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例1 下列由左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是？请说明理由。
(1)$a(x+y)=ax+ay$；
(2)$x^2+2xy+y^2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1)$；
(3)$ax^2-9a=a(x+3)(x-3)$；
(4)$x^2+2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2$。
【思路导析】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。依据定义从对象和结果两个方面去判断。
【请你解答】
(1)$a(x+y)=ax+ay$；
(2)$x^2+2xy+y^2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1)$；
(3)$ax^2-9a=a(x+3)(x-3)$；
(4)$x^2+2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2$。
【思路导析】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。依据定义从对象和结果两个方面去判断。
【请你解答】
答案
解：
(1) 不是因式分解。理由：该变形是将整式的乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，没有把多项式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
(2) 不是因式分解。理由：变形后的结果是和的形式，并非几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义。
(3) 是因式分解。理由：该变形把多项式$ax^2-9a$化成了整式$a$、$(x+3)$、$(x-3)$的积的形式，符合因式分解的定义。
(4) 不是因式分解。理由：变形结果中的$\frac{1}{x}$不是整式，该变形没有将原式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
(1) 不是因式分解。理由：该变形是将整式的乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，没有把多项式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
(2) 不是因式分解。理由：变形后的结果是和的形式，并非几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义。
(3) 是因式分解。理由：该变形把多项式$ax^2-9a$化成了整式$a$、$(x+3)$、$(x-3)$的积的形式，符合因式分解的定义。
(4) 不是因式分解。理由：变形结果中的$\frac{1}{x}$不是整式，该变形没有将原式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
解析
【分析】
判断变形是否为因式分解，需紧扣因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。判断时需同时满足两个要求：一是变形的对象为多项式，二是变形的最终结果是几个整式的乘积形式。我们只需对照这两个要求，对4个变形逐一核查即可得出结论。
【解析】
结合因式分解的定义逐一分析：
(1) 该变形是把整式的乘积$a(x+y)$展开为多项式和$ax+ay$，属于整式乘法运算，没有将多项式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义；
(2) 变形后的结果为$x(x+2y)+(y+1)(y-1)$，是两个整式乘积的和，最终为和的形式，并非几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义；
(3) 变形前是多项式$ax^2-9a$，变形后为$a$、$(x+3)$、$(x-3)$三个整式的乘积，符合把多项式化成几个整式积的形式的要求，符合因式分解的定义；
(4) 变形结果$(x+\frac{1}{x})^2$中，$\frac{1}{x}$属于分式不是整式，因此变形结果不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
【答案】
(1) 不是因式分解。理由：该变形是将整式的乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，没有把多项式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
(2) 不是因式分解。理由：变形后的结果是和的形式，并非几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义。
(3) 是因式分解。理由：该变形把多项式$ax^2-9a$化成了整式$a$、$(x+3)$、$(x-3)$的积的形式，符合因式分解的定义。
