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1.如图，正方形OABC与正方形DEFG位似，点O,A,B,C的对应点分别是点D,E,F,G。若点B的坐标为(1，1)，点F的坐标为(4，2)，则这两个正方形的位似中心的坐标为。
答案
$\boldsymbol{(-2,0)}$
解析
【分析】
要找两个位似正方形的位似中心，首先回忆位似图形的性质：位似图形所有对应点的连线都交于位似中心，因此只需要找到两组对应点连线的交点即可。首先先确定已知对应点的坐标：由正方形OABC中B(1,1)，可得原点O(0,0)，其对应点是D；再由正方形DEFG中F(4,2)可知该正方形边长为2，可得D点坐标为(2,0)。接下来选取B、F和O、D两组对应点，分别求它们连线的解析式，联立求交点即为位似中心。
【解析】
1. 确定对应点坐标：
∵正方形OABC中点B坐标为(1,1)，
∴O(0,0)；
∵正方形DEFG中点F坐标为(4,2)，可知该正方形边长为2，E(4,0)，因此D点坐标为$(4-2,0)=(2,0)$。
2. 求直线BF的解析式：
设直线BF的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将B(1,1)、F(4,2)代入得：
$\begin{cases}k+b=1\\4k+b=2\end{cases}$
两式相减得$3k=1$，解得$k=\frac{1}{3}$，代入$k+b=1$得$b=\frac{2}{3}$，
因此直线BF的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$。
3. 求位似中心坐标：
O、D都在x轴上，对应点连线OD所在直线为x轴（$y=0$），位似中心是两条对应点连线的交点，将$y=0$代入$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$：
$0=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$，解得$x=-2$，
因此交点坐标为$(-2,0)$，即位似中心坐标为$(-2,0)$。
【答案】
$(-2,0)$
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，正方形的性质
【点评】
本题核心是利用位似图形的性质求解位似中心，解题时找准对应点、正确求直线解析式是关键，结合坐标轴上点的坐标特征可以简化计算。
【难度系数】
0.65
要找两个位似正方形的位似中心，首先回忆位似图形的性质：位似图形所有对应点的连线都交于位似中心，因此只需要找到两组对应点连线的交点即可。首先先确定已知对应点的坐标：由正方形OABC中B(1,1)，可得原点O(0,0)，其对应点是D；再由正方形DEFG中F(4,2)可知该正方形边长为2，可得D点坐标为(2,0)。接下来选取B、F和O、D两组对应点，分别求它们连线的解析式，联立求交点即为位似中心。
【解析】
1. 确定对应点坐标：
∵正方形OABC中点B坐标为(1,1)，
∴O(0,0)；
∵正方形DEFG中点F坐标为(4,2)，可知该正方形边长为2，E(4,0)，因此D点坐标为$(4-2,0)=(2,0)$。
2. 求直线BF的解析式：
设直线BF的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将B(1,1)、F(4,2)代入得：
$\begin{cases}k+b=1\\4k+b=2\end{cases}$
两式相减得$3k=1$，解得$k=\frac{1}{3}$，代入$k+b=1$得$b=\frac{2}{3}$，
因此直线BF的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$。
3. 求位似中心坐标：
O、D都在x轴上，对应点连线OD所在直线为x轴（$y=0$），位似中心是两条对应点连线的交点，将$y=0$代入$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$：
$0=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$，解得$x=-2$，
因此交点坐标为$(-2,0)$，即位似中心坐标为$(-2,0)$。
【答案】
$(-2,0)$
【知识点】
位似图形的性质，一次函数的应用，正方形的性质
【点评】
本题核心是利用位似图形的性质求解位似中心，解题时找准对应点、正确求直线解析式是关键，结合坐标轴上点的坐标特征可以简化计算。
【难度系数】
0.65
2.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-2),B(-4,2)。以原点O为位似中心,把△ABO扩大得到△A'B'O,且△A'B'O与△ABO的相似比为2:1,则点B的对应点B'的坐标是。
答案
解：∵以原点O为位似中心，△A'B'O与△ABO的相似比为2:1，
∴点B的对应点B'的坐标为点B的横、纵坐标同时乘2或-2。
已知点B的坐标为(-4,2)，
当对应坐标同乘2时，B'的坐标为$(-4×2, 2×2)$，即$(-8,4)$；
当对应坐标同乘-2时，B'的坐标为$(-4×(-2), 2×(-2))$，即$(8,-4)$。
综上，点B的对应点B'的坐标是$\boldsymbol{(-8,4)}$或$\boldsymbol{(8,-4)}$。
∴点B的对应点B'的坐标为点B的横、纵坐标同时乘2或-2。
已知点B的坐标为(-4,2)，
当对应坐标同乘2时，B'的坐标为$(-4×2, 2×2)$，即$(-8,4)$；
当对应坐标同乘-2时，B'的坐标为$(-4×(-2), 2×(-2))$，即$(8,-4)$。
综上，点B的对应点B'的坐标是$\boldsymbol{(-8,4)}$或$\boldsymbol{(8,-4)}$。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律。解题思路如下：首先回忆位似变换的坐标性质：以原点为位似中心时，相似比为k的情况下，位似图形对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘k或者-k，对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，因此本题需分两种情况计算，将点B的横纵坐标分别乘2或-2即可得到B'的坐标。
【解析】
∵以原点O为位似中心，△A'B'O与△ABO的相似比为2:1，
∴点B的对应点B'的坐标为点B的横、纵坐标同时乘2或-2。
