拓展与思考
5. 用计算器计算：
(1) $\sqrt{11 - 2} =$ .
(2) $\sqrt{1111 - 22} =$ .
(3) $\sqrt{111111 - 222} =$ .
(4) $\sqrt{11111111 - 2222} =$ .
(5) 仔细观察上面几道题的计算结果，按照这个规律填空：
$\sqrt{\underbrace{111···1}_{200个1} - \underbrace{222···2}_{100个2}} =$ ；$\sqrt{\underbrace{111···1}_{2n个1} - \underbrace{222···2}_{n个2}} =$ .

(1) 3. (2) 33. (3) 333. (4) 3 333.
(5) $\underbrace{33···3}_{100个3}$；$\underbrace{33···3}_{n个3}$。 提示：观察前面计算结果中3的个数与被开方数中2的个数的关系，可得$\underbrace{33···3}_{100个3}$和$\underbrace{33···3}_{n个3}$。

【分析】
首先前4小题可通过计算器直接计算被开方数的算术平方根得到结果；再观察计算结果中3的个数、被减数中1的个数、减数中2的个数的数量关系，可发现：当被减数是2k个1、减数是k个2时，运算结果就是k个3，最后将该规律应用到第(5)问的两类情况即可。
【解析】
(1) 先计算被开方数：$11-2=9$，再求算术平方根：$\sqrt{9}=3$；
(2) 计算被开方数：$1111-22=1089$，求算术平方根：$\sqrt{1089}=33$；
(3) 计算被开方数：$111111-222=110889$，求算术平方根：$\sqrt{110889}=333$；
(4) 计算被开方数：$11111111-2222=11108889$，求算术平方根：$\sqrt{11108889}=3333$；
(5) 观察前4问结果可发现规律：被开方数中减数有n个2、被减数有2n个1时，所得结果就是n个3。
① 当减数为100个2、被减数为200个1时，结果就是100个3，即$\underbrace{33···3}_{100个3}$；
② 当减数为n个2、被减数为2n个1时，结果就是n个3，即$\underbrace{33···3}_{n个3}$。
【答案】
(1) 3；(2) 33；(3) 333；(4) 3333；(5) $\underbrace{33···3}_{100个3}$；$\underbrace{33···3}_{n个3}$
【知识点】
算术平方根计算；计算器开方运算；数字规律探究
【点评】
本题通过从具体到一般的探究过程，既考查了算术平方根的基础计算能力，也锻炼了归纳推理的思维，找到结果中3的个数与减数中2的个数的对应关系是解题的关键，掌握规律后可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.8

1. 判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“×”：
（1）两个无理数的和还是无理数；（）
（2）两个无理数的差还是无理数；（）
（3）两个无理数的积还是无理数；（）
（4）两个无理数的商还是无理数.（）

1. (1) ×. (2) ×. (3) ×. (4) ×.

【分析】
这是一组关于无理数运算结果的真假判断题，对于“两个无理数进行某类运算后结果仍是无理数”这类全称肯定命题，只需举出1个符合前提、但结论不成立的反例，即可判断命题错误。我们可以用初中阶段常见的无理数（如√2、π等）构造反例，逐一验证四个说法即可。
【解析】
判断说法错误只需举反例验证：
（1）反例：π和-π均为无理数，二者的和为π+(-π)=0，0是有理数，因此该说法错误；
（2）反例：√2和√2均为无理数，二者的差为√2-√2=0，0是有理数，因此该说法错误；
（3）反例：√2和√2均为无理数，二者的积为√2×√2=2，2是有理数，因此该说法错误；
（4）反例：√2和√2均为无理数，二者的商为√2÷√2=1，1是有理数，因此该说法错误。
【答案】
(1) ×；(2) ×；(3) ×；(4) ×
【知识点】
无理数的定义；实数的四则运算；真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对无理数运算特性的理解，解题时灵活运用举反例的方法可快速判断全称命题的正误，要注意避免形成“无理数的四则运算结果一定是无理数”的思维定式。
【难度系数】
0.8

2. 计算：
(1) $\frac{1}{3}\sqrt{5} + \sqrt{5} - \frac{3}{2}\sqrt{5}$；
(2) $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2 + \sqrt[3]{125}$；
(3) $\sqrt{10^4} - \sqrt[3]{10^3} + \sqrt{10^{-2}} - \sqrt[3]{10^{-3}}$；
(4) $(\sqrt{10})^2 + (\sqrt{2} × \sqrt{5})^2$；
(5) $2\sqrt{2} × ( \frac{7}{2}\sqrt{2} - 3 + \frac{\sqrt{2}}{4} )$；
(6) $[ (\sqrt{2} + 3\sqrt{7}) - \sqrt{7} ] ÷ \frac{1}{\sqrt{7}} × \frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. (1) $-\frac{1}{6}\sqrt{5}$. (2) $-3$. (3) $90$. (4) $20$. (5) $15-6\sqrt{2}$. (6) $\sqrt{7}+7\sqrt{2}$.

【分析】
这6道题均属于根式的基础运算题，解题可按以下思路开展：1. 先处理运算中的乘方、开方运算，利用根式性质（$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$、$\sqrt[3]{a^3}=a$等）先化简各根式；2. 有括号的优先化简括号内的内容，也可根据乘法分配律直接去括号；3. 合并同类二次根式时，仅把系数相加减，根式部分保持不变；4. 严格遵循“先乘方开方、再乘除、最后加减”的实数运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 提取公因式$\sqrt{5}$，合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{3} + 1 - \frac{3}{2})\sqrt{5} \\&=(\frac{2}{6} + \frac{6}{6} - \frac{9}{6})\sqrt{5} \\&=-\frac{1}{6}\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和立方根，再做加减运算：
$\begin{aligned}原式&=5 - 13 + 5 \\&=-3\end{aligned}$
(3) 分别化简每个根式后再做加减：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{(10^2)^2} - \sqrt[3]{10^3} + \sqrt{(\frac{1}{10})^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{10})^3} \\&=100 - 10 + \frac{1}{10} - \frac{1}{10} \\&=90\end{aligned}$
(4) 先计算乘方，再做加法运算：
$\begin{aligned}原式&=10 + (\sqrt{10})^2 \\&=10 + 10 \\&=20\end{aligned}$
(5) 利用乘法分配律去括号，再合并计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2} × \frac{7}{2}\sqrt{2} + 2\sqrt{2}×(-3) + 2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{4} \\&=7×2 - 6\sqrt{2} + \frac{2×2}{4} \\&=14 - 6\sqrt{2} + 1 \\&=15 - 6\sqrt{2}\end{aligned}$
(6) 先化简括号内内容，再按从左到右顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2} + 3\sqrt{7} - \sqrt{7}) × \sqrt{7} × \frac{\sqrt{2}}{2} \\&=(\sqrt{2} + 2\sqrt{7}) × \sqrt{7} × \frac{\sqrt{2}}{2} \\&=(\sqrt{14} + 14) × \frac{\sqrt{2}}{2} \\&=\frac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{2} + \frac{14×\sqrt{2}}{2} \\&=\sqrt{7} + 7\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{6}\sqrt{5}$；(2) $-3$；(3) $90$；(4) $20$；(5) $15-6\sqrt{2}$；(6) $\sqrt{7}+7\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 立方根运算
3. 实数运算顺序
【点评】
本组题目是根式运算的基础训练题，核心考查根式性质、运算规则的掌握程度，计算时注意遵循运算顺序，去括号时不要漏乘、避免符号错误，熟练掌握同类二次根式合并方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8