(4) 不是因式分解。理由：变形结果中的$\frac{1}{x}$不是整式，该变形没有将原式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
【知识点】
因式分解的定义，整式的概念，整式乘法
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解应用，解题时要抓住“结果为几个整式的积”这一核心判断标准，同时注意区分整式乘法与因式分解的互逆关系，还要明确整式的范围，避免因混淆整式和分式出现判断错误。
【难度系数】
0.8
判断变形是否为因式分解，需紧扣因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式。判断时需同时满足两个要求：一是变形的对象为多项式，二是变形的最终结果是几个整式的乘积形式。我们只需对照这两个要求，对4个变形逐一核查即可得出结论。
【解析】
结合因式分解的定义逐一分析：
(1) 该变形是把整式的乘积$a(x+y)$展开为多项式和$ax+ay$，属于整式乘法运算，没有将多项式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义；
(2) 变形后的结果为$x(x+2y)+(y+1)(y-1)$，是两个整式乘积的和，最终为和的形式，并非几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义；
(3) 变形前是多项式$ax^2-9a$，变形后为$a$、$(x+3)$、$(x-3)$三个整式的乘积，符合把多项式化成几个整式积的形式的要求，符合因式分解的定义；
(4) 变形结果$(x+\frac{1}{x})^2$中，$\frac{1}{x}$属于分式不是整式，因此变形结果不是几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
【答案】
(1) 不是因式分解。理由：该变形是将整式的乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，没有把多项式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
(2) 不是因式分解。理由：变形后的结果是和的形式，并非几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义。
(3) 是因式分解。理由：该变形把多项式$ax^2-9a$化成了整式$a$、$(x+3)$、$(x-3)$的积的形式，符合因式分解的定义。
(4) 不是因式分解。理由：变形结果中的$\frac{1}{x}$不是整式，该变形没有将原式转化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义。
【知识点】
因式分解的定义，整式的概念，整式乘法
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，核心是对因式分解定义的理解应用，解题时要抓住“结果为几个整式的积”这一核心判断标准，同时注意区分整式乘法与因式分解的互逆关系，还要明确整式的范围，避免因混淆整式和分式出现判断错误。
【难度系数】
0.8
例2 指出下列多项式各项的公因式：
(1)$3a^2y - 3ay + 6y$；
(2)$4xy^3 - 8x^3y^2$；
(3)$a(x - y)^3 + b(x - y)^2 + (x - y)^3$；
(4)$-27a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a^2b$。
【思路导析】紧扣公因式的定义求解。
【请你解答】
(1)$3a^2y - 3ay + 6y$；
(2)$4xy^3 - 8x^3y^2$；
(3)$a(x - y)^3 + b(x - y)^2 + (x - y)^3$；
(4)$-27a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a^2b$。
【思路导析】紧扣公因式的定义求解。
【请你解答】
答案
解：
(1) 多项式$3a^2y - 3ay + 6y$各项系数的最大公约数是3，各项都含字母$y$，且$y$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$3y$。
(2) 多项式$4xy^3 - 8x^3y^2$各项系数的最大公约数是4，各项都含字母$x$、$y$，$x$的最低次数为1，$y$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$4xy^2$。
(3) 多项式$a(x - y)^3 + b(x - y)^2 + (x - y)^3$各项都含因式$(x-y)$，且$(x-y)$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$(x-y)^2$。
(4) 多项式$-27a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a^2b$各项系数绝对值的最大公约数是9，各项都含字母$a$、$b$，$a$的最低次数为2，$b$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$9a^2b$。