已知点B的坐标为(-4,2)，
当对应坐标同乘2时，B'的坐标为$(-4×2, 2×2)$，即$(-8,4)$；
当对应坐标同乘-2时，B'的坐标为$(-4×(-2), 2×(-2))$，即$(8,-4)$。
综上，点B的对应点B'的坐标是$(-8,4)$或$(8,-4)$。
【答案】
$(-8,4)$或$(8,-4)$
【知识点】
位似的坐标变换、相似比的应用
【点评】
本题属于位似变换的基础题，易错点是容易忽略位似图形与原图形在位似中心异侧的情况，从而出现漏解，解题时要注意考虑两种位置情况，避免遗漏答案。
【难度系数】
0.6
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律。解题思路如下：首先回忆位似变换的坐标性质：以原点为位似中心时，相似比为k的情况下，位似图形对应点的坐标等于原图形对应点坐标乘k或者-k，对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，因此本题需分两种情况计算，将点B的横纵坐标分别乘2或-2即可得到B'的坐标。
【解析】
∵以原点O为位似中心，△A'B'O与△ABO的相似比为2:1，
∴点B的对应点B'的坐标为点B的横、纵坐标同时乘2或-2。
已知点B的坐标为(-4,2)，
当对应坐标同乘2时，B'的坐标为$(-4×2, 2×2)$，即$(-8,4)$；
当对应坐标同乘-2时，B'的坐标为$(-4×(-2), 2×(-2))$，即$(8,-4)$。
综上，点B的对应点B'的坐标是$(-8,4)$或$(8,-4)$。
【答案】
$(-8,4)$或$(8,-4)$
【知识点】
位似的坐标变换、相似比的应用
【点评】
本题属于位似变换的基础题，易错点是容易忽略位似图形与原图形在位似中心异侧的情况，从而出现漏解，解题时要注意考虑两种位置情况，避免遗漏答案。
【难度系数】
0.6
3.如图，$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$位似，位似中心是点$P$，则点$P$的坐标为。
答案
解：
由网格可得各对应点坐标：$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$，$B_1(-2,4)$，$B(-2,-5)$，$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$。
连接$A_1A$、$C_1C$：
设直线$A_1A$的解析式为$y=kx+b$，将$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$代入得：
$\begin{cases}b=2\\-6k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，即直线$A_1A$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
设直线$C_1C$的解析式为$y=mx+n$，将$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}n=-1\\-3m+n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=-1\end{cases}$，即直线$C_1C$的解析式为$y=-x-1$。
联立两个直线方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+2\\y=-x-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}$。
验证：直线$B_1B$为$x=-2$，点$(-2,1)$在直线$B_1B$上，符合位似中心是所有对应点连线交点的性质。
点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,1)}$。
由网格可得各对应点坐标：$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$，$B_1(-2,4)$，$B(-2,-5)$，$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$。
连接$A_1A$、$C_1C$：
设直线$A_1A$的解析式为$y=kx+b$，将$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$代入得：
$\begin{cases}b=2\\-6k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，即直线$A_1A$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
设直线$C_1C$的解析式为$y=mx+n$，将$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}n=-1\\-3m+n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=-1\end{cases}$，即直线$C_1C$的解析式为$y=-x-1$。
联立两个直线方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+2\\y=-x-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}$。
验证：直线$B_1B$为$x=-2$，点$(-2,1)$在直线$B_1B$上，符合位似中心是所有对应点连线交点的性质。
点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,1)}$。
解析
【分析】
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，解题时首先确定两组对应点的坐标，再用待定系数法分别求出两组对应点所在直线的解析式，联立两个解析式求解得到的交点就是位似中心，最后可通过第三组对应点的连线验证该点是否符合要求。
【解析】
首先根据网格确定各对应点坐标：$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$，$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$，$B_1(-2,4)$，$B(-2,-5)$。
1. 求直线$A_1A$的解析式：
