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1. 已知$a=2^{-2},b=(π -2)^{0},c=(-1)^{3}$,则a,b,c的大小关系为(
A.$c＜b＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$a＜c＜b$
C
)。A.$c＜b＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$c＜a＜b$
D.$a＜c＜b$
答案
1.C
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需要根据幂的运算规则分别计算出a、b、c的具体数值，再根据有理数大小比较的方法判断三者的大小关系。具体思考步骤如下：
1. 对于$a=2^{-2}$，依据负整数指数幂的运算规则，可计算出a的值；
2. 对于$b=(π-2)^0$，根据零指数幂的运算规则，结合$π-2≠0$的特点，可得出b的值；
3. 对于$c=(-1)^3$，根据有理数乘方的规则，负数的奇数次方为负数，可计算出c的值；
4. 最后将三个数值进行大小比较，即可确定答案。
【解析】
1. 计算$a$的值：
根据负整数指数幂的运算规则 $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$a=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
2. 计算$b$的值：
根据零指数幂的运算规则 $a^0=1$（$a≠0$），因为$π≈3.14$，所以$π-2≠0$，则：
$b=(π-2)^0=1$
3. 计算$c$的值：
根据有理数乘方的运算规则，负数的奇数次幂为负数，可得：
$c=(-1)^3=-1$
4. 比较大小：
因为$-1＜\frac{1}{4}＜1$，所以$c＜a＜b$。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂，零指数幂，有理数乘方
【点评】
本题属于基础题型，考查幂的运算及有理数大小比较。解题关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂和有理数乘方的运算规则，通过计算出具体数值再进行大小比较即可得出结果，难度较低，易于掌握。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，首先需要根据幂的运算规则分别计算出a、b、c的具体数值，再根据有理数大小比较的方法判断三者的大小关系。具体思考步骤如下：
1. 对于$a=2^{-2}$，依据负整数指数幂的运算规则，可计算出a的值；
2. 对于$b=(π-2)^0$，根据零指数幂的运算规则，结合$π-2≠0$的特点，可得出b的值；
3. 对于$c=(-1)^3$，根据有理数乘方的规则，负数的奇数次方为负数，可计算出c的值；
4. 最后将三个数值进行大小比较，即可确定答案。
【解析】
1. 计算$a$的值：
根据负整数指数幂的运算规则 $a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$a=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
2. 计算$b$的值：
根据零指数幂的运算规则 $a^0=1$（$a≠0$），因为$π≈3.14$，所以$π-2≠0$，则：
$b=(π-2)^0=1$
3. 计算$c$的值：
根据有理数乘方的运算规则，负数的奇数次幂为负数，可得：
$c=(-1)^3=-1$
4. 比较大小：
因为$-1＜\frac{1}{4}＜1$，所以$c＜a＜b$。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂，零指数幂，有理数乘方
【点评】
本题属于基础题型，考查幂的运算及有理数大小比较。解题关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂和有理数乘方的运算规则，通过计算出具体数值再进行大小比较即可得出结果，难度较低，易于掌握。
【难度系数】
0.8
2. 如果等式$(x-2)^{x+2}=1$成立,则满足条件的x的值为(
A.1或-2
B.1或3或-2
C.2或-2
D.3或-2
D
)。A.1或-2
B.1或3或-2
C.2或-2
D.3或-2
答案
2.D
解析
【分析】
要使$(x-2)^{x+2}=1$成立，需根据幂的结果为1的三种常见情况分类讨论：一是非零数的0次幂等于1；二是1的任何次幂等于1；三是-1的偶次幂等于1。同时要注意底数不能为0（否则无意义），逐一分析每种情况并验证是否符合条件，从而确定满足条件的x值。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 非零数的0次幂等于1：
当指数$x+2=0$，且底数$x-2≠0$时，等式成立。
由$x+2=0$解得$x=-2$，此时$x-2=-2-2=-4≠0$，符合条件，故$x=-2$是解。
2. 1的任何次幂等于1：
当底数$x-2=1$时，等式成立。
解得$x=3$，此时指数$x+2=3+2=5$，$1^5=1$，符合条件，故$x=3$是解。
3. -1的偶次幂等于1：
当底数$x-2=-1$时，解得$x=1$，此时指数$x+2=1+2=3$（奇数），$(-1)^3=-1≠1$，不符合条件，舍去$x=1$。
另外，若$x=2$，底数$x-2=0$，$0^{4}=0≠1$，不符合等式，故$x=2$不是解。
综上，满足条件的x的值为3或-2。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质；有理数的乘方