(1) 多项式$3a^2y - 3ay + 6y$各项系数的最大公约数是3，各项都含字母$y$，且$y$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$3y$。
(2) 多项式$4xy^3 - 8x^3y^2$各项系数的最大公约数是4，各项都含字母$x$、$y$，$x$的最低次数为1，$y$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$4xy^2$。
(3) 多项式$a(x - y)^3 + b(x - y)^2 + (x - y)^3$各项都含因式$(x-y)$，且$(x-y)$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$(x-y)^2$。
(4) 多项式$-27a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a^2b$各项系数绝对值的最大公约数是9，各项都含字母$a$、$b$，$a$的最低次数为2，$b$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$9a^2b$。
解析
【分析】
找多项式各项的公因式可按照三步法进行：①定系数：先求出各项系数绝对值的最大公约数；②定因式：找出各项都含有的相同字母或者相同的整体多项式因式；③定指数：对找到的相同因式，取其在各项中次数最低的，最后将系数、相同因式及其最低次幂相乘，即可得到公因式，接下来逐题按该步骤分析求解。
【解析】
(1) 多项式$3a^2y - 3ay + 6y$各项系数的最大公约数是3，各项都含字母$y$，且$y$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$3y$。
(2) 多项式$4xy^3 - 8x^3y^2$各项系数的最大公约数是4，各项都含字母$x$、$y$，$x$的最低次数为1，$y$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$4xy^2$。
(3) 多项式$a(x - y)^3 + b(x - y)^2 + (x - y)^3$各项都含因式$(x-y)$，且$(x-y)$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$(x-y)^2$。
(4) 多项式$-27a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a^2b$各项系数绝对值的最大公约数是9，各项都含字母$a$、$b$，$a$的最低次数为2，$b$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$9a^2b$。
【答案】
(1)$3y$；(2)$4xy^2$；(3)$(x-y)^2$；(4)$9a^2b$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是确定公因式的基础题型，解题时需注意既要关注单个字母类的公因式，也要识别形如$(x-y)$的整体公因式，系数部分优先取绝对值的最大公约数，熟练掌握公因式的确定步骤即可快速解题，是后续学习提公因式法分解因式的基础。
【难度系数】
0.8
找多项式各项的公因式可按照三步法进行：①定系数：先求出各项系数绝对值的最大公约数；②定因式：找出各项都含有的相同字母或者相同的整体多项式因式；③定指数：对找到的相同因式，取其在各项中次数最低的，最后将系数、相同因式及其最低次幂相乘，即可得到公因式，接下来逐题按该步骤分析求解。
【解析】
(1) 多项式$3a^2y - 3ay + 6y$各项系数的最大公约数是3，各项都含字母$y$，且$y$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$3y$。
(2) 多项式$4xy^3 - 8x^3y^2$各项系数的最大公约数是4，各项都含字母$x$、$y$，$x$的最低次数为1，$y$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$4xy^2$。
(3) 多项式$a(x - y)^3 + b(x - y)^2 + (x - y)^3$各项都含因式$(x-y)$，且$(x-y)$的最低次数为2，因此该多项式各项的公因式是$(x-y)^2$。
(4) 多项式$-27a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a^2b$各项系数绝对值的最大公约数是9，各项都含字母$a$、$b$，$a$的最低次数为2，$b$的最低次数为1，因此该多项式各项的公因式是$9a^2b$。
【答案】
(1)$3y$；(2)$4xy^2$；(3)$(x-y)^2$；(4)$9a^2b$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是确定公因式的基础题型，解题时需注意既要关注单个字母类的公因式，也要识别形如$(x-y)$的整体公因式，系数部分优先取绝对值的最大公约数，熟练掌握公因式的确定步骤即可快速解题，是后续学习提公因式法分解因式的基础。
【难度系数】
0.8
例3 分解因式：
(1)$75x^3y^5 - 35x^2y^4$；
(2)$-10m^4n^2 - 8m^4n - 2m^3n$；
(3)$\frac{1}{4}a^3b^2 - 2a^2b^3$；
