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7.有人问古希腊数学家毕达哥拉斯，他的学校中有多少名学生.他回答说：“一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩三个女学生.”问毕达哥拉斯的学校中有多少名学生？设毕达哥拉斯的学校中有$x$名学生，可列方程为$\boldsymbol{x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x = 3}$.
答案
7.$x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{7}=3$
解析
【分析】
列一元一次方程解应用题的核心是找准等量关系，本题的等量关系为：学生总人数减去学数学、学音乐、休息的人数，等于剩下的3名女学生。我们先把各部分人数用含总人数x的式子表示：学数学的人数是总人数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x$；学音乐的人数是$\frac{1}{4}x$；休息的人数是$\frac{1}{7}x$，将这些量代入等量关系就能得到对应方程。
【解析】
设毕达哥拉斯的学校中有$x$名学生。
根据题意，学数学的学生人数为$\frac{1}{2}x$，学音乐的学生人数为$\frac{1}{4}x$，休息的学生人数为$\frac{1}{7}x$，剩余女学生人数为3。
结合“总人数-各部分人数=剩余人数”的等量关系，代入对应量可列方程：
$x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{7}=3$
【答案】
$x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{7}=3$
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系分析
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是理清总人数和各分类人数的数量关系，掌握占比类问题的数量表示方法即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
列一元一次方程解应用题的核心是找准等量关系，本题的等量关系为：学生总人数减去学数学、学音乐、休息的人数，等于剩下的3名女学生。我们先把各部分人数用含总人数x的式子表示：学数学的人数是总人数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x$；学音乐的人数是$\frac{1}{4}x$；休息的人数是$\frac{1}{7}x$，将这些量代入等量关系就能得到对应方程。
【解析】
设毕达哥拉斯的学校中有$x$名学生。
根据题意，学数学的学生人数为$\frac{1}{2}x$，学音乐的学生人数为$\frac{1}{4}x$，休息的学生人数为$\frac{1}{7}x$，剩余女学生人数为3。
结合“总人数-各部分人数=剩余人数”的等量关系，代入对应量可列方程：
$x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{7}=3$
【答案】
$x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{7}=3$
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系分析
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是理清总人数和各分类人数的数量关系，掌握占比类问题的数量表示方法即可快速列对方程。
【难度系数】
0.8
8.一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上的数字是十位上数字的3倍，这个三位数是
926
。答案
8.926
解析:设十位上的数字为 $x$,则个位上的数字为 $3x$,百位上的数字为$(x+7)$.
由题意,得 $3x+x+(x+7)=17$,解得 $x=2$.
即个位上的数字为 6,十位上的数字为 2,百位上的数字为 9,这个三位数为 926.
解析:设十位上的数字为 $x$,则个位上的数字为 $3x$,百位上的数字为$(x+7)$.
由题意,得 $3x+x+(x+7)=17$,解得 $x=2$.
即个位上的数字为 6,十位上的数字为 2,百位上的数字为 9,这个三位数为 926.
解析
【分析】
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题时首先观察各数位数字的关系：题目中百位数字、个位数字都和十位数字直接相关，因此选择设十位上的数字为x，即可用含x的式子分别表示出百位和个位的数字；再根据“三个数位上的数字之和是17”这一等量关系列方程，解出x后就能得到三个数位的具体数值，最终组合得到三位数。
【解析】
解：设十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$3x$，百位上的数字为$(x+7)$。
根据三个数位数字之和为17，列方程得：
$x + 7 + x + 3x = 17$
合并同类项，得：$5x + 7 = 17$
移项、系数化为1，得：$5x = 10$，$x = 2$
则百位数字为：$x + 7 = 2 + 7 = 9$
个位数字为：$3x = 3×2 = 6$
所以这个三位数是$9×100 + 2×10 + 6 = 926$
【答案】
926
【知识点】
一元一次方程的应用，数位的表示
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题关键是找到各数位数字的关联，合理选择未知数简化计算，再结合题目给出的等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
这是一道数字类的一元一次方程应用题，解题时首先观察各数位数字的关系：题目中百位数字、个位数字都和十位数字直接相关，因此选择设十位上的数字为x，即可用含x的式子分别表示出百位和个位的数字；再根据“三个数位上的数字之和是17”这一等量关系列方程，解出x后就能得到三个数位的具体数值，最终组合得到三位数。
【解析】
解：设十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$3x$，百位上的数字为$(x+7)$。
根据三个数位数字之和为17，列方程得：
$x + 7 + x + 3x = 17$
合并同类项，得：$5x + 7 = 17$
移项、系数化为1，得：$5x = 10$，$x = 2$
则百位数字为：$x + 7 = 2 + 7 = 9$
个位数字为：$3x = 3×2 = 6$
所以这个三位数是$9×100 + 2×10 + 6 = 926$
【答案】
926
【知识点】
一元一次方程的应用，数位的表示
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题关键是找到各数位数字的关联，合理选择未知数简化计算，再结合题目给出的等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
9.图①是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子.已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是
1 000
. 答案
9.1 000
解析:设长方体的高为 $x$,则长方体的宽为 $2x$,长方体的长为$(30-2x)$.
