1. 一般地，对于任意底数 $a$ 与任意正整数 $m$，$n$，$(a^m)^n = \overbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}^{n个a^m} = a^{\overbrace{m + m + \dots + m}^{n个m}} = $ . 因此，我们有 $(a^m)^n = $ （$m$，$n$ 都是正整数）. 即幂的乘方，底数不变，指数 .

1. $a^{mn}$；$a^{mn}$；相乘

【分析】
解题时先回忆乘方的意义与同底数幂的乘法法则：首先，$(a^m)^n$的含义是n个$a^m$相乘，符合同底数幂相乘的形式；再根据同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的性质，指数部分是n个m相加，根据乘法的意义，n个相同的m相加可改写为$m× n$，即可推导得到幂的乘方的运算结果，最后总结出幂的乘方的运算规律即可完成填空。
【解析】
第一步：根据乘方的定义，$(a^m)^n$表示n个$a^m$相乘，即$\overbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}^{n个a^m}$；
第二步：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此上述式子的指数为n个m相加，即$\overbrace{m + m + \dots + m}^{n个m}=mn$，因此计算结果为$a^{mn}$，第一个空填$a^{mn}$；
第三步：由推导过程可得幂的乘方的运算公式：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n都是正整数），因此第二个空填$a^{mn}$；
第四步：将公式转化为文字描述：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此第三个空填“相乘”。
【答案】
$a^{mn}$；$a^{mn}$；相乘
【知识点】
幂的乘方法则；同底数幂的乘法；乘方的意义
【点评】
本题考查幂的乘方法则的推导过程，属于基础概念类题目，要求学生理解幂的相关运算的底层逻辑，熟练掌握运算性质，为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.9

例1 (教材改编)计算：
(1)$(10^2)^3$；
(2)$(a^n)^6$；
(3)$-(x^2)^5$；
(4)$[(m^3)^2]^n$。

(1)$10^6$；(2)$a^{5n}$；(3)$-x^{10}$；(4)$m^{6n}$

【分析】
本题考查幂的乘方的基础运算，解题核心是牢记幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时按照规则逐步计算即可：遇到带负号的运算，若负号在乘方括号外，直接保留负号，只运算括号内的幂的乘方；多重乘方可以多次运用幂的乘方法则，依次将指数相乘即可。
(1) 底数为10，直接将指数2和3相乘；
(2) 底数为a，将指数n和5相乘即可得到结果；
(3) 保留括号外的负号，计算括号内$(x^2)^5$的结果后添加负号；
(4) 多重乘方从内到外依次运算，先算$(m^3)^2$，再将得到的指数和n相乘。
【解析】
根据幂的乘方法则$\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}$（m、n均为正整数），计算如下：
(1) $(10^2)^3=10^{2×3}=10^6$
(2) $(a^n)^5=a^{n×5}=a^{5n}$
(3) $-(x^2)^5=-x^{2×5}=-x^{10}$
(4) $[(m^3)^2]^n=(m^{3×2})^n=m^{6× n}=m^{6n}$
【答案】
(1)$10^6$；(2)$a^{5n}$；(3)$-x^{10}$；(4)$m^{6n}$
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的乘方的基础练习题，主要考查对幂的乘方法则的掌握程度，运算时要注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法的指数运算规则，同时不要漏看符号、不要漏乘多重乘方的指数。
【难度系数】
0.9

2. 一般地，对于任意底数$a$，$b$与任意正整数$n$，$(ab)^n = \overbrace{(ab) · (ab) · \dots · (ab)}^{n个ab} = \overbrace{(a · a · \dots · a)}^{n个a} · \overbrace{(b · b · \dots · b)}^{n个b} = \_\_\_\_\_\_$。因此，我们有$(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$（$n$是正整数）。即积的乘方，等于把积的每一个因式分别________，再把所得的幂________。