【点评】
本题考查幂的运算中结果为1的多种情况，解题关键是分类讨论，全面考虑所有可能的情况，并验证每种情况是否满足底数的限制条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
要使$(x-2)^{x+2}=1$成立，需根据幂的结果为1的三种常见情况分类讨论：一是非零数的0次幂等于1；二是1的任何次幂等于1；三是-1的偶次幂等于1。同时要注意底数不能为0（否则无意义），逐一分析每种情况并验证是否符合条件，从而确定满足条件的x值。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 非零数的0次幂等于1：
当指数$x+2=0$，且底数$x-2≠0$时，等式成立。
由$x+2=0$解得$x=-2$，此时$x-2=-2-2=-4≠0$，符合条件，故$x=-2$是解。
2. 1的任何次幂等于1：
当底数$x-2=1$时，等式成立。
解得$x=3$，此时指数$x+2=3+2=5$，$1^5=1$，符合条件，故$x=3$是解。
3. -1的偶次幂等于1：
当底数$x-2=-1$时，解得$x=1$，此时指数$x+2=1+2=3$（奇数），$(-1)^3=-1≠1$，不符合条件，舍去$x=1$。
另外，若$x=2$，底数$x-2=0$，$0^{4}=0≠1$，不符合等式，故$x=2$不是解。
综上，满足条件的x的值为3或-2。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质；有理数的乘方
【点评】
本题考查幂的运算中结果为1的多种情况，解题关键是分类讨论，全面考虑所有可能的情况，并验证每种情况是否满足底数的限制条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
3. 下列计算中,正确的是(
A.$x^{4}· x^{2}=x^{8}$
B.$(x^{2})^{4}=x^{8}$
C.$(-\frac{1}{3}x^{2})^{4}=-\frac{1}{81}x^{8}$
D.$(-\frac{1}{2})^{-2}=-4$
B
)。A.$x^{4}· x^{2}=x^{8}$
B.$(x^{2})^{4}=x^{8}$
C.$(-\frac{1}{3}x^{2})^{4}=-\frac{1}{81}x^{8}$
D.$(-\frac{1}{2})^{-2}=-4$
答案
3.B
解析
【分析】
这道题考查幂的相关运算，解题时需逐一运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方以及负整数指数幂的法则判断每个选项正误。首先回忆核心法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，需将每个因式分别乘方再相乘；负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数。接下来依次验证每个选项，通过对比法则判断计算是否正确，进而选出正确选项。
【解析】
选项A：根据同底数幂乘法法则，$x^{4}·x^{2}=x^{4+2}=x^{6}≠x^{8}$，计算错误；
选项B：根据幂的乘方法则，$(x^{2})^{4}=x^{2×4}=x^{8}$，计算正确；
选项C：根据积的乘方法则，$(-\frac{1}{3}x^{2})^{4}=(-\frac{1}{3})^{4}·(x^{2})^{4}=\frac{1}{81}x^{8}≠-\frac{1}{81}x^{8}$，负数的偶次幂为正，计算错误；
选项D：根据负整数指数幂法则，$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4≠-4$，计算错误。
【答案】
B
【知识点】
幂的运算法则，负整数指数幂
【点评】
本题聚焦幂的基础运算，重点考查对不同幂运算规则的区分与应用，需注意符号处理和指数运算的准确性，避免因混淆法则导致计算错误，是对幂运算核心知识点的基础考查。
【难度系数】
0.7
这道题考查幂的相关运算，解题时需逐一运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方以及负整数指数幂的法则判断每个选项正误。首先回忆核心法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，需将每个因式分别乘方再相乘；负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数。接下来依次验证每个选项，通过对比法则判断计算是否正确，进而选出正确选项。
【解析】
选项A：根据同底数幂乘法法则，$x^{4}·x^{2}=x^{4+2}=x^{6}≠x^{8}$，计算错误；
选项B：根据幂的乘方法则，$(x^{2})^{4}=x^{2×4}=x^{8}$，计算正确；
选项C：根据积的乘方法则，$(-\frac{1}{3}x^{2})^{4}=(-\frac{1}{3})^{4}·(x^{2})^{4}=\frac{1}{81}x^{8}≠-\frac{1}{81}x^{8}$，负数的偶次幂为正，计算错误；
选项D：根据负整数指数幂法则，$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4≠-4$，计算错误。
【答案】
B
【知识点】
幂的运算法则，负整数指数幂
【点评】
本题聚焦幂的基础运算，重点考查对不同幂运算规则的区分与应用，需注意符号处理和指数运算的准确性，避免因混淆法则导致计算错误，是对幂运算核心知识点的基础考查。
【难度系数】
0.7
4. 若$4^{m}=\frac{1}{64}$,则$3^{m-2}=$