根据题意,得 $2x+x+2x+x=30$,解得 $x=5$.
所以 $2x=10,30-2x=20$.
所以长方体的体积为 $20×10×5=1\ 000$.
解析:设长方体的高为 $x$,则长方体的宽为 $2x$,长方体的长为$(30-2x)$.
根据题意,得 $2x+x+2x+x=30$,解得 $x=5$.
所以 $2x=10,30-2x=20$.
所以长方体的体积为 $20×10×5=1\ 000$.
解析
【分析】
要求长方体的体积，需先求出它的长、宽、高。已知长方体宽是高的2倍，我们可以设高为x，那么宽可表示为2x。观察图①的正方形纸板，边长为30，竖直方向的总长度由2个高和2个宽相加得到，据此可列方程求出x的值；再根据水平方向的边长关系，长等于正方形边长减去2个高，求出长后，代入长方体体积公式计算即可。
【解析】
设长方体的高为$x$，则宽为$2x$，长为$30-2x$。
根据正方形边长为30，竖直方向长度和为30，列方程：
$x+2x+x+2x=30$
合并同类项得：$6x=30$
解得：$x=5$
则宽为$2x=2×5=10$，长为$30-2x=30-2×5=20$
长方体体积=长×宽×高=$20×10×5=1000$
【答案】
1000
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方体体积计算
3. 展开图折叠问题
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的核心是通过观察平面展开图，找到正方形边长和长方体长宽高的对应数量关系，再结合方程求解，考查了同学们的图形观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
要求长方体的体积，需先求出它的长、宽、高。已知长方体宽是高的2倍，我们可以设高为x，那么宽可表示为2x。观察图①的正方形纸板，边长为30，竖直方向的总长度由2个高和2个宽相加得到，据此可列方程求出x的值；再根据水平方向的边长关系，长等于正方形边长减去2个高，求出长后，代入长方体体积公式计算即可。
【解析】
设长方体的高为$x$，则宽为$2x$，长为$30-2x$。
根据正方形边长为30，竖直方向长度和为30，列方程：
$x+2x+x+2x=30$
合并同类项得：$6x=30$
解得：$x=5$
则宽为$2x=2×5=10$，长为$30-2x=30-2×5=20$
长方体体积=长×宽×高=$20×10×5=1000$
【答案】
1000
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方体体积计算
3. 展开图折叠问题
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的核心是通过观察平面展开图，找到正方形边长和长方体长宽高的对应数量关系，再结合方程求解，考查了同学们的图形观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
10.有一列数,按一定的规律排列成－1,2,－4,8,－16,32,－64,….
（1）如果其中某三个相邻的数的和是－768,那么这三个数分别是多少?
（2）是否存在三个相邻的数的和为2016?如果存在,请求出这三个数;如果不存在,请说明理由.
（1）如果其中某三个相邻的数的和是－768,那么这三个数分别是多少?
（2）是否存在三个相邻的数的和为2016?如果存在,请求出这三个数;如果不存在,请说明理由.
答案
10.(1)设这三个数依次为 $x,-2x,4x$,则可列方程$x-2x+4x=-768$,
解得 $x=-256$.即这三个数分别是$-256,512,-1\ 024$.
(2)不存在.由题意,可得 $x-2x+4x=2\ 016$,解得 $x=672$.
根据(1),可知这列数中有$-256,512,-1\ 024$,显然没有 672,所以不存在.
解得 $x=-256$.即这三个数分别是$-256,512,-1\ 024$.
(2)不存在.由题意,可得 $x-2x+4x=2\ 016$,解得 $x=672$.
根据(1),可知这列数中有$-256,512,-1\ 024$,显然没有 672,所以不存在.
