\Delta \geq 0$，
即：$4 - 4a \geq 0$，
解得：$a \leq 1$，
又因为二次项系数 $a$ 不能为0，所以 $a \neq 0$，
综上，$a \leq 1$ 且 $a \neq 0$。
1. (2025 石家庄模拟)一元二次方程 $ x^{2} + 2x - 5 = 0 $ 的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根
A
)A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根
答案
A
解析
对于一元二次方程 $x^2 + 2x - 5 = 0$，其中 $a=1$，$b=2$，$c=-5$。判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-5) = 4 + 20 = 24$。因为$\Delta = 24 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
2. (2024 黑龙江)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 2)x^{2} + 4x + 2 = 0 $ 有两个实数根,则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m \leq 4 $
B.$ m \geq -4 $ 且 $ m \neq 2 $
C.$ m \geq 4 $
D.$ m \leq 4 $ 且 $ m \neq 2 $
D
)A.$ m \leq 4 $
B.$ m \geq -4 $ 且 $ m \neq 2 $
C.$ m \geq 4 $
D.$ m \leq 4 $ 且 $ m \neq 2 $
答案
D
解析
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$m - 2 \neq 0$，解得$m \neq 2$。又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta \geq 0$，其中$a = m - 2$，$b = 4$，$c = 2$，$\Delta = 4^2 - 4(m - 2)×2 = 16 - 8(m - 2) = 16 - 8m + 16 = 32 - 8m$。由$\Delta \geq 0$得$32 - 8m \geq 0$，解得$m \leq 4$。综上，$m$的取值范围是$m \leq 4$且$m \neq 2$。
3. 用公式法解关于 $ x $ 的一元二次方程,得 $ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 × 3 × 1}}{2 × 3} $,则该一元二次方程是
$3x^{2}+5x + 1 = 0$
。答案
$3x^{2}+5x + 1 = 0$
解析
一元二次方程的求根公式为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，与题目给出的 $x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 × 3 × 1}}{2 × 3}$ 对比可得，$b = 5$，$a = 3$，$c = 1$。
根据一元二次方程的一般形式 $ax^2 + bx + c = 0$，可得该一元二次方程是 $3x^{2}+5x + 1 = 0$。
根据一元二次方程的一般形式 $ax^2 + bx + c = 0$，可得该一元二次方程是 $3x^{2}+5x + 1 = 0$。
4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2} - 4x + 2 = 0 $($ m $ 为实数)有两个实数根,则 $ m $ 的取值范围是
$m\leq 3$且$m\ne 1$（或写成$m\in (-\infty ,1)\cup (1,3]$）
。答案
$m\leq 3$且$m\ne 1$（或写成$m\in (-\infty ,1)\cup (1,3]$）。
解析
由于方程 $ (m - 1)x^{2} - 4x + 2 = 0 $ 是一元二次方程，
所以二次项系数 $m - 1 \neq 0$，即 $m \neq 1$。
又因为方程有两个实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$，
将方程的系数代入，得：
$\Delta = (-4)^{2} - 4 × (m - 1) × 2 \geq 0$，
即：
$16 - 8m + 8 \geq 0$，
化简得：
$24 - 8m \geq 0$，
进一步化简得：
$m \leq 3$，
综合以上两个条件，得 $m \leq 3$ 且 $m \neq 1$。
所以二次项系数 $m - 1 \neq 0$，即 $m \neq 1$。
又因为方程有两个实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$，
将方程的系数代入，得：
$\Delta = (-4)^{2} - 4 × (m - 1) × 2 \geq 0$，
即：
$16 - 8m + 8 \geq 0$，
化简得：
$24 - 8m \geq 0$，
进一步化简得：
$m \leq 3$，
综合以上两个条件，得 $m \leq 3$ 且 $m \neq 1$。
5. 不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况：
(1) $ 3x^{2} - 2x - 1 = 0 $；(2) $ 4x - x^{2} = x^{2} + 2 $；(3) $ 3x - 3 = 2x^{2} $。
(1) $ 3x^{2} - 2x - 1 = 0 $；(2) $ 4x - x^{2} = x^{2} + 2 $；(3) $ 3x - 3 = 2x^{2} $。
答案
(1) 对于方程 $3x^{2} - 2x - 1 = 0$：
$a = 3,b = - 2,c = - 1$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-2)^2 - 4 × 3 × (-1) $
$= 4 + 12 $
$= 16$
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程 $4x - x^{2} = x^{2} + 2$，整理得：
$2x^{2} - 4x + 2 = 0$，
$a = 2,b = - 4,c = 2$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-4)^2 - 4 × 2 × 2 $
$= 16 - 16 $
$= 0$
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。
(3) 对于方程 $3x - 3 = 2x^{2}$，整理得：
$2x^{2} - 3x + 3 = 0$，
$a = 2,b = - 3,c = 3$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-3)^2 - 4 × 2 × 3 $
$= 9 - 24 $
$= -15$
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。
$a = 3,b = - 2,c = - 1$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-2)^2 - 4 × 3 × (-1) $
$= 4 + 12 $
$= 16$
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程 $4x - x^{2} = x^{2} + 2$，整理得：
$2x^{2} - 4x + 2 = 0$，
$a = 2,b = - 4,c = 2$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-4)^2 - 4 × 2 × 2 $
$= 16 - 16 $
$= 0$
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。
(3) 对于方程 $3x - 3 = 2x^{2}$，整理得：
$2x^{2} - 3x + 3 = 0$，
$a = 2,b = - 3,c = 3$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-3)^2 - 4 × 2 × 3 $
$= 9 - 24 $
$= -15$
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。
6. 用公式法解下列方程：
(1) $ x^{2} - 3x - 5 = 0 $；(2) $ 3x^{2} - 5x = 4 $；(3) $ 2x^{2} - 3x = 0 $；(4) $ 2x^{2} - 5x - 1 = 0 $；(5) $ y^{2} + 2 = 2\sqrt{2}y $；(6) $ (x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x $。
