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1. 已知下列实数：
①$-\dfrac{1}{3}$，②$\sqrt{6}$，③$3.14$，④$\dfrac{π}{3}$，⑤$0$，⑥$1.2\dot{3}$，⑦$\dfrac{22}{7}$，
⑧$1.232232223···$（每两个“3”之间依次多一个“2”），⑨$-\sqrt{36}$。
其中整数有：______；
有理数有：______；
无理数有：______。（只需填写序号）
①$-\dfrac{1}{3}$，②$\sqrt{6}$，③$3.14$，④$\dfrac{π}{3}$，⑤$0$，⑥$1.2\dot{3}$，⑦$\dfrac{22}{7}$，
⑧$1.232232223···$（每两个“3”之间依次多一个“2”），⑨$-\sqrt{36}$。
其中整数有：______；
有理数有：______；
无理数有：______。（只需填写序号）
答案
整数有：⑤⑨；有理数有：①③⑤⑥⑦⑨；无理数有：②④⑧
解析
【分析】
解题前首先回忆三类数的定义：1. 整数包括正整数、0、负整数；2. 有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以化成分数，都属于有理数；3. 无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题步骤：第一步先化简带运算的数（本题先计算$-\sqrt{36}$的结果），第二步逐个对照定义归类即可。
【解析】
首先化简⑨：$-\sqrt{36}=-6$，属于负整数。
1. 找整数：整数包含正整数、0、负整数，本题中⑤0是整数，⑨化简后是-6也是负整数，因此整数为⑤⑨；
2. 找有理数：有理数包含所有整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数：
①$-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；③3.14是有限小数，属于有理数；⑤0是整数，属于有理数；⑥$1.2\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；⑦$\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；⑨化简后是整数，属于有理数。因此有理数为①③⑤⑥⑦⑨；
3. 找无理数：无理数是无限不循环小数：
②$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；④$\dfrac{π}{3}$中π是无限不循环小数，因此$\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；⑧$1.232232223···$（每两个“3”之间依次多一个“2”）是有规律但不循环的无限小数，属于无理数。因此无理数为②④⑧。
【答案】
整数有：⑤⑨；有理数有：①③⑤⑥⑦⑨；无理数有：②④⑧
【知识点】
整数的定义；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题的核心是准确掌握各类实数的定义，注意遇到带根号的数要先化简再判断，同时要区分“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，避免概念混淆导致错判。
【难度系数】
0.8
解题前首先回忆三类数的定义：1. 整数包括正整数、0、负整数；2. 有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以化成分数，都属于有理数；3. 无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题步骤：第一步先化简带运算的数（本题先计算$-\sqrt{36}$的结果），第二步逐个对照定义归类即可。
【解析】
首先化简⑨：$-\sqrt{36}=-6$，属于负整数。
1. 找整数：整数包含正整数、0、负整数，本题中⑤0是整数，⑨化简后是-6也是负整数，因此整数为⑤⑨；
2. 找有理数：有理数包含所有整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数：
①$-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；③3.14是有限小数，属于有理数；⑤0是整数，属于有理数；⑥$1.2\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；⑦$\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；⑨化简后是整数，属于有理数。因此有理数为①③⑤⑥⑦⑨；
3. 找无理数：无理数是无限不循环小数：
②$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；④$\dfrac{π}{3}$中π是无限不循环小数，因此$\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；⑧$1.232232223···$（每两个“3”之间依次多一个“2”）是有规律但不循环的无限小数，属于无理数。因此无理数为②④⑧。
【答案】
整数有：⑤⑨；有理数有：①③⑤⑥⑦⑨；无理数有：②④⑧
【知识点】