解析
【分析】
解题时首先观察数列的排列规律：计算相邻两数的商可得后一个数始终是前一个数的-2倍，因此若设三个相邻数中的第一个数为x，即可用含x的式子表示出另外两个数为-2x、4x。针对第一问，直接根据三数之和为-768列一元一次方程求解即可；针对第二问，先假设存在符合条件的三个数，同第一问的方法列方程求解，再验证解出的x是否属于题中给出的数列，即可判断是否存在。
【解析】
（1）观察数列可知：后一个数是前一个数的-2倍。
设相邻三个数中的第一个数为$x$，则第二个数为$-2x$，第三个数为$4x$。
根据三个数的和是$-768$，列方程得：
$x - 2x + 4x = -768$
合并同类项，得$3x = -768$
系数化为1，得$x = -256$
则$-2x = -2×(-256) = 512$，$4x = 4×(-256) = -1024$
（2）不存在，理由如下：
假设存在三个相邻的数的和为$2016$，同理可列方程：
$x - 2x + 4x = 2016$
合并同类项，得$3x = 2016$
系数化为1，得$x = 672$
观察数列可知，数列中的数的绝对值依次为$1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024···$，没有$672$，即$672$不在该数列中，因此不存在这样的三个数。
【答案】
（1）这三个数分别是$-256,512,-1024$；
（2）不存在。
【知识点】
一元一次方程的应用，数字规律探究
【点评】
本题结合数字规律考察一元一次方程的应用，解题核心是准确归纳数列的排列规律，合理设未知数建立方程，需要注意方程的解需符合数列的特征，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数列的排列规律：计算相邻两数的商可得后一个数始终是前一个数的-2倍，因此若设三个相邻数中的第一个数为x，即可用含x的式子表示出另外两个数为-2x、4x。针对第一问，直接根据三数之和为-768列一元一次方程求解即可；针对第二问，先假设存在符合条件的三个数，同第一问的方法列方程求解，再验证解出的x是否属于题中给出的数列，即可判断是否存在。
【解析】
（1）观察数列可知：后一个数是前一个数的-2倍。
设相邻三个数中的第一个数为$x$，则第二个数为$-2x$，第三个数为$4x$。
根据三个数的和是$-768$，列方程得：
$x - 2x + 4x = -768$
合并同类项，得$3x = -768$
系数化为1，得$x = -256$
则$-2x = -2×(-256) = 512$，$4x = 4×(-256) = -1024$
（2）不存在，理由如下：
假设存在三个相邻的数的和为$2016$，同理可列方程：
$x - 2x + 4x = 2016$
合并同类项，得$3x = 2016$
系数化为1，得$x = 672$
观察数列可知，数列中的数的绝对值依次为$1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024···$，没有$672$，即$672$不在该数列中，因此不存在这样的三个数。
【答案】
（1）这三个数分别是$-256,512,-1024$；
（2）不存在。
【知识点】
一元一次方程的应用，数字规律探究
【点评】
本题结合数字规律考察一元一次方程的应用，解题核心是准确归纳数列的排列规律，合理设未知数建立方程，需要注意方程的解需符合数列的特征，这是此类题的易错点。
【难度系数】
0.7
11.老师请一位同学任意说出右面月历中竖行或横行中相邻的三个数之和，老师能马上说出是哪三个数。
(1)你能说出其中的道理吗？
(2)月历中是否存在竖行或横行中相邻的三个数之和为18？如果存在，请说出这三个数各是多少；如果不存在，请说明理由。
(1)你能说出其中的道理吗？
(2)月历中是否存在竖行或横行中相邻的三个数之和为18？如果存在，请说出这三个数各是多少；如果不存在，请说明理由。
答案
11.(1)设竖行或横行中相邻的三个数中间一个数为 $x$,则竖行中相邻的三个数分别为 $x-7$,$x$,$x+7$,三个数之和为 $3x$;横行中相邻的三个数分别为 $x-1$,$x$,$x+1$,三个数之和也为$3x$.因此老师只要把同学们报出的和除以 3,就可以得到中间的数,从而知道其他两个数.
(2)不存在这样的三个数,设竖行或横行中相邻的三个数中间一个数为 $x$,则三个数之和为$3x$.若 $3x=18$,那么 $x=6$.而 6 是该月历中第一行的最后一个数,不可能是竖行或横行中相邻的三个数的中间数.
(2)不存在这样的三个数,设竖行或横行中相邻的三个数中间一个数为 $x$,则三个数之和为$3x$.若 $3x=18$,那么 $x=6$.而 6 是该月历中第一行的最后一个数,不可能是竖行或横行中相邻的三个数的中间数.
