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(大庆中考)如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于原点O和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1).
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线$y=ax^2+bx+c$上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线$y=-2$的距离总相等.
①证明上述结论并求出点F的坐标;
②过点F的直线l与抛物线$y=ax^2+bx+c$交于M,N两点.证明:当直线l绕点F旋转时,$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$是定值,并求出该定值.
(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,直接写出点P,Q的坐标.
＞＞进一步挑战进阶专题:P44 专题41,P45 专题42
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线$y=ax^2+bx+c$上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线$y=-2$的距离总相等.
①证明上述结论并求出点F的坐标;
②过点F的直线l与抛物线$y=ax^2+bx+c$交于M,N两点.证明:当直线l绕点F旋转时,$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$是定值,并求出该定值.
(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,直接写出点P,Q的坐标.
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答案
(1)
∵点B关于x轴对称点的坐标为(2,1),
∴点B的坐标为(2,-1).设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2-1$.
∵抛物线过原点,
∴$0=a(0-2)^2-1$,解得$a=\frac{1}{4}$,
∴抛物线表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2-1$,即$y=\frac{1}{4}x^2-x$.
(2)①
∵点F在抛物线对称轴上,点G是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的任意一点,
∴设$F(2,p),G(x,y)$,
∴G点到直线$y=-2$的距离为$|y+2|$,
∴$(y+2)^2=y^2+4y+4$.
∵$y=\frac{1}{4}x^2-x$,
∴$(y+2)^2=y^2+4y+4=y^2+x^2-4x+4=y^2+(x-2)^2$,
∴点G到直线$y=-2$的距离与点G到点(2,0)的距离相等,即p=0,存在定点F(2,0),使得抛物线$y=ax^2+bx+c$上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线$y=-2$的距离总相等.
②设直线l的表达式为$y=k(x-2)$,直线l与抛物线交于点M,N,则$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-x,\\y=k(x-2),\end{cases}$
∴$y=\frac{1}{4}(\frac{y+2k}{k})^2-\frac{y+2k}{k}$,整理得$y^2-4k^2y-4k^2=0$,
∴$y_M+y_N=4k^2$,$y_M· y_N=-4k^2$.由①得$MF=y_M+2$,$NF=y_N+2$,
∴$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}=\frac{1}{y_M+2}+\frac{1}{y_N+2}$,整理得$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}=\frac{y_M+y_N+4}{y_My_N+2(y_M+y_N)+4}$,
∴$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}=\frac{4k^2+4}{4k^2+4}=1$.
(3)点P坐标为$(\frac{6}{7},0)$,点Q坐标为$(0,-\frac{3}{10})$.
解析:
∵点$C(3,m)$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-x$上,
∴$m=\frac{1}{4}×9-3=-\frac{3}{4}$,
∴$C(3,-\frac{3}{4})$.
如图,连结BC,作点C关于x轴的对称点C',点B关于y轴的对称点B'.
则点$C'(3,\frac{3}{4})$,点$B'(-2,-1)$,连结$B'C'$,交x轴于点P,交y轴于点Q,则此时四边形PQBC周长最小.设直线$B'C'$的表达式为$y=k'x+b'$,则$\begin{cases}-2k'+b'=-1,\\3k'+b'=\frac{3}{4},\end{cases}$解得$\begin{cases}b'=-\frac{3}{10},\\k'=\frac{7}{20},\end{cases}$
∴直线$B'C'$的表达式为$y=\frac{7}{20}x-\frac{3}{10}$,
∴点P坐标为$(\frac{6}{7},0)$,点Q坐标为$(0,-\frac{3}{10})$.