$\frac{1}{243}$
。答案
4.$\frac{1}{243}$
解析
【分析】
首先，我们需要根据已知等式$4^{m}=\frac{1}{64}$求出$m$的值。因为等式两边的底数都是4（可将右边的$\frac{1}{64}$转化为以4为底数的幂），根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质，就能得到$m$的取值。求出$m$后，将其代入$3^{m-2}$，再利用负整数指数幂的运算规则计算出最终结果。
【解析】
1. 将$\frac{1}{64}$转化为以4为底数的幂：
因为$64 = 4^3$，所以$\frac{1}{64} = 4^{-3}$。
2. 根据同底数幂的性质求$m$：
已知$4^{m}=4^{-3}$，由于同底数幂相等时指数相等，可得$m = -3$。
3. 代入计算$3^{m-2}$：
将$m=-3$代入得$3^{-3-2}=3^{-5}$，根据负整数指数幂的定义$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），则$3^{-5}=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$。
【答案】
$\frac{1}{243}$
【知识点】
同底数幂的性质、负整数指数幂
【点评】
本题主要考查幂的相关运算性质，解题的关键是将已知等式中的数转化为同底数幂的形式，从而求出$m$的值，再代入目标式计算。题目难度较低，侧重对幂的基础性质的理解与应用。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要根据已知等式$4^{m}=\frac{1}{64}$求出$m$的值。因为等式两边的底数都是4（可将右边的$\frac{1}{64}$转化为以4为底数的幂），根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质，就能得到$m$的取值。求出$m$后，将其代入$3^{m-2}$，再利用负整数指数幂的运算规则计算出最终结果。
【解析】
1. 将$\frac{1}{64}$转化为以4为底数的幂：
因为$64 = 4^3$，所以$\frac{1}{64} = 4^{-3}$。
2. 根据同底数幂的性质求$m$：
已知$4^{m}=4^{-3}$，由于同底数幂相等时指数相等，可得$m = -3$。
3. 代入计算$3^{m-2}$：
将$m=-3$代入得$3^{-3-2}=3^{-5}$，根据负整数指数幂的定义$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），则$3^{-5}=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$。
【答案】
$\frac{1}{243}$
【知识点】
同底数幂的性质、负整数指数幂
【点评】
本题主要考查幂的相关运算性质，解题的关键是将已知等式中的数转化为同底数幂的形式，从而求出$m$的值，再代入目标式计算。题目难度较低，侧重对幂的基础性质的理解与应用。
【难度系数】
0.7
5. 若$10^{2y}=25$,则$10^{-y}=$
$\pm\frac{1}{5}$
。答案
5.$\pm\frac{1}{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过幂的运算性质逐步转化已知条件来推导目标式的值。首先，观察到$10^{2y}$可利用幂的乘方公式变形为$(10^y)^2$，由此先求出$10^y$的可能值；再根据负整数指数幂的定义，将$10^{-y}$转化为$\frac{1}{10^y}$，代入$10^y$的值即可得到结果。需要注意，一个正数的平方根有正负两个，不能遗漏负解。
【解析】
1. 利用幂的乘方运算性质$a^{mn}=(a^m)^n$，将已知条件变形：
$10^{2y}=(10^y)^2=25$
2. 求解$10^y$：
因为一个数的平方等于25，所以这个数是25的平方根，即$10^y=\pm\sqrt{25}=\pm5$
3. 根据负整数指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），将$10^{-y}$转化：
$10^{-y}=\frac{1}{10^y}$
将$10^y=\pm5$代入上式，可得：
当$10^y=5$时，$10^{-y}=\frac{1}{5}$；当$10^y=-5$时，$10^{-y}=-\frac{1}{5}$
综上，$10^{-y}=\pm\frac{1}{5}$
【答案】
$\pm\frac{1}{5}$
【知识点】
幂的乘方运算、负整数指数幂、平方根的性质
【点评】
本题考查幂的运算性质与平方根的综合应用，解题关键在于灵活运用幂的乘方公式进行变形，同时要注意平方根的正负性，避免遗漏负解。从纯代数运算角度出发，根据平方的逆运算得到$10^y$的正负两种可能，进而得出最终结果。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以通过幂的运算性质逐步转化已知条件来推导目标式的值。首先，观察到$10^{2y}$可利用幂的乘方公式变形为$(10^y)^2$，由此先求出$10^y$的可能值；再根据负整数指数幂的定义，将$10^{-y}$转化为$\frac{1}{10^y}$，代入$10^y$的值即可得到结果。需要注意，一个正数的平方根有正负两个，不能遗漏负解。
【解析】
1. 利用幂的乘方运算性质$a^{mn}=(a^m)^n$，将已知条件变形：
$10^{2y}=(10^y)^2=25$
2. 求解$10^y$：
因为一个数的平方等于25，所以这个数是25的平方根，即$10^y=\pm\sqrt{25}=\pm5$
