1. 找规律,画出下一个图形,并填一填。

4 8 () ()

12；16

观察图形可知，第一个图形是$2×2$的正方形，小正方形个数为$2^2 = 4$个；第二个图形是$3×3$的正方形中间去掉$1×1$的部分，小正方形个数为$3^2 - 1^2=8$个；第三个图形是$4×4$的正方形中间去掉$2×2$的部分，小正方形个数为$4^2 - 2^2 = 12$个；那么第四个图形应是$5×5$的正方形中间去掉$3×3$的部分，小正方形个数为$5^2 - 3^2=16$个。所以数字依次为$4$，$8$，$12$，$16$，下一个图形小正方形应排$5$行，第$1$、$5$行各$5$个，第$2$、$4$行各$5$个（左右对称与上下对称结合的排列方式，中间行即第$3$行是$5$个，整体呈现大正方形中间去掉小正方形的形状）。

2. 找出下面前四组算式的规律,并计算后面的算式。
$\begin{cases} 2 × 2 = 4 \\ 1 × 3 = 3 \end{cases} $ $\begin{cases} 3 × 3 = 9 \\ 2 × 4 = 8 \end{cases} $ $\begin{cases} 4 × 4 = 16 \\ 3 × 5 = 15 \end{cases} $ $\begin{cases} 5 × 5 = 25 \\ 4 × 6 = 24 \end{cases} $
$\begin{cases} 100 × 100 = \\ 99 × 101 = \end{cases} $ $\begin{cases} 1000 × 1000 = \\ 999 × 1001 = \end{cases} $

$\begin{cases} 100 × 100 = 10000 \\ 99 × 101 = 9999 \end{cases}$
$\begin{cases} 1000 × 1000 = 1000000 \\ 999 × 1001 = 999999 \end{cases}$

规律分析：
观察前四组算式：
每组第一个算式为 $ n × n $（如 $2×2$，$3×3$，$4×4$，$5×5$）；
每组第二个算式为 $(n-1) × (n+1)$（如 $1×3$，$2×4$，$3×5$，$4×6$）；
规律：$n × n - (n-1) × (n+1) = 1$（如 $4-3=1$，$9-8=1$，$16-15=1$，$25-24=1$）。
计算结果：
1. $\begin{cases} 100 × 100 = 10000 \\ 99 × 101 = 10000 - 1 = 9999 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 1000 × 1000 = 1000000 \\ 999 × 1001 = 1000000 - 1 = 999999 \end{cases}$

3. 甲、乙两人分别从相距 500m 的 A、B 两个公园同时相向而行,甲每分钟走 55m,乙每分钟走 45m。相遇后,都继续前进,分别到达 B、A 公园后又立即按原速度返回,再次相遇后依旧继续前行,分别到达 A、B 公园后又立即按原速度返回。如此走下去,30 分钟内甲、乙两人相遇了几次？

3

1. 计算两人速度和：55+45=100(m/min)
2. 第一次相遇：共走1个全程500m，时间500÷100=5(min)
3. 后续每次相遇：共走2个全程1000m，时间1000÷100=10(min)
4. 相遇时间序列：5min(1次)，5+10=15min(2次)，15+10=25min(3次)，25+10=35min(超30min)
5. 结论：30分钟内相遇3次

下图中,在平行线 $a$ 和 $b$ 上有 6 个点,以这 6 个点为顶点,可以画出几个三角形？

1. 平行线a上有2个点（E、F），平行线b上有4个点（A、B、C、D）。
2. 构成三角形需在一条直线上取2个点，另一条直线上取1个点。
3. 情况一：a上取2点，b上取1点。a上2点取法：1种；b上1点取法：4种。共1×4=4个。
4. 情况二：b上取2点，a上取1点。b上2点取法：C₄²=6种；a上1点取法：2种。共6×2=12个。
5. 总三角形个数：4+12=16个。
16