设直线$A_1A$的解析式为$y=kx+b$，将$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$代入得：
$\begin{cases}b=2\\-6k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，即直线$A_1A$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
2. 求直线$C_1C$的解析式：
设直线$C_1C$的解析式为$y=mx+n$，将$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}n=-1\\-3m+n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=-1\end{cases}$，即直线$C_1C$的解析式为$y=-x-1$。
3. 联立方程求交点：
联立两个直线的解析式$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+2\\y=-x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}$。
验证：直线$B_1B$的解析式为$x=-2$，点$(-2,1)$在直线$B_1B$上，符合位似中心的性质。
【答案】
$(-2,1)$
【知识点】
位似的性质；待定系数法；一次函数交点求解
【点评】
本题结合位似图形性质与一次函数知识考查位似中心的求解，解题核心是抓住位似中心为所有对应点连线公共交点的特点，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，解题时首先确定两组对应点的坐标，再用待定系数法分别求出两组对应点所在直线的解析式，联立两个解析式求解得到的交点就是位似中心，最后可通过第三组对应点的连线验证该点是否符合要求。
【解析】
首先根据网格确定各对应点坐标：$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$，$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$，$B_1(-2,4)$，$B(-2,-5)$。
1. 求直线$A_1A$的解析式：
设直线$A_1A$的解析式为$y=kx+b$，将$A_1(0,2)$，$A(-6,-1)$代入得：
$\begin{cases}b=2\\-6k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，即直线$A_1A$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
2. 求直线$C_1C$的解析式：
设直线$C_1C$的解析式为$y=mx+n$，将$C_1(-3,2)$，$C(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}n=-1\\-3m+n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1\\n=-1\end{cases}$，即直线$C_1C$的解析式为$y=-x-1$。
3. 联立方程求交点：
联立两个直线的解析式$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+2\\y=-x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}$。
验证：直线$B_1B$的解析式为$x=-2$，点$(-2,1)$在直线$B_1B$上，符合位似中心的性质。
【答案】
$(-2,1)$
【知识点】
位似的性质；待定系数法；一次函数交点求解
【点评】
本题结合位似图形性质与一次函数知识考查位似中心的求解，解题核心是抓住位似中心为所有对应点连线公共交点的特点，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，$△ ABC$与$△ DEF$是以点O为位似中心的位似图形，已知$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$1:4$。若AB的长为2，则DE的长为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
本题考查位似与相似的综合应用，解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，因此两个三角形具备相似三角形的所有性质；其次回忆相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比可求出两个三角形的相似比；最后根据相似三角形对应边成比例，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF，且相似比等于对应边的比$\frac{AB}{DE}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知$S_{△ABC}:S_{△DEF}=1:4$
∴相似比$k=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$
把$AB=2$代入得：$\frac{2}{DE}=\frac{1}{2}$
解得：$DE=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
位似图形性质；相似三角形面积比性质；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确位似图形的本质是相似图形，熟练掌握相似三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查位似与相似的综合应用，解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，因此两个三角形具备相似三角形的所有性质；其次回忆相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比可求出两个三角形的相似比；最后根据相似三角形对应边成比例，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF，且相似比等于对应边的比$\frac{AB}{DE}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知$S_{△ABC}:S_{△DEF}=1:4$