(1) $ x^{2} - 3x - 5 = 0 $；(2) $ 3x^{2} - 5x = 4 $；(3) $ 2x^{2} - 3x = 0 $；(4) $ 2x^{2} - 5x - 1 = 0 $；(5) $ y^{2} + 2 = 2\sqrt{2}y $；(6) $ (x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x $。
答案
(1)
对于方程 $x^{2} - 3x - 5 = 0$，
$a = 1, b = -3, c = -5$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4×1×(-5) = 9 + 20 = 29$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$，
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$。
(2)
对于方程 $3x^{2} - 5x = 4$，移项得 $3x^{2} - 5x - 4 = 0$，
$a = 3, b = -5, c = -4$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4×3×(-4) = 25 + 48 = 73$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{6}$，
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{73}}{6}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{73}}{6}$。
(3)
对于方程 $2x^{2} - 3x = 0$，
$a = 2, b = -3, c = 0$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4×2×0 = 9$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 3}{4}$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = \frac{3}{2}$（或$1.5$）。
(4)
对于方程 $2x^{2} - 5x - 1 = 0$，
$a = 2, b = -5, c = -1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4×2×(-1) = 25 + 8 = 33$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$，
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{33}}{4}$。
(5)
对于方程 $y^{2} + 2 = 2\sqrt{2}y$，移项得 $y^{2} - 2\sqrt{2}y + 2 = 0$，
$a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = 2$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4×1×2 = 8 - 8 = 0$，
$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm 0}{2} = \sqrt{2}$，
$y_{1} = y_{2} = \sqrt{2}$。
(6)
对于方程 $(x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x$，展开得 $x^{2} - 1 = 2\sqrt{2}x$，移项得 $x^{2} - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$，
$a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = -1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4×1×(-1) = 8 + 4 = 12$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$，
$x_{1} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$，$x_{2} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$。
对于方程 $x^{2} - 3x - 5 = 0$，
$a = 1, b = -3, c = -5$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4×1×(-5) = 9 + 20 = 29$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$，
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$。
(2)
对于方程 $3x^{2} - 5x = 4$，移项得 $3x^{2} - 5x - 4 = 0$，
$a = 3, b = -5, c = -4$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4×3×(-4) = 25 + 48 = 73$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{6}$，
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{73}}{6}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{73}}{6}$。
(3)
对于方程 $2x^{2} - 3x = 0$，
$a = 2, b = -3, c = 0$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4×2×0 = 9$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 3}{4}$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = \frac{3}{2}$（或$1.5$）。
(4)
对于方程 $2x^{2} - 5x - 1 = 0$，
$a = 2, b = -5, c = -1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4×2×(-1) = 25 + 8 = 33$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$，
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{33}}{4}$。
(5)
对于方程 $y^{2} + 2 = 2\sqrt{2}y$，移项得 $y^{2} - 2\sqrt{2}y + 2 = 0$，
$a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = 2$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4×1×2 = 8 - 8 = 0$，
$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm 0}{2} = \sqrt{2}$，
$y_{1} = y_{2} = \sqrt{2}$。
(6)
对于方程 $(x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x$，展开得 $x^{2} - 1 = 2\sqrt{2}x$，移项得 $x^{2} - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$，
$a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = -1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4×1×(-1) = 8 + 4 = 12$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$，
$x_{1} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$，$x_{2} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$。