(4)$4x^{n+1} - 12x^n + 32x^{n-1}$。
【思路导析】用提公因式法分解因式.注意首项有“－”号的要把“－”号提出来.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 提公因式法的间接应用
(1)$75x^3y^5 - 35x^2y^4$；
(2)$-10m^4n^2 - 8m^4n - 2m^3n$；
(3)$\frac{1}{4}a^3b^2 - 2a^2b^3$；
(4)$4x^{n+1} - 12x^n + 32x^{n-1}$。
【思路导析】用提公因式法分解因式.注意首项有“－”号的要把“－”号提出来.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 提公因式法的间接应用
答案
解：
(1) 原式$=5x^2y^4 · 15xy - 5x^2y^4 · 7$
$=5x^2y^4(15xy - 7)$
(2) 原式$=-(10m^4n^2 + 8m^4n + 2m^3n)$
$=-2m^3n · 5mn - 2m^3n · 4m - 2m^3n · 1$
$=-2m^3n(5mn + 4m + 1)$
(3) 原式$=\frac{1}{4}a^2b^2 · a - \frac{1}{4}a^2b^2 · 8b$
$=\frac{1}{4}a^2b^2(a - 8b)$
(4) 原式$=4x^{n-1} · x^2 - 4x^{n-1} · 3x + 4x^{n-1} · 8$
$=4x^{n-1}(x^2 - 3x + 8)$
(1) 原式$=5x^2y^4 · 15xy - 5x^2y^4 · 7$
$=5x^2y^4(15xy - 7)$
(2) 原式$=-(10m^4n^2 + 8m^4n + 2m^3n)$
$=-2m^3n · 5mn - 2m^3n · 4m - 2m^3n · 1$
$=-2m^3n(5mn + 4m + 1)$
(3) 原式$=\frac{1}{4}a^2b^2 · a - \frac{1}{4}a^2b^2 · 8b$
$=\frac{1}{4}a^2b^2(a - 8b)$
(4) 原式$=4x^{n-1} · x^2 - 4x^{n-1} · 3x + 4x^{n-1} · 8$
$=4x^{n-1}(x^2 - 3x + 8)$
解析
【分析】
这几道题都采用提公因式法分解因式，解题思路分为三步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找相同字母（或含字母的式子）的最低次幂，二者的乘积就是公因式；若多项式首项为负，要先提取负号，公因式带负号。②用多项式的每一项除以公因式，得到各项剩余的因式。③将公因式写在括号外，各项剩余的因式相加（减）写在括号内，注意不要漏写常数项。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数75和35的最大公约数是5，x的最低次幂是$x^2$，y的最低次幂是$y^4$，公因式为$5x^2y^4$
原式$=5x^2y^4 · 15xy - 5x^2y^4 · 7$
$=5x^2y^4(15xy - 7)$
(2) 首项为负，先提负号，再确定公因式：系数10、8、2的最大公约数是2，m的最低次幂是$m^3$，n的最低次幂是$n$，公因式为$-2m^3n$
原式$=-(10m^4n^2 + 8m^4n + 2m^3n)$
$=-2m^3n · 5mn - 2m^3n · 4m - 2m^3n · 1$
$=-2m^3n(5mn + 4m + 1)$
(3) 确定公因式：系数的最大公约数为$\frac{1}{4}$，a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b^2$，公因式为$\frac{1}{4}a^2b^2$
原式$=\frac{1}{4}a^2b^2 · a - \frac{1}{4}a^2b^2 · 8b$
$=\frac{1}{4}a^2b^2(a - 8b)$
(4) 确定公因式：系数4、12、32的最大公约数是4，x的最低次幂是$x^{n-1}$，公因式为$4x^{n-1}$
原式$=4x^{n-1} · x^2 - 4x^{n-1} · 3x + 4x^{n-1} · 8$
$=4x^{n-1}(x^2 - 3x + 8)$
【答案】
(1) $5x^2y^4(15xy - 7)$
(2) $-2m^3n(5mn + 4m + 1)$
(3) $\frac{1}{4}a^2b^2(a - 8b)$
(4) $4x^{n-1}(x^2 - 3x + 8)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，符号提取规则
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规训练题，核心是准确找到公因式，需注意首项为负时优先提取负号，提取公因式后括号内的项数要与原式项数一致，避免漏写系数为1的项。
【难度系数】
0.75