3. 根据负整数指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），将$10^{-y}$转化：
$10^{-y}=\frac{1}{10^y}$
将$10^y=\pm5$代入上式，可得：
当$10^y=5$时，$10^{-y}=\frac{1}{5}$；当$10^y=-5$时，$10^{-y}=-\frac{1}{5}$
综上，$10^{-y}=\pm\frac{1}{5}$
【答案】
$\pm\frac{1}{5}$
【知识点】
幂的乘方运算、负整数指数幂、平方根的性质
【点评】
本题考查幂的运算性质与平方根的综合应用，解题关键在于灵活运用幂的乘方公式进行变形，同时要注意平方根的正负性，避免遗漏负解。从纯代数运算角度出发，根据平方的逆运算得到$10^y$的正负两种可能，进而得出最终结果。
【难度系数】
0.6
6. 计算:
(1)$(-\frac{1}{5})^{0}× 10^{-2}$;
(2)$(-2\ 025)^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}+(-1)^{2\ 025}$;
(3)$-1^{4}+(\frac{1}{2})^{3}× 2-(-2)^{0}+2$;
(4)$(\frac{1}{2})^{-3}÷ (-2)^{2}+(-\frac{1}{5})^{0}× (-1)^{3}$。
(1)$(-\frac{1}{5})^{0}× 10^{-2}$;
(2)$(-2\ 025)^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}+(-1)^{2\ 025}$;
(3)$-1^{4}+(\frac{1}{2})^{3}× 2-(-2)^{0}+2$;
(4)$(\frac{1}{2})^{-3}÷ (-2)^{2}+(-\frac{1}{5})^{0}× (-1)^{3}$。
答案
6.(1)$\frac{1}{100}$ (2)2 (3)$\frac{1}{4}$ (4)1
解析
【分析】
要解决这几道指数运算题，需先明确相关运算法则：
1. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）；
2. 负整数指数幂：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）；
3. 有理数乘方：注意区分$-1^n$（表示1的$n$次方的相反数）和$(-1)^n$（表示$-1$的$n$次方），同时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。
针对每个小题的思考步骤：
(1) 先计算零指数幂$(-\frac{1}{5})^0$，再计算负整数指数幂$10^{-2}$，最后将两者相乘；
(2) 分别计算零指数幂、负整数指数幂、奇数次乘方，再将结果相加；
(3) 依次计算各项乘方，再算乘法，最后按加减顺序计算；
(4) 先计算负指数幂、乘方、零指数幂，再算乘除，最后算加减。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(-\frac{1}{5})^{0}× 10^{-2}&=1×\frac{1}{10^2}\\&=1×\frac{1}{100}\\&=\frac{1}{100}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(-2025)^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}+(-1)^{2025}&=1 + 2 + (-1)\\&=2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}-1^{4}+(\frac{1}{2})^{3}× 2-(-2)^{0}+2&=-1 + \frac{1}{8}×2 -1 + 2\\&=-1 + \frac{1}{4} -1 + 2\\&=(-1-1+2) + \frac{1}{4}\\&=0 + \frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(\frac{1}{2})^{-3}÷ (-2)^{2}+(-\frac{1}{5})^{0}× (-1)^{3}&=8÷4 + 1×(-1)\\&=2 + (-1)\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{100}$；(2)$2$；(3)$\frac{1}{4}$；(4)$1$
【知识点】
零指数幂，负整数指数幂，有理数混合运算
【点评】
本题考查指数运算与有理数混合运算的综合应用，核心是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，同时要注意乘方运算中符号的处理，严格遵循运算顺序计算，避免因符号或顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
要解决这几道指数运算题，需先明确相关运算法则：
1. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）；
2. 负整数指数幂：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）；
3. 有理数乘方：注意区分$-1^n$（表示1的$n$次方的相反数）和$(-1)^n$（表示$-1$的$n$次方），同时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序。
