4. $ ^{*} $数学活动.
设 $ \bar{x} $是数据 $ x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n} $的平均数，即 $ \bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+···+x_{n}}{n} $，则这组数据的方差是： $ s^{2}=\frac{1}{n}[ (x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\dots+(x_{n}-\bar{x})^{2}] $它反映了这组数据的波动性，请做如下探索：
(1) 证明：对任意实数 a， $ x_{1}-a,x_{2}-a,···,x_{n}-a $与 $ x_{1},x_{2},···,x_{n} $方差相同；
(2) 证明： $ s^{2}=\frac{1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+···+x_{n}^{2})-\bar{x}^{2}; $
(3) 以下是某校九年级（1）班10位同学的身高（单位：厘米）：
169 172 163 173 175 168 170 167 170 171
请计算这组数据的方差.

(1)证明:设$x_1$-$a$,$x_2$-$a$,$···$,$x_n$-$a$的平均数为$\bar{x}'$,方差为$s'^2$. 则:
$\bar{x}'=\frac{(x_1 - a)+(x_2 - a)+···+(x_n - a)}{n}=\frac{x_1 + x_2 + ··· + x_n}{n}-a=\bar{x}-a$,
$\therefore s'^2=\frac{1}{n}\{[(x_1 - a)-\bar{x}']^2+[(x_2 - a)-\bar{x}']^2+···+[(x_n - a)-\bar{x}']^2\}$
$=\frac{1}{n}\{[(x_1 - a)-(\bar{x}-a)]^2+[(x_2 - a)-(\bar{x}-a)]^2+···+[(x_n - a)-(\bar{x}-a)]^2\}$
$=\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+···+(x_n - \bar{x})^2]$
$=s^2$,
$\therefore$对任意实数$a$,$x_1$-$a$,$x_2$-$a$,$···$,$x_n$-$a$与$x_1$,$x_2$,$···$,$x_n$方差相同.
(2)证明:
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+···+(x_n - \bar{x})^2]$
$=\frac{1}{n}[(x_1^2 + x_2^2 + ··· + x_n^2)-2(x_1 + x_2 + ··· + x_n)\bar{x}+n\bar{x}^2]$
$=\frac{1}{n}(x_1^2 + x_2^2 + ··· + x_n^2)-2·\frac{x_1 + x_2 + ··· + x_n}{n}·\bar{x}+\bar{x}^2$
$=\frac{1}{n}(x_1^2 + x_2^2 + ··· + x_n^2)-2\bar{x}^2+\bar{x}^2$
$=\frac{1}{n}(x_1^2 + x_2^2 + ··· + x_n^2)-\bar{x}^2$
(3)根据(1)的结论,将这10个数都减去170,得:
$-1\ \ \ \ 2\ \ \ \ -7\ \ \ \ 3\ \ \ \ 5\ \ \ \ -2\ \ \ \ 0\ \ \ \ -3\ \ \ \ 0\ \ \ \ 1$
则$\bar{x}=-0.2$,再由(2)得:
$s^2=\frac{1}{10}[(-1)^2 + 2^2 + (-7)^2 + 3^2 + 5^2 + (-2)^2 + 0 + (-3)^2 + 0 + 1^2]-(-0.2)^2=10.16$

1. 已知一组数据：3，5，2，4，2，3，2，6，则这组数据的 25% 分位数是（ ）

A.5
B.4
C.3
D.2

D

2. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：

则该足球队队员年龄的上四分位数为（ ）

A.15岁
B.14岁
C.13岁
D.7人

C