【平行弦】1. 如图①，AB，CD是抛物线$y=ax^2$的弦，若$AB// CD$，则AB与CD是抛物线$y=ax^2$的平行弦.已知AB，CD的表达式分别为$y=kx+b_1$，$y=kx+b_2$.
(1)点A，B，C，D的横坐标分别是$x_A,x_B,x_C,x_D$，求证：$x_A+x_B=x_C+x_D=\frac{k}{a}$；
(2)如图②，求证：直线AC，BD的交点P的横坐标是$x_P=\frac{k}{2a}$.

1. (1)联立$\begin{cases} y=ax^2, \\ y=kx+b_1, \end{cases}$得$ax^2-kx-b_1=0$,所以$x_A+x_B=\frac{k}{a}$.同理可得$x_C+x_D=\frac{k}{a}$.所以$x_A+x_B=x_C+x_D=\frac{k}{a}$.
(2)设$A(x_A,ax_A^2),B(x_B,ax_B^2),C(x_C,ax_C^2),D(x_D,ax_D^2)$,直线AC的表达式为$y=k_1x+m$,将$A(x_A,ax_A^2),C(x_C,ax_C^2)$代入可得$\begin{cases} ax_A^2=k_1x_A+m, \\ ax_C^2=k_1x_C+m, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_1=a(x_A+x_C), \\ m=-ax_Ax_C. \end{cases}$
所以直线AC的表达式为$y=a(x_A+x_C)x-ax_Ax_C$. ①
同理可得直线BD的表达式为$y=a(x_B+x_D)x-ax_Bx_D$. ②
①②相减得$(x_A+x_C-x_B-x_D)x=x_Ax_C-x_Bx_D$.因为$x_A+x_C-x_B-x_D≠0$,所以$x=\frac{x_Ax_C-x_Bx_D}{x_A+x_C-x_B-x_D}$.由(1)中结论可得$x_B=\frac{k}{a}-x_A,x_D=\frac{k}{a}-x_C$,所以$x_A+x_C-x_B-x_D=2(x_A+x_C)-\frac{2k}{a}$,$x_Ax_C-x_Bx_D=x_Ax_C-(\frac{k}{a}-x_A)·(\frac{k}{a}-x_C)=\frac{k}{a}(x_A+x_C)-\frac{k^2}{a^2}=\frac{k}{2a}[2(x_A+x_C)-\frac{2k}{a}]$,代入即得$x=\frac{k}{2a}$.所以交点P的横坐标是$x_P=\frac{k}{2a}$.

【分析】
(1) 要证明平行弦与抛物线交点的横坐标之和为$\frac{k}{a}$，可将直线与抛物线解析式联立得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系直接求出两根之和；两条平行弦斜率相同，联立后得到的方程一次项、二次项系数一致，因此两根之和相等。
(2) 要推导两条直线交点的横坐标，先利用抛物线解析式表示出四个点的坐标，再用待定系数法分别求出直线AC、BD的解析式，联立两个解析式消去y后，代入第(1)问的结论对表达式化简，即可得到交点P的横坐标。
【解析】
(1) 联立直线AB与抛物线的解析式：
$\begin{cases} y=ax^2 \\ y=kx+b_1 \end{cases}$
消去y整理得：$ax^2 -kx -b_1=0$
该方程的两个根为点A、B的横坐标$x_A、x_B$，由根与系数的关系可得：$x_A+x_B=\frac{k}{a}$。
同理联立直线CD与抛物线的解析式$\begin{cases} y=ax^2 \\ y=kx+b_2 \end{cases}$，可得$ax^2 -kx -b_2=0$，其两根为$x_C、x_D$，因此$x_C+x_D=\frac{k}{a}$。
综上可证：$x_A+x_B=x_C+x_D=\frac{k}{a}$。
(2) 设四点坐标为$A(x_A,ax_A^2)$、$B(x_B,ax_B^2)$、$C(x_C,ax_C^2)$、$D(x_D,ax_D^2)$。
设直线AC的解析式为$y=k_1x+m$，将A、C坐标代入得：
$\begin{cases} ax_A^2=k_1x_A+m \\ ax_C^2=k_1x_C+m \end{cases}$
两式作差化简得$k_1=a(x_A+x_C)$，代入原式得$m=-ax_Ax_C$，因此直线AC的解析式为：
$y=a(x_A+x_C)x - ax_Ax_C$ ①
同理可得直线BD的解析式为：
$y=a(x_B+x_D)x - ax_Bx_D$ ②
联立①②，令y相等并整理得：$(x_A+x_C - x_B - x_D)x = x_Ax_C - x_Bx_D$。
由(1)的结论得$x_B=\frac{k}{a}-x_A$，$x_D=\frac{k}{a}-x_C$，代入上式：
左边系数：$x_A+x_C - x_B - x_D=2(x_A+x_C)-\frac{2k}{a}$
右边：$x_Ax_C - x_Bx_D=\frac{k}{a}(x_A+x_C)-\frac{k^2}{a^2}=\frac{k}{2a}[2(x_A+x_C)-\frac{2k}{a}]$
因为$x_A+x_C - x_B - x_D≠0$，两边同时除以$2(x_A+x_C)-\frac{2k}{a}$，可得$x=\frac{k}{2a}$，即$x_P=\frac{k}{2a}$。
【答案】
(1) 证明成立，$x_A+x_B=x_C+x_D=\frac{k}{a}$；
(2) 证明成立，直线AC、BD交点P的横坐标为$x_P=\frac{k}{2a}$。
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 待定系数法求解析式
3. 函数交点计算
【点评】
本题是抛物线平行弦的经典结论推导题，解题核心是灵活运用函数联立、代数化简的方法，同时要学会借助前序小问的结论简化计算，掌握本题的两个结论可快速解决抛物线平行弦相关的坐标、交点类问题。
【难度系数】
0.5

