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12. 如图所示是龙门式起重机在一次作业中起重某构件的示意图,起重机通过上方的电动机牵引绳子自由端来控制构件的升降。在此次作业中,电动机牵引绳子自由端的拉力为12000N,动滑轮及其附属装置的总重力为8000N,构件的质量为8t,构件在1min内上升了15m。$g$取10N/kg。
(1)电动机牵引绳子自由端的功率是多大?
(2)滑轮组的机械效率是多大?
(3)电动机克服钢丝绳重力和滑轮组各处摩擦所做的这部分额外功是多大?
(1)电动机牵引绳子自由端的功率是多大?
(2)滑轮组的机械效率是多大?
(3)电动机克服钢丝绳重力和滑轮组各处摩擦所做的这部分额外功是多大?
答案
12. 解:(1)由图可知,有效绳子段数$n=8$,则绳子自由端移动的距离$s=nh=8 × 15\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{m}$,
绳子拉力做功$W_{总}=Fs=12000\ \mathrm{N} × 120\ \mathrm{m}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}$,
电动机牵引绳子自由端的功率$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=2.4 × 10^{4}\ \mathrm{W}$。
(2)有用功$W_{有用}=Gh=mgh=8000\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}$,
滑轮组的机械效率$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}=\frac{1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}} \approx 0.833=83.3\%$。
(3)额外功$W_{额外}=W_{总}-W_{有用}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}$,
克服动滑轮及其附属装置总重力所做的额外功$W_{额外1}=G_{动}h=8000\ \mathrm{N} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$,
则电动机克服钢丝绳重力和滑轮组各处摩擦所做的这部分额外功$W_{额外2}=W_{额外}-W_{额外1}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$。
绳子拉力做功$W_{总}=Fs=12000\ \mathrm{N} × 120\ \mathrm{m}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}$,
电动机牵引绳子自由端的功率$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=2.4 × 10^{4}\ \mathrm{W}$。
(2)有用功$W_{有用}=Gh=mgh=8000\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}$,
滑轮组的机械效率$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}=\frac{1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}} \approx 0.833=83.3\%$。
(3)额外功$W_{额外}=W_{总}-W_{有用}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}$,
克服动滑轮及其附属装置总重力所做的额外功$W_{额外1}=G_{动}h=8000\ \mathrm{N} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$,
则电动机克服钢丝绳重力和滑轮组各处摩擦所做的这部分额外功$W_{额外2}=W_{额外}-W_{额外1}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$。
解析
【分析】
解题时首先观察题图中的滑轮组，数出承担物重的有效绳子段数n=8，这是所有后续计算的前提。
(1) 求电动机牵引绳子自由端的功率：先利用滑轮组绳端移动距离和物体上升高度的关系s=nh，算出绳子自由端移动的总距离；再根据W总=Fs计算拉力做的总功；最后根据功率的定义式P=W总/t，将时间换算为国际单位秒，代入数值即可求出功率。
(2) 求滑轮组的机械效率：先根据构件质量算出构件的重力G=mg，再计算提升构件所做的有用功W有用=Gh，最后根据机械效率的定义η=W有用/W总，代入已算出的总功和有用功，即可得到机械效率。
(3) 求克服钢丝绳重力和摩擦的额外功：首先总额外功等于总功减去有用功，额外功分为两部分，一部分是克服动滑轮及其附属装置总重力做的额外功W额1=G动h，用总额外功减去这部分额外功，就得到题目要求的克服绳重和各处摩擦的额外功。
【解析】
(1) 由图可知，承担物重的有效绳子段数n=8，
绳子自由端移动的距离：
$s=nh=8 × 15\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{m}$
拉力做的总功：
$W_{总}=Fs=12000\ \mathrm{N} × 120\ \mathrm{m}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}$
时间t=1min=60s，电动机牵引绳子自由端的功率：
$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=2.4 × 10^{4}\ \mathrm{W}$
(2) 构件的重力：
$G=mg=8×10^3\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=8×10^4\ \mathrm{N}$
提升构件做的有用功：
