2. 异分母分式加减法
典例2 计算：
(1) $\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc}$；
(2) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1}$；
(3) $\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2(x+y)} - \frac{y}{2(y - x)}$。

解：
(1) 原式的最简公分母为$abc$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{c(a+b)}{abc} - \frac{a(b+c)}{abc}\\&=\frac{ac+bc - ab - ac}{abc}\\&=\frac{bc - ab}{abc}\\&=\frac{b(c-a)}{abc}\\&=\frac{c-a}{ac}\end{aligned}$
(2) 因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x^2+2x+1 - 4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x-1}{x+1}\end{aligned}$
(3) 因式分解得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，且$y-x=-(x-y)$，最简公分母为$2(x+y)(x-y)$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x}{2(x+y)} + \frac{y}{2(x-y)}\\&=\frac{2xy}{2(x+y)(x-y)} + \frac{x(x-y)}{2(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{2(x+y)(x-y)}\\&=\frac{2xy + x^2 - xy + xy + y^2}{2(x+y)(x-y)}\\&=\frac{x^2+2xy+y^2}{2(x+y)(x-y)}\\&=\frac{(x+y)^2}{2(x+y)(x-y)}\\&=\frac{x+y}{2(x-y)}\end{aligned}$

举一反三 计算：
(1)$\frac{2a}{a^2 - 4} + \frac{1}{2 - a}$；
(2)$\frac{m}{m - n} - \frac{n}{m + n} + \frac{2mn}{m^2 - n^2}$。
(3)$\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{x - 3}{x + 1}$
$=\frac{(x + 2) - (x - 1) + (x - 3)}{x + 1}$
$=\frac{x + 2 - x + 1 + x - 3}{x + 1}$
$=\frac{x}{x + 1}$。

(1) 原式$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$
(2) 原式$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}$