2. $a^n b^n$；$a^n b^n$；乘方；相乘

【分析】
这道题考查积的乘方法则的推导过程，解题时先根据乘方的定义把$(ab)^n$展开为$n$个$ab$相乘，再利用乘法交换律和结合律，将所有的$a$、$b$分别归类相乘，$n$个$a$相乘的结果根据乘方的定义是$a^n$，$n$个$b$相乘的结果是$b^n$，二者相乘得到推导结果，最后对应总结积的乘方的法则表述即可。
【解析】
根据乘方的定义，$n$个$a$相乘记作$a^n$，$n$个$b$相乘记作$b^n$，因此$\overbrace{(a · a · \dots · a)}^{n个a} · \overbrace{(b · b · \dots · b)}^{n个b}=a^n b^n$，由此可得积的乘方公式为$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），对应的法则表述为：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
【答案】
$a^n b^n$；$a^n b^n$；乘方；相乘
【知识点】
1. 积的乘方法则 2. 乘方的意义
【点评】
本题是对积的乘方法则推导与概念的基础考查，重在理解法则的推导逻辑，准确记忆法则内容，是幂的运算相关知识点的基础题型。
【难度系数】
0.9

例2（教材改编）计算：
(1)$(2b)^3=2^3 · b^3=$；
(2)$(-5a)^3=(-5)^3 · a^3=$；
(3)$(xy^3)^2=$$=$；
(4)$(-x^2y)^4=$$=$。

(1)$8b^3$；(2)$-125a^3$；(3)$x^2 · (y^3)^2$，$x^2 y^6$；(4)$(x^2)^4 · y^4$，$x^8 y^4$

【分析】
这几道题考查幂的相关运算，解题核心是熟练运用两个运算法则：1. 积的乘方法则：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）；2. 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数）。解题时先对应法则拆分式子，再分别计算乘方、整理结果即可，同时注意负数乘方的符号判断：负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则，将$(2b)^3$中2和b分别乘方得$2^3·b^3$，计算$2^3=8$，因此结果为$8b^3$；
(2) 根据积的乘方法则，将$(-5a)^3$中-5和a分别乘方得$(-5)^3·a^3$，计算$(-5)^3=-125$，因此结果为$-125a^3$；
(3) 根据积的乘方法则，将$(xy^3)^2$中x和$y^3$分别乘方得$x^2·(y^3)^2$，再根据幂的乘方法则计算$(y^3)^2=y^{3×2}=y^6$，因此结果为$x^2y^6$；
(4) 根据积的乘方法则，$(-x^2y)^4$中-1的4次幂为正，将$x^2$和y分别乘方得$(x^2)^4·y^4$，再根据幂的乘方法则计算$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$，因此结果为$x^8y^4$。
【答案】
(1)$8b^3$；(2)$-125a^3$；(3)$x^2 · (y^3)^2$，$x^2 y^6$；(4)$(x^2)^4 · y^4$，$x^8 y^4$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；乘方符号判断
【点评】
本题属于幂运算的基础练习题，重点考查对积的乘方、幂的乘方法则的运用，解题时需注意区分负数乘方的符号，不要混淆幂运算的指数计算规则，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

例3 (教材改编)计算：
(1)$(-5a^mb^n)^2$；
(2)$(-\dfrac{1}{3}x^3y^2)^2$。

解：(1)原式$=(-5)^2 · (a^m)^2 · (b^n)^2 =25a^{2m}b^{2n}$。
(2)原式$=(-\dfrac{1}{3})^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2 =\dfrac{1}{9}x^6 y^4$。

【分析】
这两道题均考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路如下：首先回忆相关运算法则：积的乘方需把积中的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；幂的乘方运算中底数不变，指数相乘。解题时先将式子中的各个因式拆分分别乘方，先计算常数项的乘方结果（注意负数的偶次幂为正），再对字母部分运用幂的乘方法则化简，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 按照积的乘方法则拆分因式计算：
原式$=(-5)^2 · (a^m)^2 · (b^n)^2$
计算常数项乘方：$(-5)^2=25$
按照幂的乘方法则计算字母部分：$(a^m)^2=a^{2m}$，$(b^n)^2=b^{2n}$
合并得结果：$25a^{2m}b^{2n}$
(2) 同理拆分因式计算：
原式$=(-\dfrac{1}{3})^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2$
计算常数项乘方：$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
按照幂的乘方法则计算字母部分：$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，$(y^2)^2=y^{2×2}=y^4$
合并得结果：$\dfrac{1}{9}x^6y^4$
【答案】
(1)$25a^{2m}b^{2n}$；(2)$\dfrac{1}{9}x^6y^4$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查对积的乘方、幂的乘方法则的理解与运用，计算时需注意负系数的符号判断，以及指数运算的规则，熟练掌握此类题型是学习后续整式乘除运算的基础。
【难度系数】
0.9