解析
【分析】
(1) 已知顶点B关于x轴的对称点为(2,1)，可先求出顶点B的坐标，采用顶点式设抛物线解析式，代入原点坐标求出参数，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) ① 抛物线对称轴为x=2，可设定点F坐标为(2,p)，任取抛物线上一点G(x,y)，分别写出G到F的距离平方、G到直线y=-2的距离平方，结合抛物线解析式化简两个表达式，即可证得两距离相等并求出p的值，得到F的坐标。② 设过点F的直线l的解析式，与抛物线解析式联立，得到M、N两点纵坐标的和与乘积，结合①的结论将MF、NF转化为对应点纵坐标加2，代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$化简，消去参数后即可得到定值。
(3) 四边形PQBC的周长中BC长度固定，只需使PQ+QB+CP长度最小即可。利用轴对称性质，作点B关于y轴的对称点B'、点C关于x轴的对称点C'，连接B'C'，其与x轴、y轴的交点即为所求P、Q，求出直线B'C'的解析式即可得到P、Q坐标。
【解析】
(1)
∵点B关于x轴对称点的坐标为(2,1)，
∴点B的坐标为(2,-1)。
设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2-1$，
∵抛物线过原点$(0,0)$，
∴$0=a(0-2)^2-1$，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴抛物线表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2-1$，整理得$y=\frac{1}{4}x^2-x$。
(2) ① 证明：
∵点F在抛物线对称轴x=2上，设$F(2,p)$，任取抛物线上一点$G(x,y)$，
则G点到直线$y=-2$的距离为$|y+2|$，其平方为$(y+2)^2=y^2+4y+4$，
G点到F的距离的平方为$(x-2)^2+(y-p)^2$，
将$y=\frac{1}{4}x^2-x$变形得$(x-2)^2=4y+4$，
要使G到F的距离与到直线$y=-2$的距离总相等，则$(y+2)^2=(x-2)^2+(y-p)^2$，
代入$(x-2)^2=4y+4$化简得$2py=p^2$对任意抛物线上的y成立，故$p=0$，
即存在定点$F(2,0)$，使得抛物线上任意一点G到F的距离与到直线$y=-2$的距离总相等。
② 证明：设过点F的直线l的表达式为$y=k(x-2)$，与抛物线交于$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，
联立方程$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-x\\y=k(x-2)\end{cases}$，
消去x整理得$y^2-4k^2y-4k^2=0$，
由根与系数的关系得$y_M+y_N=4k^2$，$y_M· y_N=-4k^2$，
由①的结论得$MF=y_M+2$，$NF=y_N+2$，
∴$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}=\frac{1}{y_M+2}+\frac{1}{y_N+2}=\frac{y_M+y_N+4}{y_My_N+2(y_M+y_N)+4}$，
代入$y_M+y_N=4k^2$，$y_M· y_N=-4k^2$，得
$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}=\frac{4k^2+4}{-4k^2+8k^2+4}=\frac{4(k^2+1)}{4(k^2+1)}=1$，
即$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$为定值1。
(3) 先求点C坐标：
∵点$C(3,m)$在抛物线上，
∴$m=\frac{1}{4}×3^2 - 3=-\frac{3}{4}$，即$C(3,-\frac{3}{4})$，
要使四边形PQBC周长最小，BC为定值，只需$PQ+QB+CP$最小，
作点C关于x轴的对称点$C'(3,\frac{3}{4})$，点B关于y轴的对称点$B'(-2,-1)$，连接$B'C'$，交x轴于P，交y轴于Q，此时$PQ+QB+CP=B'C'$，长度最小，
设直线$B'C'$的表达式为$y=k'x+b'$，代入$B'$、$C'$坐标得：
$\begin{cases}-2k'+b'=-1\\3k'+b'=\frac{3}{4}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=\frac{7}{20}\\b'=-\frac{3}{10}\end{cases}$，
∴直线$B'C'$的解析式为$y=\frac{7}{20}x-\frac{3}{10}$，
令$y=0$，得$x=\frac{6}{7}$，即$P(\frac{6}{7},0)$；令$x=0$，得$y=-\frac{3}{10}$，即$Q(0,-\frac{3}{10})$。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{4}x^2-x}$；
(2) ① 定点F的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$；② $\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的定值为$\boldsymbol{1}$；
(3) 点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{6}{7},0)}$，点Q坐标为$\boldsymbol{(0,-\frac{3}{10})}$，辅助线图：
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径，二次函数综合
【点评】
