学习任务 解含有分数系数的一元一次方程
解含有分数系数的一元一次方程的一般
步骤：
(1) ；
(2)去括号；
(3) ；
(4)合并 ；
(5)系数 。

1. 去分母
3. 移项
4. 同类项
5. 化为1

【分析】
本题考查含有分数系数的一元一次方程的求解步骤，解题时可回忆一元一次方程的标准求解流程：首先为了消除分数简化计算，第一步需要先去掉分母；去括号后，需要将含未知数的项和常数项分别移到等式的两侧；之后把相同类型的项合并，得到ax=b（a≠0）的形式；最后将未知数的系数变为1，即可得到方程的解，按照这个流程依次对应填空即可。
【解析】
解含有分数系数的一元一次方程的一般步骤为：
(1) 去分母：等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，消除分数系数，简化后续计算；
(2)去括号：根据去括号法则去掉方程中的括号；
(3) 移项：将含未知数的项统一移到等式一侧，常数项统一移到等式另一侧，注意移项要变号；
(4)合并同类项：将同类项进行合并，把方程整理为ax=b（a≠0）的形式；
(5)系数化为1：等式两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解$x=\frac{b}{a}$。
【答案】
(1)去分母；(3)移项；(4)同类项；(5)化为1
【知识点】
解一元一次方程的步骤、等式的基本性质、合并同类项
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考察对解一元一次方程标准步骤的掌握情况，该知识点是求解一元一次方程的核心基础，需要熟练记忆并能灵活运用到实际解方程的过程中。
【难度系数】
0.9

【例1】解下列方程：
(1)$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+2$；
(2)$\frac{x-1}{4}-\frac{2x+1}{3}=1$。
解：

(1) y=3.
(2) $x=-\frac{19}{5}$.

【分析】
本题考查一元一次方程的求解，按照一元一次方程的常规解题步骤思考即可：对于无分母的方程(1)，直接通过移项、合并同类项、系数化为1三步求解；对于含分母的方程(2)，先找到分母的最小公倍数去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意去分母时常数项也要乘最小公倍数，移项要记得变号。
【解析】
(1) 解方程 $y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+2$
第一步：移项，将含$y$的项移到等式左边，常数项移到等式右边，移项要变号：
$y-\frac{1}{2}y=2-\frac{1}{2}$
第二步：合并同类项：
$\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$
第三步：系数化为1，等式两边同时乘2：
$y=3$
(2) 解方程 $\frac{x-1}{4}-\frac{2x+1}{3}=1$
第一步：去分母，等式两边同时乘分母4和3的最小公倍数12，注意右侧常数项1也要乘12：
$3(x-1)-4(2x+1)=12$
第二步：去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号：
$3x-3-8x-4=12$
第三步：移项，将含$x$的项移到等式左边，常数项移到等式右边：
$3x-8x=12+3+4$
第四步：合并同类项：
$-5x=19$
第五步：系数化为1，等式两边同时除以$-5$：
$x=-\frac{19}{5}$
【答案】
(1) $y=3$；(2) $x=-\frac{19}{5}$
【知识点】
一元一次方程解法、去分母法则、移项法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，解题时需严格遵循求解步骤，尤其要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，移项时要变号，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8

1.解下列方程：
(1)$\frac{x+3}{3}-\frac{x+1}{2}=1;$
(2)$\frac{10x}{7}-1=\frac{17-20x}{3}.$

1. (1) $x=-3$.
(2) $x=\frac{14}{17}$.

【分析】
这两道题都是含分母的一元一次方程求解问题，解题遵循一元一次方程的常规求解步骤：先找各分母的最小公倍数，利用等式的性质两边同乘最小公倍数去掉分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作即可得到方程的解。注意去分母时常数项也要乘最小公倍数，去括号时要注意符号变化规则。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+3}{3}-\frac{x+1}{2}=1$
① 去分母：两边同乘3和2的最小公倍数6，得
$2(x+3)-3(x+1)=6$
② 去括号，得
$2x+6-3x-3=6$
③ 移项，得
$2x-3x=6-6+3$
④ 合并同类项，得
$-x=3$
⑤ 系数化为1，得
$x=-3$
(2) 解方程$\frac{10x}{7}-1=\frac{17-20x}{3}$
① 去分母：两边同乘7和3的最小公倍数21，得
$3×10x -21×1=7×(17-20x)$
② 化简并去括号，得
$30x-21=119-140x$
③ 移项，得
$30x+140x=119+21$
④ 合并同类项，得
$170x=140$
⑤ 系数化为1，得
$x=\frac{14}{17}$
【答案】
(1) $x=-3$；(2) $x=\frac{14}{17}$
【知识点】
一元一次方程的解法；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，重点考查去分母、去括号的操作规范，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号时要根据括号前的符号判断是否变号，保证计算准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

【例2】某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时20天.已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道(设甲工程队整治了x m的河道).
解:
|一题多变|
（改变结论）其他条件不变，甲、乙两工程队各整治河道多少天？
|变式训练|
2.某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A，B两码头之间的C码头，一共航行了7 h.已知此船在静水中的速度为7.5 km/h，水流速度为2.5 km/h，A，C两码头之间的距离为10 km，求A，B两码头之间的距离.

【例2】 甲工程队整治了 120 m 的河道，乙工程队整治了 240 m 的河道.
一题多变 甲工程队整治河道 5 天，乙工程队整治河道 15 天.

【分析】
我们分两部分梳理解题思路：
1. 例2：本题属于工程类一元一次方程应用题，已知总河道长度、总用时及甲乙两队的工作效率，要求两队各自的工作量。按照题干设定甲整治河道长度为x m，则乙整治的长度为总长度减x即$(360-x)$m。再根据“工作时间=工作量÷工作效率”分别表示出甲乙两队的工作时间，利用“两队总用时为20天”的等量关系列方程，求解得到x的值后即可算出乙的工作量。
2. 一题多变：本题要求两队各自的工作时间，设甲整治的天数为y天，则乙整治的天数为总天数减y即$(20-y)$天，根据“总工作量=甲的工作量+乙的工作量”，结合“工作量=工作效率×工作时间”列方程求解即可。
【解析】
▷ 例2解答：
设甲工程队整治了x m的河道，则乙工程队整治了$(360 - x)$ m的河道。
根据两队总用时20天，列方程得：
$\frac{x}{24} + \frac{360 - x}{16} = 20$
去分母（两边同时乘48），得：
$2x + 3(360 - x) = 960$
去括号，得：
$2x + 1080 - 3x = 960$
移项、合并同类项，得：
$-x = -120$
系数化为1，得：
$x = 120$
则乙工程队整治的河道长度为：$360 - 120 = 240$（m）
▷ 一题多变解答：
设甲工程队整治河道y天，则乙工程队整治河道$(20 - y)$天。
根据河道总长360 m，列方程得：
$24y + 16(20 - y) = 360$
去括号，得：
$24y + 320 - 16y = 360$
合并同类项，得：
$8y = 40$
系数化为1，得：
$y = 5$
则乙工程队整治河道的天数为：$20 - 5 = 15$（天）
【答案】
例2：甲工程队整治了120 m的河道，乙工程队整治了240 m的河道；
一题多变：甲工程队整治河道5天，乙工程队整治河道15天。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题
【点评】
这组题目是典型的工程类方程应用题，解题关键是熟练掌握工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，准确从题干中提取等量关系列方程求解，计算过程简单不易出错。
【难度系数】
0.8