∴相似比$k=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$
把$AB=2$代入得：$\frac{2}{DE}=\frac{1}{2}$
解得：$DE=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
位似图形性质；相似三角形面积比性质；相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确位似图形的本质是相似图形，熟练掌握相似三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 如图，已知$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(1,3),B(4,2),C(2,1)$。
(1)作出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$。
(2)以原点$O$为位似中心，在原点另一侧作$△ A_2B_2C_2$，使得$\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$。
(3)$△ A_2B_2C_2$的面积为。
(1)作出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A_1B_1C_1$。
(2)以原点$O$为位似中心，在原点另一侧作$△ A_2B_2C_2$，使得$\frac{AB}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$。
(3)$△ A_2B_2C_2$的面积为。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 作关于x轴对称的图形，只需根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数”得到三个对应顶点坐标，描点连线即可；2. 作原点为位似中心的位似图形，已知位似比为1:2且图形在原点另一侧，将原三角形各顶点坐标乘以-2即可得到对应顶点坐标，描点连线即可；3. 求△A₂B₂C₂的面积，可先通过割补法求出原△ABC的面积，再根据“位似图形的面积比等于相似比的平方”计算目标图形面积，也可先得到△A₂B₂C₂的顶点坐标后用割补法直接计算。
【解析】
(1) 由关于x轴对称的点的坐标特征，得A₁(1,-3)，B₁(4,-2)，C₁(2,-1)，顺次连接三点即得△A₁B₁C₁；
(2) 由题意，位似比k=-2（异侧符号为负），因此A₂(1×(-2),3×(-2))=(-2,-6)，B₂(4×(-2),2×(-2))=(-8,-4)，C₂(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)，顺次连接三点即得△A₂B₂C₂；
(3) 先计算原△ABC的面积：
取包围△ABC的矩形，横向范围为x=1到x=4，纵向范围为y=1到y=3，矩形面积为$(4-1)×(3-1)=6$。
减去矩形内三个空白直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，
因此$S_{△ ABC}=6-\frac{3}{2}-1-1=\frac{5}{2}$。
位似图形面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_2B_2C_2}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
因此$S_{△ A_2B_2C_2}=4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
坐标与轴对称，坐标与位似，网格面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换和面积计算，核心是掌握轴对称、位似的坐标变换规律，灵活运用割补法和位似图形的性质简化计算，是图形变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 作关于x轴对称的图形，只需根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数”得到三个对应顶点坐标，描点连线即可；2. 作原点为位似中心的位似图形，已知位似比为1:2且图形在原点另一侧，将原三角形各顶点坐标乘以-2即可得到对应顶点坐标，描点连线即可；3. 求△A₂B₂C₂的面积，可先通过割补法求出原△ABC的面积，再根据“位似图形的面积比等于相似比的平方”计算目标图形面积，也可先得到△A₂B₂C₂的顶点坐标后用割补法直接计算。
【解析】
(1) 由关于x轴对称的点的坐标特征，得A₁(1,-3)，B₁(4,-2)，C₁(2,-1)，顺次连接三点即得△A₁B₁C₁；
(2) 由题意，位似比k=-2（异侧符号为负），因此A₂(1×(-2),3×(-2))=(-2,-6)，B₂(4×(-2),2×(-2))=(-8,-4)，C₂(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)，顺次连接三点即得△A₂B₂C₂；
(3) 先计算原△ABC的面积：
取包围△ABC的矩形，横向范围为x=1到x=4，纵向范围为y=1到y=3，矩形面积为$(4-1)×(3-1)=6$。
减去矩形内三个空白直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，
因此$S_{△ ABC}=6-\frac{3}{2}-1-1=\frac{5}{2}$。
位似图形面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_2B_2C_2}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
因此$S_{△ A_2B_2C_2}=4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
坐标与轴对称，坐标与位似，网格面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换和面积计算，核心是掌握轴对称、位似的坐标变换规律，灵活运用割补法和位似图形的性质简化计算，是图形变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