$W_{有用}=Gh=8×10^4\ \mathrm{N} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}$
滑轮组的机械效率：
$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}=\frac{1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}} \approx 83.3\%$
(3) 总额外功：
$W_{额外}=W_{总}-W_{有用}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
克服动滑轮及其附属装置总重力做的额外功：
$W_{额外1}=G_{动}h=8000\ \mathrm{N} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
则克服钢丝绳重力和滑轮组各处摩擦的额外功：
$W_{额外2}=W_{额外}-W_{额外1}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
【答案】
(1) $2.4 × 10^{4}\ \mathrm{W}$
(2) 约$83.3\%$
(3) $1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
【知识点】
滑轮组功率计算，滑轮组机械效率，额外功计算
【点评】
本题是滑轮组的力学综合常规计算题，考查了功、功率、机械效率的综合应用，易错点是数错承担物重的绳子段数n，同时需要学生清晰区分额外功的不同组成部分，明确不同额外功的计算逻辑，属于中考常见的滑轮组计算题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察题图中的滑轮组，数出承担物重的有效绳子段数n=8，这是所有后续计算的前提。
(1) 求电动机牵引绳子自由端的功率：先利用滑轮组绳端移动距离和物体上升高度的关系s=nh，算出绳子自由端移动的总距离；再根据W总=Fs计算拉力做的总功；最后根据功率的定义式P=W总/t，将时间换算为国际单位秒，代入数值即可求出功率。
(2) 求滑轮组的机械效率：先根据构件质量算出构件的重力G=mg，再计算提升构件所做的有用功W有用=Gh，最后根据机械效率的定义η=W有用/W总，代入已算出的总功和有用功，即可得到机械效率。
(3) 求克服钢丝绳重力和摩擦的额外功：首先总额外功等于总功减去有用功，额外功分为两部分，一部分是克服动滑轮及其附属装置总重力做的额外功W额1=G动h，用总额外功减去这部分额外功，就得到题目要求的克服绳重和各处摩擦的额外功。
【解析】
(1) 由图可知，承担物重的有效绳子段数n=8，
绳子自由端移动的距离：
$s=nh=8 × 15\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{m}$
拉力做的总功：
$W_{总}=Fs=12000\ \mathrm{N} × 120\ \mathrm{m}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}$
时间t=1min=60s，电动机牵引绳子自由端的功率：
$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=2.4 × 10^{4}\ \mathrm{W}$
(2) 构件的重力：
$G=mg=8×10^3\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=8×10^4\ \mathrm{N}$
提升构件做的有用功：
$W_{有用}=Gh=8×10^4\ \mathrm{N} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}$
滑轮组的机械效率：
$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}=\frac{1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}}{1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}} \approx 83.3\%$
(3) 总额外功：
$W_{额外}=W_{总}-W_{有用}=1.44 × 10^{6}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{6}\ \mathrm{J}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
克服动滑轮及其附属装置总重力做的额外功：
$W_{额外1}=G_{动}h=8000\ \mathrm{N} × 15\ \mathrm{m}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
则克服钢丝绳重力和滑轮组各处摩擦的额外功：
$W_{额外2}=W_{额外}-W_{额外1}=2.4 × 10^{5}\ \mathrm{J}-1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}=1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
【答案】
(1) $2.4 × 10^{4}\ \mathrm{W}$
(2) 约$83.3\%$
(3) $1.2 × 10^{5}\ \mathrm{J}$
【知识点】
滑轮组功率计算，滑轮组机械效率，额外功计算
【点评】
本题是滑轮组的力学综合常规计算题，考查了功、功率、机械效率的综合应用，易错点是数错承担物重的绳子段数n，同时需要学生清晰区分额外功的不同组成部分，明确不同额外功的计算逻辑，属于中考常见的滑轮组计算题型。
【难度系数】
0.6
13. 用如图所示的装置提升重为900N的物体,加在绳子自由端的拉力大小为400N时恰好可以使物体匀速上升。
(1)此时滑轮组的机械效率是多少?
(2)若不计绳重和摩擦,则动滑轮受到的重力是多大?
(3)若提升的重物改为1200N,则此时滑轮组的机械效率又是多少?