针对每个小题的思考步骤：
(1) 先计算零指数幂$(-\frac{1}{5})^0$，再计算负整数指数幂$10^{-2}$，最后将两者相乘；
(2) 分别计算零指数幂、负整数指数幂、奇数次乘方，再将结果相加；
(3) 依次计算各项乘方，再算乘法，最后按加减顺序计算；
(4) 先计算负指数幂、乘方、零指数幂，再算乘除，最后算加减。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(-\frac{1}{5})^{0}× 10^{-2}&=1×\frac{1}{10^2}\\&=1×\frac{1}{100}\\&=\frac{1}{100}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(-2025)^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}+(-1)^{2025}&=1 + 2 + (-1)\\&=2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}-1^{4}+(\frac{1}{2})^{3}× 2-(-2)^{0}+2&=-1 + \frac{1}{8}×2 -1 + 2\\&=-1 + \frac{1}{4} -1 + 2\\&=(-1-1+2) + \frac{1}{4}\\&=0 + \frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(\frac{1}{2})^{-3}÷ (-2)^{2}+(-\frac{1}{5})^{0}× (-1)^{3}&=8÷4 + 1×(-1)\\&=2 + (-1)\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{1}{100}$；(2)$2$；(3)$\frac{1}{4}$；(4)$1$
【知识点】
零指数幂，负整数指数幂，有理数混合运算
【点评】
本题考查指数运算与有理数混合运算的综合应用，核心是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，同时要注意乘方运算中符号的处理，严格遵循运算顺序计算，避免因符号或顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.6
7. 计算:$(x-1)^{3}· (1-x)^{3}÷ (x-1)^{-2}$。
答案
7.$-(x-1)^{8}$
解析
【分析】
本题是幂的混合运算题，解题思路如下：
1. 统一底数：观察到式子中$(x-1)$和$(1-x)$互为相反数，且指数3为奇数，因此可将$(1-x)^3$转化为$-(x-1)^3$，把所有项的底数统一为$(x-1)$；
2. 处理负指数幂：根据负整数指数幂的定义，$(x-1)^{-2}=\frac{1}{(x-1)^2}$，除以该式等价于乘以它的倒数$(x-1)^2$；
3. 运用幂的运算法则：按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）进行计算，最后合并指数得出结果。
【解析】
解：原式=$(x-1)^{3}· [-(x-1)^{3}] ÷ (x-1)^{-2}$
$=-(x-1)^{3+3} · (x-1)^{2}$（将除法转化为乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
$=-(x-1)^{6+2}$
$=-(x-1)^{8}$
【答案】
$-(x-1)^{8}$
【知识点】
同底数幂的乘除法；负整数指数幂；互为相反数的幂转化
【点评】
本题重点考查幂的运算性质，核心是统一底数并正确运用运算法则，需要特别注意当指数为奇数时，互为相反数的底数转化后的符号变化，以及负指数幂的处理规则，是对幂运算基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.6
本题是幂的混合运算题，解题思路如下：
1. 统一底数：观察到式子中$(x-1)$和$(1-x)$互为相反数，且指数3为奇数，因此可将$(1-x)^3$转化为$-(x-1)^3$，把所有项的底数统一为$(x-1)$；
2. 处理负指数幂：根据负整数指数幂的定义，$(x-1)^{-2}=\frac{1}{(x-1)^2}$，除以该式等价于乘以它的倒数$(x-1)^2$；
3. 运用幂的运算法则：按照同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）进行计算，最后合并指数得出结果。
【解析】
解：原式=$(x-1)^{3}· [-(x-1)^{3}] ÷ (x-1)^{-2}$
$=-(x-1)^{3+3} · (x-1)^{2}$（将除法转化为乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
$=-(x-1)^{6+2}$
$=-(x-1)^{8}$
【答案】
$-(x-1)^{8}$
【知识点】
同底数幂的乘除法；负整数指数幂；互为相反数的幂转化
【点评】
本题重点考查幂的运算性质，核心是统一底数并正确运用运算法则，需要特别注意当指数为奇数时，互为相反数的底数转化后的符号变化，以及负指数幂的处理规则，是对幂运算基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.6
8. 观察下面一列单项式:$x,-\frac{1}{2}x^{2},\frac{1}{4}x^{3},-\frac{1}{8}x^{4},\frac{1}{16}x^{5},···$。
(1)计算这列单项式中,每一个单项式与它前一项的商,你有什么发现?