这几道题都采用提公因式法分解因式，解题思路分为三步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找相同字母（或含字母的式子）的最低次幂，二者的乘积就是公因式；若多项式首项为负，要先提取负号，公因式带负号。②用多项式的每一项除以公因式，得到各项剩余的因式。③将公因式写在括号外，各项剩余的因式相加（减）写在括号内，注意不要漏写常数项。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数75和35的最大公约数是5，x的最低次幂是$x^2$，y的最低次幂是$y^4$，公因式为$5x^2y^4$
原式$=5x^2y^4 · 15xy - 5x^2y^4 · 7$
$=5x^2y^4(15xy - 7)$
(2) 首项为负，先提负号，再确定公因式：系数10、8、2的最大公约数是2，m的最低次幂是$m^3$，n的最低次幂是$n$，公因式为$-2m^3n$
原式$=-(10m^4n^2 + 8m^4n + 2m^3n)$
$=-2m^3n · 5mn - 2m^3n · 4m - 2m^3n · 1$
$=-2m^3n(5mn + 4m + 1)$
(3) 确定公因式：系数的最大公约数为$\frac{1}{4}$，a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b^2$，公因式为$\frac{1}{4}a^2b^2$
原式$=\frac{1}{4}a^2b^2 · a - \frac{1}{4}a^2b^2 · 8b$
$=\frac{1}{4}a^2b^2(a - 8b)$
(4) 确定公因式：系数4、12、32的最大公约数是4，x的最低次幂是$x^{n-1}$，公因式为$4x^{n-1}$
原式$=4x^{n-1} · x^2 - 4x^{n-1} · 3x + 4x^{n-1} · 8$
$=4x^{n-1}(x^2 - 3x + 8)$
【答案】
(1) $5x^2y^4(15xy - 7)$
(2) $-2m^3n(5mn + 4m + 1)$
(3) $\frac{1}{4}a^2b^2(a - 8b)$
(4) $4x^{n-1}(x^2 - 3x + 8)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，符号提取规则
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规训练题，核心是准确找到公因式，需注意首项为负时优先提取负号，提取公因式后括号内的项数要与原式项数一致，避免漏写系数为1的项。
【难度系数】
0.75
例4 把下列各式分解因式：
(1)$m(a-3)+2(3-a)$；
(2)$4x(x-y)^2 -12(x-y)^3$；
(3)$(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(n-m)^2$。
【思路导析】(1)将多项式中的$a-3$变成$3-a$，或将$3-a$变成$a-3$，确定公因式后再提公因式。(2)将$x-y$当作一个整体，其公因式为$4(x-y)^2$。(3)将多项式中的$m-n$变成$n-m$，或将$n-m$变成$m-n$，提公因式$(m-n)^2$或$(n-m)^2$，然后进行因式分解。
【示范解答】(1)$m(a-3)+2(3-a)=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2)$；
(2)$4x(x-y)^2 -12(x-y)^3=4(x-y)^2[x-3(x-y)]=4(x-y)^2(3y-2x)$；
(3)$(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(n-m)^2=(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(m-n)^2=(m-n)^2[(m-n)^2 + m(m-n) + n]=(m-n)^2(2m^2 -3mn +n^2 +n)$。
变式探究
(1)$m(a-3)+2(3-a)$；
(2)$4x(x-y)^2 -12(x-y)^3$；
(3)$(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(n-m)^2$。
【思路导析】(1)将多项式中的$a-3$变成$3-a$，或将$3-a$变成$a-3$，确定公因式后再提公因式。(2)将$x-y$当作一个整体，其公因式为$4(x-y)^2$。(3)将多项式中的$m-n$变成$n-m$，或将$n-m$变成$m-n$，提公因式$(m-n)^2$或$(n-m)^2$，然后进行因式分解。
【示范解答】(1)$m(a-3)+2(3-a)=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2)$；
(2)$4x(x-y)^2 -12(x-y)^3=4(x-y)^2[x-3(x-y)]=4(x-y)^2(3y-2x)$；
(3)$(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(n-m)^2=(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(m-n)^2=(m-n)^2[(m-n)^2 + m(m-n) + n]=(m-n)^2(2m^2 -3mn +n^2 +n)$。
变式探究
答案
解：
(1) 原式$=m(a-3)-2(a-3)$
$=(a-3)(m-2)$
(2) 原式$=4(x-y)^2· x - 4(x-y)^2· 3(x-y)$