【相交弦】2. 如图①，抛物线$y=ax^2$的两条弦AB，CD交于点$P(m,n)$，点A,B,C,D的横坐标分别是$x_A,x_B,x_C,x_D$。
(1)求证:$(x_A - m)(x_B - m)=(x_C - m)(x_D - m)$；
(2)如图②，直线AC，BD交于点Q，求证:点Q在定直线$y=2amx - n$上。

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2. (1)设直线$AB:y=k_1(x-m)+n,CD:y=k_2(x-m)+n$,联立$\begin{cases} y=k_1(x-m)+n, \\ y=ax^2, \end{cases}$得$ax^2-k_1x+k_1m-n=0$,由根与系数的关系得$x_A+x_B=\frac{k_1}{a},x_Ax_B=\frac{k_1m-n}{a}$,$\therefore (x_A-m)(x_B-m)=x_Ax_B-m(x_A+x_B)+m^2=\frac{k_1m-n}{a}-m·\frac{k_1}{a}+m^2=m^2-\frac{n}{a}$,同理可得$(x_C-m)·(x_D-m)=m^2-\frac{n}{a}$,$\therefore (x_A-m)(x_B-m)=(x_C-m)(x_D-m)$.
(2)由(1)可得$(x_A-m)(x_B-m)=m^2-\frac{n}{a}$,$\therefore ax_Ax_B=am(x_A+x_B)-n$,同理$ax_Cx_D=am(x_C+x_D)-n$,$\therefore k_{AC}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}=\frac{ax_A^2-ax_C^2}{x_A-x_C}=a(x_A+x_C)$,直线AC的表达式为$y-ax_A^2=a(x_A+x_C)(x-x_A)$,整理得$y=a(x_A+x_C)x-ax_Ax_C$.同理可得直线BD的表达式为$y=a(x_B+x_D)x-ax_Bx_D$.联立两直线的表达式,解得$x_Q=\frac{x_Ax_C-x_Bx_D}{x_A+x_C-x_B-x_D}$,
$y_Q=a(x_A+x_C)x_Q-ax_Ax_C=a(x_A+x_C)·\frac{x_Ax_C-x_Bx_D}{x_A+x_C-x_B-x_D}-ax_Ax_C$
$=\frac{a[-(x_A+x_C)x_Bx_D+x_Ax_C(x_B+x_D)]}{x_A+x_C-x_B-x_D}$
$=\frac{ax_Ax_B(x_C-x_D)+ax_Cx_D(x_A-x_B)}{x_A+x_C-x_B-x_D}$
$=\frac{[am(x_A+x_B)-n](x_C-x_D)+[am(x_C+x_D)-n](x_A-x_B)}{x_A+x_C-x_B-x_D}$
$=2am·\frac{x_Ax_C-x_Bx_D}{x_A+x_C-x_B-x_D}-n$,
故有$y_Q=2amx_Q-n$,即点Q在定直线$y=2amx-n$上.