(1)此时滑轮组的机械效率是多少?
(2)若不计绳重和摩擦,则动滑轮受到的重力是多大?
(3)若提升的重物改为1200N,则此时滑轮组的机械效率又是多少?
答案
13. 解:(1)滑轮组的机械效率$\eta_{1}=\frac{W_{有用}}{W_{总}}=\frac{Gh}{Fs}=\frac{Gh}{3Fh}=\frac{G}{3F}=\frac{900\ \mathrm{N}}{3 × 400\ \mathrm{N}}=0.75=75\%$。
(2)由图知,$n=3$,
$\because$ 不计摩擦,
$\therefore$ $F=\frac{1}{3}(G_{动}+G)$,
$\therefore$ $G_{动}=3F-G=3 × 400\ \mathrm{N}-900\ \mathrm{N}=300\ \mathrm{N}$。
(3)提升重1200N的物体时,施加的拉力$F'=\frac{1}{3}(G_{动}+G')=\frac{1}{3} × (300\ \mathrm{N}+1200\ \mathrm{N})=500\ \mathrm{N}$,
此时滑轮组的机械效率$\eta_{2}=\frac{W'_{有用}}{W'_{总}}=\frac{G'h}{F's}=\frac{G'}{3F'}=\frac{1200\ \mathrm{N}}{3 × 500\ \mathrm{N}}=0.8=80\%$。
(2)由图知,$n=3$,
$\because$ 不计摩擦,
$\therefore$ $F=\frac{1}{3}(G_{动}+G)$,
$\therefore$ $G_{动}=3F-G=3 × 400\ \mathrm{N}-900\ \mathrm{N}=300\ \mathrm{N}$。
(3)提升重1200N的物体时,施加的拉力$F'=\frac{1}{3}(G_{动}+G')=\frac{1}{3} × (300\ \mathrm{N}+1200\ \mathrm{N})=500\ \mathrm{N}$,
此时滑轮组的机械效率$\eta_{2}=\frac{W'_{有用}}{W'_{总}}=\frac{G'h}{F's}=\frac{G'}{3F'}=\frac{1200\ \mathrm{N}}{3 × 500\ \mathrm{N}}=0.8=80\%$。
解析
【分析】
首先观察滑轮组的绕线方式，数出承担动滑轮和物重的绳子段数n=3，可得绳子自由端移动距离s=3h，h为物体上升的高度。
第(1)问求机械效率，根据机械效率的定义，它是有用功和总功的比值，有用功是克服物体重力做的功$W_有=Gh$，总功是拉力做的功$W_总=Fs$，代入s=3h后h可以约去，直接用已知的物重G和拉力F就能计算机械效率，不需要额外测量上升高度。
第(2)问，题目说明不计绳重和摩擦，此时拉力同时承担物体和动滑轮的总重，满足关系式$F=\frac{1}{n}(G+G_动)$，把已知的F、G和n=3代入，变形即可求出动滑轮的重力。
第(3)问更换重物后，同一滑轮组的动滑轮重力保持不变，先代入新的物重G'和已求出的G动算出此时的拉力F'，再套用机械效率的简化公式，就能求出新的机械效率。
【解析】
解：
(1) 由图可知，承担物重的绳子段数$n=3$，绳子自由端移动距离$s=3h$。
滑轮组的机械效率：
$\eta_1=\frac{W_{有用1}}{W_{总1}}=\frac{Gh}{Fs}=\frac{Gh}{F· 3h}=\frac{G}{3F}$
代入$G=900\ \mathrm{N}$，$F=400\ \mathrm{N}$得：
$\eta_1=\frac{900\ \mathrm{N}}{3×400\ \mathrm{N}}=0.75=75\%$
(2) 不计绳重和摩擦时，拉力满足$F=\frac{1}{n}(G+G_{动})$，代入n=3变形得动滑轮重力：
$G_{动}=3F-G=3×400\ \mathrm{N}-900\ \mathrm{N}=300\ \mathrm{N}$
