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1.如图，为美化市容，工人师傅为街道两侧设计了花坛和盆花的摆放方式，那么$n$座相连的花坛四周摆放的盆花数目为(
A.$4n+1$
B.$4n+2$
C.$5n-2$
D.$5n+2$
B
)。A.$4n+1$
B.$4n+2$
C.$5n-2$
D.$5n+2$
答案
1.B
解析:2座花坛相连可放$2×4+2=10$(盆),3座花坛相连可放$4×3+2=14$(盆),那么 $n$ 座花坛相连可放$(4n+2)$盆.
解析:2座花坛相连可放$2×4+2=10$(盆),3座花坛相连可放$4×3+2=14$(盆),那么 $n$ 座花坛相连可放$(4n+2)$盆.
解析
【分析】
解决这类图形规律探究题，我们可以先从给出的简单图形入手，分别统计不同数量花坛对应的盆花数，再寻找数量和花坛个数的关系：首先数出1座花坛时盆花共6盆，2座花坛时共10盆，3座花坛时共14盆，观察发现每增加1座花坛，盆花数量就增加4盆，说明变化部分为4n；再看固定不变的部分，不管有多少座花坛，左右两端始终各有1盆，共2盆是固定值，因此总盆数就是变化部分加固定部分，即4n+2。
【解析】
我们先分别计算不同数量花坛的盆花摆放数：
1. 当$n=1$（1座花坛）时，数得盆花总数为6，验证得$4×1+2=6$，符合计数结果；
2. 当$n=2$（2座花坛）时，数得盆花总数为10，验证得$4×2+2=10$，符合计数结果；
3. 当$n=3$（3座花坛）时，数得盆花总数为14，验证得$4×3+2=14$，符合计数结果；
由此可归纳出规律：$n$座相连的花坛四周摆放的盆花数目为$4n+2$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探索，列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是先统计少量样本的数值，再区分数值中的固定量和随图形个数变化的变化量，进而推导得到通用的代数式规律，也可以通过代入选项排除错误答案快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律探究题，我们可以先从给出的简单图形入手，分别统计不同数量花坛对应的盆花数，再寻找数量和花坛个数的关系：首先数出1座花坛时盆花共6盆，2座花坛时共10盆，3座花坛时共14盆，观察发现每增加1座花坛，盆花数量就增加4盆，说明变化部分为4n；再看固定不变的部分，不管有多少座花坛，左右两端始终各有1盆，共2盆是固定值，因此总盆数就是变化部分加固定部分，即4n+2。
【解析】
我们先分别计算不同数量花坛的盆花摆放数：
1. 当$n=1$（1座花坛）时，数得盆花总数为6，验证得$4×1+2=6$，符合计数结果；
2. 当$n=2$（2座花坛）时，数得盆花总数为10，验证得$4×2+2=10$，符合计数结果；
3. 当$n=3$（3座花坛）时，数得盆花总数为14，验证得$4×3+2=14$，符合计数结果；
由此可归纳出规律：$n$座相连的花坛四周摆放的盆花数目为$4n+2$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探索，列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是先统计少量样本的数值，再区分数值中的固定量和随图形个数变化的变化量，进而推导得到通用的代数式规律，也可以通过代入选项排除错误答案快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，下面的图形都是由面积为1的小正方形按一定规律组成的.其中，第1个图形中小正方形有2个，第2个图形中小正方形有5个，第3个图形中小正方形有9个……按此规律，则第n个图形中小正方形的个数为(
A.$\frac{n(n+1)}{2}$
B.$\frac{n(n+2)}{2}$
C.$\frac{n(n+3)}{2}$
D.$\frac{n(n+4)}{2}$
C
).A.$\frac{n(n+1)}{2}$
B.$\frac{n(n+2)}{2}$
C.$\frac{n(n+3)}{2}$
D.$\frac{n(n+4)}{2}$
答案
2.C
解析:第1个图形中小正方形有2个,第2个图形中小正方形有$2+3=5$(个),第3个图形中小正方形有$2+3+4=9$(个)……按此规律,第 $n$ 个图形中小正方形有 $2+3+4+\dots+(n+1)=\frac{n(n+3)}{2}$(个).
解析:第1个图形中小正方形有2个,第2个图形中小正方形有$2+3=5$(个),第3个图形中小正方形有$2+3+4=9$(个)……按此规律,第 $n$ 个图形中小正方形有 $2+3+4+\dots+(n+1)=\frac{n(n+3)}{2}$(个).