(2)根据你发现的规律写出第n个单项式。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)计算这列单项式中,每一个单项式与它前一项的商,你有什么发现?
(2)根据你发现的规律写出第n个单项式。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
8.解:(1)一个单项式与它前一项的商均为$-\frac{1}{2}x$;
(2)第n个单项式为$x· (-\frac{1}{2}x)^{n-1}=(-\frac{1}{2})^{n-1}· x^{n}$。
(2)第n个单项式为$x· (-\frac{1}{2}x)^{n-1}=(-\frac{1}{2})^{n-1}· x^{n}$。
解析
【分析】
对于第(1)问，我们可以选取数列中相邻的几个单项式，依次计算后一项与前一项的商，通过观察计算结果，总结出共同的规律；对于第(2)问，根据第(1)问发现的商是固定值，可知这列单项式构成等比数列，首项为$x$，公比为第(1)问得到的商，再利用等比数列的通项公式即可推导出第$n$个单项式。
【解析】
(1) 计算相邻单项式的商：
$(-\frac{1}{2}x^{2})÷ x = -\frac{1}{2}x$；
$\frac{1}{4}x^{3}÷(-\frac{1}{2}x^{2}) = -\frac{1}{2}x$；
$(-\frac{1}{8}x^{4})÷\frac{1}{4}x^{3} = -\frac{1}{2}x$；
$\frac{1}{16}x^{5}÷(-\frac{1}{8}x^{4}) = -\frac{1}{2}x$。
通过计算发现：这列单项式中每一个单项式与它前一项的商均为$-\frac{1}{2}x$。
(2) 由(1)可知，该数列是首项为$x$，公比为$-\frac{1}{2}x$的等比数列，根据等比数列通项公式$a_n=a_1· q^{n-1}$（其中$a_1$为首项，$q$为公比），可得第$n$个单项式为：
$x· (-\frac{1}{2}x)^{n-1}=(-\frac{1}{2})^{n-1}· x^{n}$。
【答案】
(1) 每一个单项式与它前一项的商均为$-\frac{1}{2}x$；
(2) 第$n$个单项式为$(-\frac{1}{2})^{n-1}· x^{n}$。
【知识点】
单项式除法、规律型代数式
【点评】
本题主要考查单项式的运算及规律探究，通过计算相邻项的商发现固定公比是解题关键，既考查了学生的运算能力，又培养了观察、归纳的逻辑思维，属于基础规律探究题，有助于提升学生对代数式规律的认知。
【难度系数】
0.6
对于第(1)问，我们可以选取数列中相邻的几个单项式，依次计算后一项与前一项的商，通过观察计算结果，总结出共同的规律；对于第(2)问，根据第(1)问发现的商是固定值，可知这列单项式构成等比数列，首项为$x$，公比为第(1)问得到的商，再利用等比数列的通项公式即可推导出第$n$个单项式。
【解析】
(1) 计算相邻单项式的商：
$(-\frac{1}{2}x^{2})÷ x = -\frac{1}{2}x$；
$\frac{1}{4}x^{3}÷(-\frac{1}{2}x^{2}) = -\frac{1}{2}x$；
$(-\frac{1}{8}x^{4})÷\frac{1}{4}x^{3} = -\frac{1}{2}x$；
$\frac{1}{16}x^{5}÷(-\frac{1}{8}x^{4}) = -\frac{1}{2}x$。
通过计算发现：这列单项式中每一个单项式与它前一项的商均为$-\frac{1}{2}x$。
(2) 由(1)可知，该数列是首项为$x$，公比为$-\frac{1}{2}x$的等比数列，根据等比数列通项公式$a_n=a_1· q^{n-1}$（其中$a_1$为首项，$q$为公比），可得第$n$个单项式为：
$x· (-\frac{1}{2}x)^{n-1}=(-\frac{1}{2})^{n-1}· x^{n}$。
【答案】
(1) 每一个单项式与它前一项的商均为$-\frac{1}{2}x$；
(2) 第$n$个单项式为$(-\frac{1}{2})^{n-1}· x^{n}$。
【知识点】
单项式除法、规律型代数式
【点评】
本题主要考查单项式的运算及规律探究，通过计算相邻项的商发现固定公比是解题关键，既考查了学生的运算能力，又培养了观察、归纳的逻辑思维，属于基础规律探究题，有助于提升学生对代数式规律的认知。
【难度系数】
0.6