(3) 当提升重物为$G'=1200\ \mathrm{N}$时，动滑轮重力不变，此时绳子自由端的拉力：
$F'=\frac{1}{3}(G'+G_{动})=\frac{1}{3}×(1200\ \mathrm{N}+300\ \mathrm{N})=500\ \mathrm{N}$
此时滑轮组的机械效率：
$\eta_2=\frac{W_{有用2}}{W_{总2}}=\frac{G'h}{F's}=\frac{G'h}{F'·3h}=\frac{G'}{3F'}$
代入数值得：
$\eta_2=\frac{1200\ \mathrm{N}}{3×500\ \mathrm{N}}=0.8=80\%$
【答案】
(1) 75%；(2) 300N；(3) 80%
【知识点】
滑轮组机械效率，滑轮组拉力计算，动滑轮受力分析
【点评】
本题是滑轮组的常规基础计算题，核心是先正确数出承担物重的绳子段数n，利用不计绳重和摩擦时拉力与物重、动滑轮重的关系解题，推导机械效率的简化公式可以消去未知的h、s，大幅简化计算，同时也能帮助学生理解同一滑轮组提升的重物越重，机械效率越高的规律。
【难度系数】
0.7
首先观察滑轮组的绕线方式，数出承担动滑轮和物重的绳子段数n=3，可得绳子自由端移动距离s=3h，h为物体上升的高度。
第(1)问求机械效率，根据机械效率的定义，它是有用功和总功的比值，有用功是克服物体重力做的功$W_有=Gh$，总功是拉力做的功$W_总=Fs$，代入s=3h后h可以约去，直接用已知的物重G和拉力F就能计算机械效率，不需要额外测量上升高度。
第(2)问，题目说明不计绳重和摩擦，此时拉力同时承担物体和动滑轮的总重，满足关系式$F=\frac{1}{n}(G+G_动)$，把已知的F、G和n=3代入，变形即可求出动滑轮的重力。
第(3)问更换重物后，同一滑轮组的动滑轮重力保持不变，先代入新的物重G'和已求出的G动算出此时的拉力F'，再套用机械效率的简化公式，就能求出新的机械效率。
【解析】
解：
(1) 由图可知，承担物重的绳子段数$n=3$，绳子自由端移动距离$s=3h$。
滑轮组的机械效率：
$\eta_1=\frac{W_{有用1}}{W_{总1}}=\frac{Gh}{Fs}=\frac{Gh}{F· 3h}=\frac{G}{3F}$
代入$G=900\ \mathrm{N}$，$F=400\ \mathrm{N}$得：
$\eta_1=\frac{900\ \mathrm{N}}{3×400\ \mathrm{N}}=0.75=75\%$
(2) 不计绳重和摩擦时，拉力满足$F=\frac{1}{n}(G+G_{动})$，代入n=3变形得动滑轮重力：
$G_{动}=3F-G=3×400\ \mathrm{N}-900\ \mathrm{N}=300\ \mathrm{N}$
(3) 当提升重物为$G'=1200\ \mathrm{N}$时，动滑轮重力不变，此时绳子自由端的拉力：
$F'=\frac{1}{3}(G'+G_{动})=\frac{1}{3}×(1200\ \mathrm{N}+300\ \mathrm{N})=500\ \mathrm{N}$
此时滑轮组的机械效率：
$\eta_2=\frac{W_{有用2}}{W_{总2}}=\frac{G'h}{F's}=\frac{G'h}{F'·3h}=\frac{G'}{3F'}$
代入数值得：
$\eta_2=\frac{1200\ \mathrm{N}}{3×500\ \mathrm{N}}=0.8=80\%$
【答案】
(1) 75%；(2) 300N；(3) 80%
【知识点】
滑轮组机械效率，滑轮组拉力计算，动滑轮受力分析
【点评】
本题是滑轮组的常规基础计算题，核心是先正确数出承担物重的绳子段数n，利用不计绳重和摩擦时拉力与物重、动滑轮重的关系解题，推导机械效率的简化公式可以消去未知的h、s，大幅简化计算，同时也能帮助学生理解同一滑轮组提升的重物越重，机械效率越高的规律。
【难度系数】
0.7