1. 计算$(2a^2)^3$的结果是().

A.$2a^6$
B.$6a^5$
C.$8a^5$
D.$8a^6$

1. D

【分析】
本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路是先运用积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘方，再运用幂的乘方法则计算字母部分的乘方，最后合并结果对应选项即可。计算时注意不要遗漏系数的乘方，也不要混淆不同乘方运算的指数规则。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），可得：
$(2a^2)^3 = 2^3 × (a^2)^3$
计算系数部分：$2^3=8$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），可得：
$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6$
将两部分结果相乘得：$(2a^2)^3=8a^6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于整式乘方的基础运算题，核心是准确掌握两类乘方的运算法则，常见错误是忽略系数的乘方，或者将幂的乘方的指数相加导致错选。
【难度系数】
0.9

2. 计算：
(1)$(y^6)^2=$；
(2)$(-2ab^3)^2=$；
(3)$a· a^7· (a^4)^2=$；
(4)$-(x^2)^6 + (-2x^4)^3=$。

2. (1)$y^{12}$；(2)$4a^2b^6$；(3)$a^{16}$；(4)$-9x^{12}$

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需对应运用三个核心运算法则：1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2.幂的乘方，底数不变，指数相乘；3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。解题时先确定运算顺序，先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则：$(y^6)^2 = y^{6×2} = y^{12}$；
(2) 根据积的乘方和幂的乘方法则：$(-2ab^3)^2 = (-2)^2 · a^2 · (b^3)^2 = 4a^2b^{3×2} = 4a^2b^6$；
(3) 先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法：
$a· a^7· (a^4)^2 = a· a^7· a^{4×2} = a^1· a^7· a^8 = a^{1+7+8} = a^{16}$；
(4) 分别计算两项的乘方，再合并同类项：
$-(x^2)^6 + (-2x^4)^3 = -x^{2×6} + (-2)^3· (x^4)^3 = -x^{12} -8x^{12} = -9x^{12}$。
【答案】
(1)$y^{12}$；(2)$4a^2b^6$；(3)$a^{16}$；(4)$-9x^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂的运算的基础练习题，重点考察对幂的三类运算法则的掌握程度，计算时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，同时注意负数乘方的符号判断，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

3. (1)若$(3^n)^2 = 3^{16}$，则$n$的值为________；
(2)若$x^a =7$，$(xy)^a=14$，则$y^a=\_\_\_\_\_\_$。

3. (1)8；(2)2

【分析】
(1) 遇到幂的乘方形式的等式，首先回忆幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可先将左边$(3^n)^2$化简为同底数幂的形式；再根据“同底数幂相等时，对应指数相等”，即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得到n的值。
(2) 遇到积的乘方$(xy)^a$时，回忆积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可将$(xy)^a$拆分为$x^a· y^a$，代入已知的$x^a$和$(xy)^a$的值，即可求出$y^a$。
【解析】
(1) 根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3^n)^2=3^{2× n}=3^{2n}$
已知$(3^n)^2=3^{16}$，因此$3^{2n}=3^{16}$。
因为同底数的两个幂相等时，指数相等，所以$2n=16$，解得$n=8$。
(2) 根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(xy)^a=x^a· y^a$
将$x^a=7$，$(xy)^a=14$代入上式，得：
$14=7× y^a$
等式两边同时除以7，得$y^a=2$。
【答案】
(1)8；(2)2
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则，注意不要混淆不同幂运算中指数的计算规则。
【难度系数】
0.85