本题是二次函数综合题型，涵盖了二次函数性质、定点定值证明、最短路径求解等核心考点，解题时需灵活运用数形结合思想，将几何问题转化为代数计算，定值问题可通过联立方程结合根与系数的关系消参求解，对知识综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 已知顶点B关于x轴的对称点为(2,1)，可先求出顶点B的坐标，采用顶点式设抛物线解析式，代入原点坐标求出参数，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) ① 抛物线对称轴为x=2，可设定点F坐标为(2,p)，任取抛物线上一点G(x,y)，分别写出G到F的距离平方、G到直线y=-2的距离平方，结合抛物线解析式化简两个表达式，即可证得两距离相等并求出p的值，得到F的坐标。② 设过点F的直线l的解析式，与抛物线解析式联立，得到M、N两点纵坐标的和与乘积，结合①的结论将MF、NF转化为对应点纵坐标加2，代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$化简，消去参数后即可得到定值。
(3) 四边形PQBC的周长中BC长度固定，只需使PQ+QB+CP长度最小即可。利用轴对称性质，作点B关于y轴的对称点B'、点C关于x轴的对称点C'，连接B'C'，其与x轴、y轴的交点即为所求P、Q，求出直线B'C'的解析式即可得到P、Q坐标。
【解析】
(1)
∵点B关于x轴对称点的坐标为(2,1)，
∴点B的坐标为(2,-1)。
设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2-1$，
∵抛物线过原点$(0,0)$，
∴$0=a(0-2)^2-1$，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴抛物线表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2-1$，整理得$y=\frac{1}{4}x^2-x$。
(2) ① 证明：
∵点F在抛物线对称轴x=2上，设$F(2,p)$，任取抛物线上一点$G(x,y)$，
则G点到直线$y=-2$的距离为$|y+2|$，其平方为$(y+2)^2=y^2+4y+4$，
G点到F的距离的平方为$(x-2)^2+(y-p)^2$，
将$y=\frac{1}{4}x^2-x$变形得$(x-2)^2=4y+4$，
要使G到F的距离与到直线$y=-2$的距离总相等，则$(y+2)^2=(x-2)^2+(y-p)^2$，
代入$(x-2)^2=4y+4$化简得$2py=p^2$对任意抛物线上的y成立，故$p=0$，
即存在定点$F(2,0)$，使得抛物线上任意一点G到F的距离与到直线$y=-2$的距离总相等。
② 证明：设过点F的直线l的表达式为$y=k(x-2)$，与抛物线交于$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，
联立方程$\begin{cases}y=\frac{1}{4}x^2-x\\y=k(x-2)\end{cases}$，
消去x整理得$y^2-4k^2y-4k^2=0$，
由根与系数的关系得$y_M+y_N=4k^2$，$y_M· y_N=-4k^2$，
由①的结论得$MF=y_M+2$，$NF=y_N+2$，
∴$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}=\frac{1}{y_M+2}+\frac{1}{y_N+2}=\frac{y_M+y_N+4}{y_My_N+2(y_M+y_N)+4}$，
代入$y_M+y_N=4k^2$，$y_M· y_N=-4k^2$，得
$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}=\frac{4k^2+4}{-4k^2+8k^2+4}=\frac{4(k^2+1)}{4(k^2+1)}=1$，
即$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$为定值1。
(3) 先求点C坐标：
∵点$C(3,m)$在抛物线上，
∴$m=\frac{1}{4}×3^2 - 3=-\frac{3}{4}$，即$C(3,-\frac{3}{4})$，
要使四边形PQBC周长最小，BC为定值，只需$PQ+QB+CP$最小，
作点C关于x轴的对称点$C'(3,\frac{3}{4})$，点B关于y轴的对称点$B'(-2,-1)$，连接$B'C'$，交x轴于P，交y轴于Q，此时$PQ+QB+CP=B'C'$，长度最小，
设直线$B'C'$的表达式为$y=k'x+b'$，代入$B'$、$C'$坐标得：
$\begin{cases}-2k'+b'=-1\\3k'+b'=\frac{3}{4}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=\frac{7}{20}\\b'=-\frac{3}{10}\end{cases}$，
∴直线$B'C'$的解析式为$y=\frac{7}{20}x-\frac{3}{10}$，
令$y=0$，得$x=\frac{6}{7}$，即$P(\frac{6}{7},0)$；令$x=0$，得$y=-\frac{3}{10}$，即$Q(0,-\frac{3}{10})$。
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{4}x^2-x}$；
(2) ① 定点F的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$；② $\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的定值为$\boldsymbol{1}$；
(3) 点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{6}{7},0)}$，点Q坐标为$\boldsymbol{(0,-\frac{3}{10})}$，辅助线图：
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径，二次函数综合
【点评】
本题是二次函数综合题型，涵盖了二次函数性质、定点定值证明、最短路径求解等核心考点，解题时需灵活运用数形结合思想，将几何问题转化为代数计算，定值问题可通过联立方程结合根与系数的关系消参求解，对知识综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