解析
【分析】
要解决这道图形规律题，可从两个思路切入：一是归纳推导法，先观察前几个图形的小正方形数量，梳理数量变化的规律，推导第n个图形的数量表达式；二是代入排除法，将n=1、2、3等特殊值代入选项，排除不符合的选项快速得到答案。
归纳法的具体思考路径：第1个图形有2个小正方形，第2个比第1个多3个，第3个比第2个多4个，可见每次新增的数量依次加1，因此第n个图形的小正方形总数就是从2开始的连续n个正整数的和，末项为n+1，再用等差数列求和公式计算即可。
【解析】
方法1：归纳推导
第1个图形中小正方形个数：2
第2个图形中小正方形个数：$2+3=5$
第3个图形中小正方形个数：$2+3+4=9$
……
按此规律，第n个图形中小正方形个数是从2到$n+1$的连续n个正整数的和，根据等差数列求和公式“（首项+末项）×项数÷2”可得：
$2+3+4+\dots+(n+1) = \frac{(2 + n + 1) × n}{2} = \frac{n(n+3)}{2}$
方法2：代入排除
将$n=1$分别代入四个选项验证：
A选项：$\frac{1×(1+1)}{2}=1$，与第1个图形有2个小正方形不符，排除；
B选项：$\frac{1×(1+2)}{2}=1.5$，结果不是正整数，排除；
C选项：$\frac{1×(1+3)}{2}=2$，符合实际数量；
D选项：$\frac{1×(1+4)}{2}=2.5$，结果不是正整数，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，既可以通过归纳前几项的特征推导一般规律，也可以用特殊值代入法快速筛选答案，两种方法结合使用能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
要解决这道图形规律题，可从两个思路切入：一是归纳推导法，先观察前几个图形的小正方形数量，梳理数量变化的规律，推导第n个图形的数量表达式；二是代入排除法，将n=1、2、3等特殊值代入选项，排除不符合的选项快速得到答案。
归纳法的具体思考路径：第1个图形有2个小正方形，第2个比第1个多3个，第3个比第2个多4个，可见每次新增的数量依次加1，因此第n个图形的小正方形总数就是从2开始的连续n个正整数的和，末项为n+1，再用等差数列求和公式计算即可。
【解析】
方法1：归纳推导
第1个图形中小正方形个数：2
第2个图形中小正方形个数：$2+3=5$
第3个图形中小正方形个数：$2+3+4=9$
……
按此规律，第n个图形中小正方形个数是从2到$n+1$的连续n个正整数的和，根据等差数列求和公式“（首项+末项）×项数÷2”可得：
$2+3+4+\dots+(n+1) = \frac{(2 + n + 1) × n}{2} = \frac{n(n+3)}{2}$
方法2：代入排除
将$n=1$分别代入四个选项验证：
A选项：$\frac{1×(1+1)}{2}=1$，与第1个图形有2个小正方形不符，排除；
B选项：$\frac{1×(1+2)}{2}=1.5$，结果不是正整数，排除；
C选项：$\frac{1×(1+3)}{2}=2$，符合实际数量；
D选项：$\frac{1×(1+4)}{2}=2.5$，结果不是正整数，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，既可以通过归纳前几项的特征推导一般规律，也可以用特殊值代入法快速筛选答案，两种方法结合使用能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
3.我们将两个数的和与积相等的等式称为“和谐等式”，观察下面的“和谐等式”.
①$\frac{1}{2}+(-1)=-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×(-1)$；②$\frac{2}{3}+(-2)=-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}×(-2)$；
③$\frac{3}{4}+(-3)=-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}×(-3)$；….
按此规律，请写出第$n$个“和谐等式”为
①$\frac{1}{2}+(-1)=-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×(-1)$；②$\frac{2}{3}+(-2)=-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}×(-2)$；
③$\frac{3}{4}+(-3)=-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}×(-3)$；….