整数的定义；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题的核心是准确掌握各类实数的定义，注意遇到带根号的数要先化简再判断，同时要区分“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，避免概念混淆导致错判。
【难度系数】
0.8
2. 如图，阴影部分正方形的面积是
（第2题）
$2$
，它的边长是$\sqrt{2}$
。（第2题）答案
$2$；$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要求阴影正方形的面积，我们可以用割补法求解：先算出外围大正方形的面积，再减去周围4个空白等腰直角三角形的面积，就能得到阴影部分的面积。求边长时，根据正方形面积与边长的关系，求面积的算术平方根即可。从图形标注可知，大正方形的边长为2，每个空白三角形的直角边长为1，按上述思路逐步计算即可。
【解析】
解：由图可得，外围大正方形的边长为$1+1=2$，
大正方形的面积为$2×2=4$。
周围4个空白三角形都是直角边长为1的等腰直角三角形，
单个三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
4个空白三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}=2$。
因此阴影部分正方形的面积为$4-2=2$。
设阴影正方形的边长为$x$（$x＞0$），根据正方形面积公式$S=x^2$可得：
$x^2=2$，
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{2}$。
【答案】
$2$；$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积计算，算术平方根的应用
【点评】
本题考查组合图形的面积计算和算术平方根的实际应用，割补法是计算这类阴影面积的常用方法，解题时注意正方形边长为正数，求边长时只需取正的平方根即可。
【难度系数】
0.7
要求阴影正方形的面积，我们可以用割补法求解：先算出外围大正方形的面积，再减去周围4个空白等腰直角三角形的面积，就能得到阴影部分的面积。求边长时，根据正方形面积与边长的关系，求面积的算术平方根即可。从图形标注可知，大正方形的边长为2，每个空白三角形的直角边长为1，按上述思路逐步计算即可。
【解析】
解：由图可得，外围大正方形的边长为$1+1=2$，
大正方形的面积为$2×2=4$。
周围4个空白三角形都是直角边长为1的等腰直角三角形，
单个三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
4个空白三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}=2$。
因此阴影部分正方形的面积为$4-2=2$。
设阴影正方形的边长为$x$（$x＞0$），根据正方形面积公式$S=x^2$可得：
$x^2=2$，
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{2}$。
【答案】
$2$；$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积计算，算术平方根的应用
【点评】
本题考查组合图形的面积计算和算术平方根的实际应用，割补法是计算这类阴影面积的常用方法，解题时注意正方形边长为正数，求边长时只需取正的平方根即可。
【难度系数】
0.7
3. 在表格中填写下列各数的相反数和绝对值。
原数 2 $\sqrt{2}$ 0 $-\dfrac{4}{3}$ $-\sqrt{5}$
原数的相反数
原数的绝对值
原数 2 $\sqrt{2}$ 0 $-\dfrac{4}{3}$ $-\sqrt{5}$
原数的相反数
原数的绝对值
答案
| 原数 | 2 | $\sqrt{2}$ | 0 | $-\dfrac{4}{3}$ | $-\sqrt{5}$ |
|--------------|-----|------------|---|-----------------|-------------|
| 原数的相反数 | $-2$ | $-\sqrt{2}$ | 0 | $\dfrac{4}{3}$ | $\sqrt{5}$ |
| 原数的绝对值 | 2 | $\sqrt{2}$ | 0 | $\dfrac{4}{3}$ | $\sqrt{5}$ |
|--------------|-----|------------|---|-----------------|-------------|
| 原数的相反数 | $-2$ | $-\sqrt{2}$ | 0 | $\dfrac{4}{3}$ | $\sqrt{5}$ |
| 原数的绝对值 | 2 | $\sqrt{2}$ | 0 | $\dfrac{4}{3}$ | $\sqrt{5}$ |
解析
【分析】
解题时先回忆相反数和绝对值的基础定义：①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，求一个数的相反数只需在这个数前加负号即可（0保持不变）；②绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。再逐个对给出的原数计算对应的相反数和绝对值，对应填入表格即可。
【解析】
1. 计算各原数的相反数：
2的相反数为$-2$；
$\sqrt{2}$的相反数为$-\sqrt{2}$；
0的相反数为$0$；
$-\dfrac{4}{3}$的相反数为$-(-\dfrac{4}{3})=\dfrac{4}{3}$；