解析
【分析】
解决本题首先要明确月历中的数字规律：横行相邻两数相差1，竖行相邻两数相差7。对于第(1)问，我们可以设相邻三个数的中间数为x，分别表示出横行、竖行的另外两个数，通过求和找到和与中间数的关系，就能解释其中的道理；对于第(2)问，先根据第(1)问的结论列方程求出中间数，再结合月历中数字的实际位置，判断这个中间数是否符合要求即可。
【解析】
(1) 观察月历可得：横行相邻两个数的差为1，竖行相邻两个数的差为7。
设竖行或横行中相邻三个数的中间数为$x$：
若为竖行相邻的三个数，另外两个数分别是上方的$x-7$和下方的$x+7$，三个数的和为$(x-7)+x+(x+7)=3x$；
若为横行相邻的三个数，另外两个数分别是左侧的$x-1$和右侧的$x+1$，三个数的和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$。
因此无论竖行还是横行的相邻三个数，和都是中间数的3倍，将报出的和除以3即可得到中间数，进而求出另外两个数。
(2) 不存在这样的三个数，理由如下：
假设存在和为18的相邻三个数，根据(1)的结论可得$3x=18$，解方程得$x=6$。
观察题中月历，数字6在第一行的最右侧：若作为横行的中间数，它的右侧没有数字，无法组成横行相邻三个数；若作为竖行的中间数，它的上方没有数字，无法组成竖行相邻三个数，因此6不能作为相邻三个数的中间数，不存在符合要求的三个数。
【答案】
(1) 设竖行或横行中相邻的三个数中间一个数为 $x$,则竖行中相邻的三个数分别为 $x-7$,$x$,$x+7$,三个数之和为 $3x$;横行中相邻的三个数分别为 $x-1$,$x$,$x+1$,三个数之和也为$3x$.因此老师只要把同学们报出的和除以 3,就可以得到中间的数,从而知道其他两个数。
(2) 不存在这样的三个数。设竖行或横行中相邻的三个数中间一个数为 $x$,则三个数之和为$3x$.若 $3x=18$,那么 $x=6$.而 6 是该月历中第一行的最后一个数,不可能是竖行或横行中相邻的三个数的中间数。
【知识点】
日历中的数字规律，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合常见的月历场景考查规律探索与方程应用，解题核心是抓住月历中相邻数字的差值特点，通过设中间数的方式简化和的计算，同时要注意对求解结果结合实际场景验证，避免得出不符合月历实际的结论。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确月历中的数字规律：横行相邻两数相差1，竖行相邻两数相差7。对于第(1)问，我们可以设相邻三个数的中间数为x，分别表示出横行、竖行的另外两个数，通过求和找到和与中间数的关系，就能解释其中的道理；对于第(2)问，先根据第(1)问的结论列方程求出中间数，再结合月历中数字的实际位置，判断这个中间数是否符合要求即可。
【解析】
(1) 观察月历可得：横行相邻两个数的差为1，竖行相邻两个数的差为7。
设竖行或横行中相邻三个数的中间数为$x$：
若为竖行相邻的三个数，另外两个数分别是上方的$x-7$和下方的$x+7$，三个数的和为$(x-7)+x+(x+7)=3x$；
若为横行相邻的三个数，另外两个数分别是左侧的$x-1$和右侧的$x+1$，三个数的和为$(x-1)+x+(x+1)=3x$。
因此无论竖行还是横行的相邻三个数，和都是中间数的3倍，将报出的和除以3即可得到中间数，进而求出另外两个数。
(2) 不存在这样的三个数，理由如下：
假设存在和为18的相邻三个数，根据(1)的结论可得$3x=18$，解方程得$x=6$。
观察题中月历，数字6在第一行的最右侧：若作为横行的中间数，它的右侧没有数字，无法组成横行相邻三个数；若作为竖行的中间数，它的上方没有数字，无法组成竖行相邻三个数，因此6不能作为相邻三个数的中间数，不存在符合要求的三个数。
【答案】
(1) 设竖行或横行中相邻的三个数中间一个数为 $x$,则竖行中相邻的三个数分别为 $x-7$,$x$,$x+7$,三个数之和为 $3x$;横行中相邻的三个数分别为 $x-1$,$x$,$x+1$,三个数之和也为$3x$.因此老师只要把同学们报出的和除以 3,就可以得到中间的数,从而知道其他两个数。
(2) 不存在这样的三个数。设竖行或横行中相邻的三个数中间一个数为 $x$,则三个数之和为$3x$.若 $3x=18$,那么 $x=6$.而 6 是该月历中第一行的最后一个数,不可能是竖行或横行中相邻的三个数的中间数。
【知识点】
日历中的数字规律，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合常见的月历场景考查规律探索与方程应用，解题核心是抓住月历中相邻数字的差值特点，通过设中间数的方式简化和的计算，同时要注意对求解结果结合实际场景验证，避免得出不符合月历实际的结论。
【难度系数】
0.7