按此规律，请写出第$n$个“和谐等式”为
$\frac{n}{n+1}+(-n)=-\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{n+1}×(-n)$
.答案
3.$\frac{n}{n+1}+(-n)=-\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{n+1}×(-n)$
解析
【分析】
解决这类规律探索题，要按顺序观察等式各部分与序号n的对应关系：
1. 先看等式左边第一个分数：第1个式子分子是1、分母是2=1+1，第2个式子分子是2、分母是3=2+1，第3个式子分子是3、分母是4=3+1，因此第n个式子的第一个数为$\frac{n}{n+1}$；
2. 再看等式左边第二个加数：第1个是-1，第2个是-2，第3个是-3，因此第n个式子的第二个加数为$-n$；
3. 最后分别计算两数的和与积，验证二者相等，即可写出完整的第n个等式。
【解析】
观察已知的3个等式：
当n=1时，等式为$\frac{1}{1+1}+(-1)=\frac{1}{2}×(-1)=-\frac{1^2}{1+1}$；
当n=2时，等式为$\frac{2}{2+1}+(-2)=\frac{2}{3}×(-2)=-\frac{2^2}{2+1}$；
当n=3时，等式为$\frac{3}{3+1}+(-3)=\frac{3}{4}×(-3)=-\frac{3^2}{3+1}$；
推广到第n个等式：
计算两数的和：$\frac{n}{n+1}+(-n)=\frac{n}{n+1}-\frac{n(n+1)}{n+1}=\frac{n-n^2-n}{n+1}=-\frac{n^2}{n+1}$；
计算两数的积：$\frac{n}{n+1}×(-n)=-\frac{n^2}{n+1}$，和与积相等，符合“和谐等式”的定义。
因此第n个“和谐等式”为$\frac{n}{n+1}+(-n)=-\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{n+1}×(-n)$。
【答案】
$\frac{n}{n+1}+(-n)=-\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{n+1}×(-n)$
【知识点】
数字规律探索；有理数加法运算；有理数乘法运算
【点评】
本题是规律探索类典型题型，重点考查观察、归纳总结的能力，需要从特殊式子中提炼共性规律，再通过运算验证规律的合理性，掌握从特殊到一般的推理方法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探索题，要按顺序观察等式各部分与序号n的对应关系：
1. 先看等式左边第一个分数：第1个式子分子是1、分母是2=1+1，第2个式子分子是2、分母是3=2+1，第3个式子分子是3、分母是4=3+1，因此第n个式子的第一个数为$\frac{n}{n+1}$；
2. 再看等式左边第二个加数：第1个是-1，第2个是-2，第3个是-3，因此第n个式子的第二个加数为$-n$；
3. 最后分别计算两数的和与积，验证二者相等，即可写出完整的第n个等式。
【解析】
观察已知的3个等式：
当n=1时，等式为$\frac{1}{1+1}+(-1)=\frac{1}{2}×(-1)=-\frac{1^2}{1+1}$；
当n=2时，等式为$\frac{2}{2+1}+(-2)=\frac{2}{3}×(-2)=-\frac{2^2}{2+1}$；
当n=3时，等式为$\frac{3}{3+1}+(-3)=\frac{3}{4}×(-3)=-\frac{3^2}{3+1}$；
推广到第n个等式：
计算两数的和：$\frac{n}{n+1}+(-n)=\frac{n}{n+1}-\frac{n(n+1)}{n+1}=\frac{n-n^2-n}{n+1}=-\frac{n^2}{n+1}$；
计算两数的积：$\frac{n}{n+1}×(-n)=-\frac{n^2}{n+1}$，和与积相等，符合“和谐等式”的定义。
因此第n个“和谐等式”为$\frac{n}{n+1}+(-n)=-\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{n+1}×(-n)$。
【答案】
$\frac{n}{n+1}+(-n)=-\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{n+1}×(-n)$
【知识点】
数字规律探索；有理数加法运算；有理数乘法运算
【点评】
本题是规律探索类典型题型，重点考查观察、归纳总结的能力，需要从特殊式子中提炼共性规律，再通过运算验证规律的合理性，掌握从特殊到一般的推理方法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
4.观察下列图形中的数字排列规律,在图⑧中,$b-c$的值是
382
. 答案
4.382
解析
【分析】
解题时先分别观察三个位置的数字规律：首先看上方a的位置，数字正负交替，绝对值是2的n次方，可推出a的表达式；再看右下c的位置，同样正负交替，绝对值是2的n-1次方，可推出c的表达式；最后看左下b的位置，对比每个图b和对应a的数值，可发现b比a小2，推出b的表达式。最后将n=8代入表达式算出b、c的值，再求差即可。
【解析】
1. 推导a的规律：