$-\sqrt{5}$的相反数为$-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}$。
2. 计算各原数的绝对值：
2是正数，绝对值为它本身$2$；
$\sqrt{2}$是正数，绝对值为它本身$\sqrt{2}$；
0的绝对值为$0$；
$-\dfrac{4}{3}$是负数，绝对值为它的相反数$\dfrac{4}{3}$；
$-\sqrt{5}$是负数，绝对值为它的相反数$\sqrt{5}$。
【答案】
原数的相反数（从左到右）：$-2$、$-\sqrt{2}$、$0$、$\dfrac{4}{3}$、$\sqrt{5}$
原数的绝对值（从左到右）：$2$、$\sqrt{2}$、$0$、$\dfrac{4}{3}$、$\sqrt{5}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数的基本概念
【点评】
本题是基础概念类习题，主要考察对相反数、绝对值相关定义的掌握程度，只要牢记相关性质就能准确作答，是后续实数运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相反数和绝对值的基础定义：①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，求一个数的相反数只需在这个数前加负号即可（0保持不变）；②绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。再逐个对给出的原数计算对应的相反数和绝对值，对应填入表格即可。
【解析】
1. 计算各原数的相反数：
2的相反数为$-2$；
$\sqrt{2}$的相反数为$-\sqrt{2}$；
0的相反数为$0$；
$-\dfrac{4}{3}$的相反数为$-(-\dfrac{4}{3})=\dfrac{4}{3}$；
$-\sqrt{5}$的相反数为$-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}$。
2. 计算各原数的绝对值：
2是正数，绝对值为它本身$2$；
$\sqrt{2}$是正数，绝对值为它本身$\sqrt{2}$；
0的绝对值为$0$；
$-\dfrac{4}{3}$是负数，绝对值为它的相反数$\dfrac{4}{3}$；
$-\sqrt{5}$是负数，绝对值为它的相反数$\sqrt{5}$。
【答案】
原数的相反数（从左到右）：$-2$、$-\sqrt{2}$、$0$、$\dfrac{4}{3}$、$\sqrt{5}$
原数的绝对值（从左到右）：$2$、$\sqrt{2}$、$0$、$\dfrac{4}{3}$、$\sqrt{5}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；实数的基本概念
【点评】
本题是基础概念类习题，主要考察对相反数、绝对值相关定义的掌握程度，只要牢记相关性质就能准确作答，是后续实数运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
4. 实数$\sqrt{7}$在两个相邻的正整数之间，这两个正整数是（
A.2和3
B.3和4
C.4和5
D.6和8
A
）。A.2和3
B.3和4
C.4和5
D.6和8
答案
A
解析
【分析】
要判断$\sqrt{7}$在哪两个相邻正整数之间，核心思路是利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。我们只需要找到和被开方数7相邻的、能开得尽方的两个正整数的平方，就能通过开平方得到$\sqrt{7}$的取值范围。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
$2^2=4$，$3^2=9$
可得大小关系：$4＜7＜9$
根据算术平方根的性质，对三部分同时开算术平方根，不等号方向不变：
$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$
化简得：$2＜\sqrt{7}＜3$
因此$\sqrt{7}$在2和3两个相邻正整数之间。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题关键是熟练掌握找与被开方数相邻的完全平方数的方法，掌握该技巧后就能快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.9
要判断$\sqrt{7}$在哪两个相邻正整数之间，核心思路是利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。我们只需要找到和被开方数7相邻的、能开得尽方的两个正整数的平方，就能通过开平方得到$\sqrt{7}$的取值范围。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
$2^2=4$，$3^2=9$
可得大小关系：$4＜7＜9$
根据算术平方根的性质，对三部分同时开算术平方根，不等号方向不变：
$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$
化简得：$2＜\sqrt{7}＜3$
因此$\sqrt{7}$在2和3两个相邻正整数之间。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题关键是熟练掌握找与被开方数相邻的完全平方数的方法，掌握该技巧后就能快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.9