$=4(x-y)^2[x-3(x-y)]$
$=4(x-y)^2(x-3x+3y)$
$=4(x-y)^2(3y-2x)$
(3) 原式$=(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(m-n)^2$
$=(m-n)^2[(m-n)^2 + m(m-n) + n]$
$=(m-n)^2(m^2-2mn+n^2 + m^2 - mn + n)$
$=(m-n)^2(2m^2-3mn+n^2+n)$
(1) 原式$=m(a-3)-2(a-3)$
$=(a-3)(m-2)$
(2) 原式$=4(x-y)^2· x - 4(x-y)^2· 3(x-y)$
$=4(x-y)^2[x-3(x-y)]$
$=4(x-y)^2(x-3x+3y)$
$=4(x-y)^2(3y-2x)$
(3) 原式$=(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(m-n)^2$
$=(m-n)^2[(m-n)^2 + m(m-n) + n]$
$=(m-n)^2(m^2-2mn+n^2 + m^2 - mn + n)$
$=(m-n)^2(2m^2-3mn+n^2+n)$
解析
【分析】
这三道题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：1. 对于底数互为相反数的因式，先根据“互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数”统一底数，再确定公因式；2. 提取公因式后，对剩余的整式部分去括号、合并同类项，化简到最简形式。具体到每道题：(1)先将$3-a$变形为$-(a-3)$，可得公因式为$(a-3)$，提取后即可完成分解；(2)将$(x-y)$看作整体，公因式为$4(x-y)^2$，提取后化简括号内的整式即可；(3)先将$(n-m)^2$变形为$(m-n)^2$，可得公因式为$(m-n)^2$，提取后展开、合并括号内的同类项即可。
【解析】
(1) 原式$=m(a-3)-2(a-3)$
$=(a-3)(m-2)$
(2) 原式$=4(x-y)^2· x - 4(x-y)^2· 3(x-y)$
$=4(x-y)^2[x-3(x-y)]$
$=4(x-y)^2(x-3x+3y)$
$=4(x-y)^2(3y-2x)$
(3) 原式$=(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(m-n)^2$
$=(m-n)^2[(m-n)^2 + m(m-n) + n]$
$=(m-n)^2(m^2-2mn+n^2 + m^2 - mn + n)$
$=(m-n)^2(2m^2-3mn+n^2+n)$
【答案】
(1) $(a-3)(m-2)$
(2) $4(x-y)^2(3y-2x)$
(3) $(m-n)^2(2m^2-3mn+n^2+n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，相反数的幂的变形，整式化简
【点评】
本组题是提公因式法分解因式的典型应用，解题的核心是准确找出公因式，尤其要注意底数互为相反数的因式的转化，提取公因式后需将剩余部分化简，避免出现未合并同类项的错误，同时要树立整体思想，将相同的多项式因式当作整体处理，简化运算。
【难度系数】
0.75
这三道题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：1. 对于底数互为相反数的因式，先根据“互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数”统一底数，再确定公因式；2. 提取公因式后，对剩余的整式部分去括号、合并同类项，化简到最简形式。具体到每道题：(1)先将$3-a$变形为$-(a-3)$，可得公因式为$(a-3)$，提取后即可完成分解；(2)将$(x-y)$看作整体，公因式为$4(x-y)^2$，提取后化简括号内的整式即可；(3)先将$(n-m)^2$变形为$(m-n)^2$，可得公因式为$(m-n)^2$，提取后展开、合并括号内的同类项即可。
【解析】
(1) 原式$=m(a-3)-2(a-3)$
$=(a-3)(m-2)$
(2) 原式$=4(x-y)^2· x - 4(x-y)^2· 3(x-y)$
$=4(x-y)^2[x-3(x-y)]$
$=4(x-y)^2(x-3x+3y)$
$=4(x-y)^2(3y-2x)$
(3) 原式$=(m-n)^4 + m(m-n)^3 + n(m-n)^2$
$=(m-n)^2[(m-n)^2 + m(m-n) + n]$
$=(m-n)^2(m^2-2mn+n^2 + m^2 - mn + n)$
$=(m-n)^2(2m^2-3mn+n^2+n)$
【答案】
(1) $(a-3)(m-2)$
(2) $4(x-y)^2(3y-2x)$
(3) $(m-n)^2(2m^2-3mn+n^2+n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，相反数的幂的变形，整式化简
【点评】
本组题是提公因式法分解因式的典型应用，解题的核心是准确找出公因式，尤其要注意底数互为相反数的因式的转化，提取公因式后需将剩余部分化简，避免出现未合并同类项的错误，同时要树立整体思想，将相同的多项式因式当作整体处理，简化运算。
【难度系数】
0.75