【分析】
(1) 要证明两个乘积相等，首先观察到AB、CD都过点$P(m,n)$，因此可设过点P的直线的点斜式方程，将直线方程与抛物线$y=ax^2$联立，得到关于x的一元二次方程，方程的两个根就是对应弦两个端点的横坐标。利用根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和与两根之积，再将$(x_A -m)(x_B -m)$展开，代入韦达定理的结果，可发现其结果与直线斜率无关，因此两条弦对应的乘积相等，即可得证。
(2) 先利用抛物线上点的坐标特征（纵坐标为横坐标平方的a倍），求出直线AC、BD的斜率，进而写出两条直线的解析式。联立两个解析式求出交点Q的横、纵坐标，再利用第(1)问推导得到的$ax_Ax_B=am(x_A+x_B)-n$、$ax_Cx_D=am(x_C+x_D)-n$的结论，对$y_Q$的表达式进行化简，最终可得到$y_Q$与$x_Q$满足$y=2amx-n$的关系，即可证明点Q在该定直线上。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=k_1(x-m)+n$，直线CD的解析式为$y=k_2(x-m)+n$。
将直线AB与抛物线解析式联立：
$\begin{cases} y=k_1(x-m)+n \\ y=ax^2 \end{cases}$
消去y整理得：$ax^2 -k_1x +k_1m -n=0$
由一元二次方程根与系数的关系可得：$x_A+x_B=\frac{k_1}{a}$，$x_Ax_B=\frac{k_1m-n}{a}$
将$(x_A -m)(x_B -m)$展开：
$(x_A -m)(x_B -m)=x_Ax_B -m(x_A+x_B)+m^2$
代入韦达定理的结果：
$=\frac{k_1m-n}{a} - m·\frac{k_1}{a} + m^2 = m^2 - \frac{n}{a}$
同理，对直线CD联立抛物线计算，可得$(x_C -m)(x_D -m)=m^2 - \frac{n}{a}$
因此$(x_A -m)(x_B -m)=(x_C -m)(x_D -m)$，得证。
(2) 由(1)的结论$(x_A -m)(x_B -m)=m^2 - \frac{n}{a}$，展开整理可得：
$ax_Ax_B = am(x_A+x_B) -n$
同理可得$ax_Cx_D = am(x_C+x_D) -n$
先求直线AC的解析式：点A坐标为$(x_A,ax_A^2)$，点C坐标为$(x_C,ax_C^2)$，则AC的斜率
$k_{AC}=\frac{y_A - y_C}{x_A -x_C}=\frac{ax_A^2 - ax_C^2}{x_A -x_C}=a(x_A+x_C)$
由点斜式得直线AC：$y - ax_A^2 = a(x_A+x_C)(x -x_A)$
整理得：$y=a(x_A+x_C)x - ax_Ax_C$
同理可得直线BD的解析式为：$y=a(x_B+x_D)x - ax_Bx_D$
联立两条直线的解析式，解得交点Q的横坐标：
$x_Q=\frac{x_Ax_C - x_Bx_D}{x_A+x_C -x_B -x_D}$
将$x_Q$代入直线AC的解析式求$y_Q$：
$y_Q=a(x_A+x_C)x_Q - ax_Ax_C$
$=a(x_A+x_C)·\frac{x_Ax_C -x_Bx_D}{x_A+x_C -x_B -x_D} - ax_Ax_C$
$=\frac{a[-(x_A+x_C)x_Bx_D +x_Ax_C(x_B+x_D)]}{x_A+x_C -x_B -x_D}$
$=\frac{ax_Ax_B(x_C -x_D) + ax_Cx_D(x_A -x_B)}{x_A+x_C -x_B -x_D}$
将前面得到的$ax_Ax_B=am(x_A+x_B)-n$、$ax_Cx_D=am(x_C+x_D)-n$代入上式：
$=\frac{[am(x_A+x_B)-n](x_C -x_D) + [am(x_C+x_D)-n](x_A -x_B)}{x_A+x_C -x_B -x_D}$
化简后可得：
$y_Q=2am·\frac{x_Ax_C -x_Bx_D}{x_A+x_C -x_B -x_D} -n=2amx_Q -n$
因此点Q满足解析式$y=2amx -n$，即点Q在定直线$y=2amx -n$上，得证。
【答案】
(1) $(x_A - m)(x_B - m)=(x_C - m)(x_D - m)$，证明成立；
(2) 点Q在定直线$y=2amx -n$上，证明成立。
【知识点】
直线与抛物线交点、一元二次方程根与系数关系、一次函数解析式求解
【点评】
本题是抛物线相交弦相关的经典证明题，综合考察了直线方程的设定、函数联立求交点、韦达定理的应用以及代数式的化简变形能力，推导得到的结论可作为抛物线相交弦的常用性质，能有效提高相关问题的解题效率。
【难度系数】
0.2