观察图①~④上方数字：-2、4、-8、16，可得第n个图中$a=(-2)^n$。
当n=8时，$a=(-2)^8=256$。
2. 推导b的规律：
观察图①~④左下数字：-4、2、-10、14，对比对应a的值：
$-4=-2-2$，$2=4-2$，$-10=-8-2$，$14=16-2$，可得第n个图中$b=a-2$。
当n=8时，$b=256-2=254$。
3. 推导c的规律：
观察图①~④右下数字：1、-2、4、-8，可得第n个图中$c=(-2)^{n-1}$。
当n=8时，$c=(-2)^{8-1}=(-2)^7=-128$。
4. 计算$b-c$：
$b-c=254-(-128)=254+128=382$。
【答案】
382
【知识点】
乘方运算，数字规律探索，有理数减法
【点评】
本题是典型的图形数字规律题，重点考查观察归纳能力，解题时要分别锁定不同位置的数字变化规律，注意负数乘方的符号判断，再结合有理数运算法则计算即可。
【难度系数】
0.65
解题时先分别观察三个位置的数字规律：首先看上方a的位置，数字正负交替，绝对值是2的n次方，可推出a的表达式；再看右下c的位置，同样正负交替，绝对值是2的n-1次方，可推出c的表达式；最后看左下b的位置，对比每个图b和对应a的数值，可发现b比a小2，推出b的表达式。最后将n=8代入表达式算出b、c的值，再求差即可。
【解析】
1. 推导a的规律：
观察图①~④上方数字：-2、4、-8、16，可得第n个图中$a=(-2)^n$。
当n=8时，$a=(-2)^8=256$。
2. 推导b的规律：
观察图①~④左下数字：-4、2、-10、14，对比对应a的值：
$-4=-2-2$，$2=4-2$，$-10=-8-2$，$14=16-2$，可得第n个图中$b=a-2$。
当n=8时，$b=256-2=254$。
3. 推导c的规律：
观察图①~④右下数字：1、-2、4、-8，可得第n个图中$c=(-2)^{n-1}$。
当n=8时，$c=(-2)^{8-1}=(-2)^7=-128$。
4. 计算$b-c$：
$b-c=254-(-128)=254+128=382$。
【答案】
382
【知识点】
乘方运算，数字规律探索，有理数减法
【点评】
本题是典型的图形数字规律题，重点考查观察归纳能力，解题时要分别锁定不同位置的数字变化规律，注意负数乘方的符号判断，再结合有理数运算法则计算即可。
【难度系数】
0.65
5.在如图所示的运算程序中,如果开始输入x的值为－48,那么第1次输出的结果为－24,第2次输出的结果为－12……第2026次输出的结果为
$-3$
。答案
5.$-3$
解析
【分析】
解决这类程序运算的规律题，首先要明确运算规则：输入x若为偶数，输出$\frac{1}{2}x$；若为奇数，输出$x-3$，输出结果会作为下一次的输入循环运算。解题思路为：先按规则依次计算前若干次的输出结果，找到结果的循环规律，排除不参与循环的前几项后，用总次数减去不循环的次数，再除以循环周期，根据余数即可判断对应结果。
【解析】
按运算程序依次计算前几次的输出：
第1次输出：$\frac{1}{2}×(-48)=-24$
第2次输出：$\frac{1}{2}×(-24)=-12$
第3次输出：$\frac{1}{2}×(-12)=-6$
第4次输出：$\frac{1}{2}×(-6)=-3$
第5次输出：$-3-3=-6$
第6次输出：$\frac{1}{2}×(-6)=-3$
……
观察可知：从第3次开始，输出结果按$-6$、$-3$的顺序循环，循环周期为2。
先减去前2次不参与循环的次数：$2026-2=2024$，即第2026次对应循环中的第2024个结果。
$2024÷2=1012$，无余数，对应循环周期的最后一个数，为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数运算，规律探索，程序运算
【点评】
本题是规律探索类的典型题型，重点考查对规律的归纳推导能力，解题核心是准确找到结果的循环周期，再结合周期计算对应结果。
【难度系数】
0.7
解决这类程序运算的规律题，首先要明确运算规则：输入x若为偶数，输出$\frac{1}{2}x$；若为奇数，输出$x-3$，输出结果会作为下一次的输入循环运算。解题思路为：先按规则依次计算前若干次的输出结果，找到结果的循环规律，排除不参与循环的前几项后，用总次数减去不循环的次数，再除以循环周期，根据余数即可判断对应结果。
【解析】
按运算程序依次计算前几次的输出：
第1次输出：$\frac{1}{2}×(-48)=-24$
第2次输出：$\frac{1}{2}×(-24)=-12$
第3次输出：$\frac{1}{2}×(-12)=-6$
第4次输出：$\frac{1}{2}×(-6)=-3$
第5次输出：$-3-3=-6$
第6次输出：$\frac{1}{2}×(-6)=-3$
……
观察可知：从第3次开始，输出结果按$-6$、$-3$的顺序循环，循环周期为2。
先减去前2次不参与循环的次数：$2026-2=2024$，即第2026次对应循环中的第2024个结果。
$2024÷2=1012$，无余数，对应循环周期的最后一个数，为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数运算，规律探索，程序运算
【点评】
本题是规律探索类的典型题型，重点考查对规律的归纳推导能力，解题核心是准确找到结果的循环周期，再结合周期计算对应结果。
【难度系数】
0.7