5. 把下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接。
$-\sqrt{2}$，0，$-1.\dot{8}$，$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$。
$-\sqrt{2}$，0，$-1.\dot{8}$，$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$。
答案
数轴表示略。$-1.\dot{8}＜-\sqrt{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜\dfrac{π}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出其中无理数的近似值，再根据各数的大小确定它们在数轴上的位置，最后根据“数轴上右边的数总比左边的数大”的规律，就能将各数按从小到大的顺序排列。具体步骤：①先估算$-\sqrt{2}$、$\frac{π}{2}$的近似值，明确其余有理数的大小；②比较各数的大小：负数先比较绝对值，绝对值大的负数更小，所有负数小于0，0小于所有正数，正数再按大小排序；③对应数轴标注位置即可。
【解析】
第一步：估算各无理数的近似值
$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$-\sqrt{2}\approx-1.414$；
$π\approx3.14$，因此$\frac{π}{2}\approx1.57$；
另外$\frac{1}{2}=0.5$，$-1.\dot{8}\approx-1.889$。
第二步：比较各数大小
负数比较：$\vert -1.\dot{8}\vert\approx1.889$，$\vert -\sqrt{2}\vert\approx1.414$，因为$1.889＞1.414$，所以$-1.\dot{8}＜-\sqrt{2}$；
再根据“负数＜0＜正数”的规则，正数中$0.5＜1.57$，即$\frac{1}{2}＜\frac{π}{2}$，因此整体排序为：$-1.\dot{8}＜-\sqrt{2}＜0＜\frac{1}{2}＜\frac{π}{2}$。
第三步：数轴表示
根据各数的近似值，在数轴对应位置标注即可：$-1.\dot{8}$在-2和-1之间靠近-2的位置，$-\sqrt{2}$在-1和-2之间偏右的位置，0在原点，$\frac{1}{2}$在0和1的中点处，$\frac{π}{2}$在1和2之间偏右的位置。
【答案】
数轴表示略。$-1.\dot{8}＜-\sqrt{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜\dfrac{π}{2}$
【知识点】
实数与数轴的关系；实数大小比较；无理数的估算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法和实数大小比较的规则，解题的关键是先准确估算出无理数的近似值，再结合实数大小比较的规律排序，是实数部分的基础题型，掌握估算方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要估算出其中无理数的近似值，再根据各数的大小确定它们在数轴上的位置，最后根据“数轴上右边的数总比左边的数大”的规律，就能将各数按从小到大的顺序排列。具体步骤：①先估算$-\sqrt{2}$、$\frac{π}{2}$的近似值，明确其余有理数的大小；②比较各数的大小：负数先比较绝对值，绝对值大的负数更小，所有负数小于0，0小于所有正数，正数再按大小排序；③对应数轴标注位置即可。
【解析】
第一步：估算各无理数的近似值
$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$-\sqrt{2}\approx-1.414$；
$π\approx3.14$，因此$\frac{π}{2}\approx1.57$；
另外$\frac{1}{2}=0.5$，$-1.\dot{8}\approx-1.889$。
第二步：比较各数大小
负数比较：$\vert -1.\dot{8}\vert\approx1.889$，$\vert -\sqrt{2}\vert\approx1.414$，因为$1.889＞1.414$，所以$-1.\dot{8}＜-\sqrt{2}$；
再根据“负数＜0＜正数”的规则，正数中$0.5＜1.57$，即$\frac{1}{2}＜\frac{π}{2}$，因此整体排序为：$-1.\dot{8}＜-\sqrt{2}＜0＜\frac{1}{2}＜\frac{π}{2}$。
第三步：数轴表示
根据各数的近似值，在数轴对应位置标注即可：$-1.\dot{8}$在-2和-1之间靠近-2的位置，$-\sqrt{2}$在-1和-2之间偏右的位置，0在原点，$\frac{1}{2}$在0和1的中点处，$\frac{π}{2}$在1和2之间偏右的位置。
【答案】
数轴表示略。$-1.\dot{8}＜-\sqrt{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜\dfrac{π}{2}$
【知识点】
实数与数轴的关系；实数大小比较；无理数的估算
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法和实数大小比较的规则，解题的关键是先准确估算出无理数的近似值，再结合实数大小比较的规律排序，是实数部分的基础题型，掌握估算方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
