登录
4. 如图
，一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分. 下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)之间变化关系的是(
h/米
O t/秒 A
h/米
O t/秒 B
h/米
O t/秒 C
h/米
O t/秒 D
，一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分. 下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度h(单位:米)与时间t(单位:秒)之间变化关系的是(D
)h/米
O t/秒 A
h/米
O t/秒 B
h/米
O t/秒 C
h/米
O t/秒 D
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先要明确篮球从出手到入篮的高度变化规律：①出手时（t=0），篮球不在地面，初始高度大于0；②出手后篮球先向上运动，高度随时间增加而升高，到达最高点后开始下落，高度随时间增加而降低。接下来结合四个选项的图像特征，逐一排除不符合规律的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合篮球的运动过程逐一分析选项：
1. 篮球出手时已有一定高度，即t=0时h＞0，选项A中t=0时h=0，不符合实际，排除A；
2. 篮球出手后先向上运动，高度先升高，到达最高点后再下降，高度后降低：
选项B中高度随时间一直降低，不符合先上升的过程，排除B；
选项C中高度保持不变，不符合篮球运动的实际规律，排除C；
选项D初始高度大于0，图像呈现先上升后下降的趋势，完全符合篮球高度随时间的变化规律。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 函数图像判断
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查函数图像的识别，解题核心是梳理清楚研究对象的变化过程，再对应图像特征排除错误选项，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确篮球从出手到入篮的高度变化规律：①出手时（t=0），篮球不在地面，初始高度大于0；②出手后篮球先向上运动，高度随时间增加而升高，到达最高点后开始下落，高度随时间增加而降低。接下来结合四个选项的图像特征，逐一排除不符合规律的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合篮球的运动过程逐一分析选项：
1. 篮球出手时已有一定高度，即t=0时h＞0，选项A中t=0时h=0，不符合实际，排除A；
2. 篮球出手后先向上运动，高度先升高，到达最高点后再下降，高度后降低：
选项B中高度随时间一直降低，不符合先上升的过程，排除B；
选项C中高度保持不变，不符合篮球运动的实际规律，排除C；
选项D初始高度大于0，图像呈现先上升后下降的趋势，完全符合篮球高度随时间的变化规律。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 函数图像判断
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查函数图像的识别，解题核心是梳理清楚研究对象的变化过程，再对应图像特征排除错误选项，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 二次函数$y=(x-1)^2+2$的最小值是
1. 二次函数$y=(x-1)^2+2$的最小值是
2
。答案
1. 2
解析
【分析】
首先观察到给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，求解二次函数的最值时，先判断二次项系数$a$的符号：若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点纵坐标$k$就是函数的最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，$k$是函数的最大值。本题中$a=1＞0$，因此直接提取对应$k$值即可得到最小值。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
对于$y=(x-1)^2+2$，可得$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标。
其中$h=1$，$k=2$，顶点坐标为$(1,2)$，因此当$x=1$时，$y$取得最小值$2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数最值的求解，熟练掌握二次函数顶点式各参数的含义即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
首先观察到给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，求解二次函数的最值时，先判断二次项系数$a$的符号：若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点纵坐标$k$就是函数的最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，$k$是函数的最大值。本题中$a=1＞0$，因此直接提取对应$k$值即可得到最小值。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
对于$y=(x-1)^2+2$，可得$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标。
其中$h=1$，$k=2$，顶点坐标为$(1,2)$，因此当$x=1$时，$y$取得最小值$2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数最值的求解，熟练掌握二次函数顶点式各参数的含义即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +1$中，当$x=$
-1
时，$y$有最大
值是$\dfrac{3}{2}$
。答案
2. -1,大,$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值问题，解题思路如下：第一步先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值：若二次项系数$a＞0$，抛物线开口向上，$y$有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，$y$有最大值。第二步计算顶点的横坐标，也就是$y$取最值时对应的$x$的值，可选用顶点坐标公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，或者用配方法将函数化为顶点式求解。第三步将求得的$x$值代入原函数，计算得到对应的最值$y$。
【解析】
解法一（公式法）：
在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +1$中，$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=-1$，$c=1$。
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，$y$有最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-1$时，$y$取得最值。
将$x=-1$代入函数解析式得：
$y=-\dfrac{1}{2}×(-1)^2 - (-1) +1=-\dfrac{1}{2}+1+1=\dfrac{3}{2}$。
解法二（配方法）：
将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +1$
$=-\dfrac{1}{2}(x^2+2x)+1$
$=-\dfrac{1}{2}(x^2+2x+1-1)+1$
$=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 +\dfrac{1}{2}+1$
$=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 +\dfrac{3}{2}$
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=-1$时，$y$有最大值，最大值为$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$-1$，大，$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，顶点坐标求法
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，需熟练掌握二次函数开口方向与最值的对应关系，以及顶点坐标的两种求解方法（公式法、配方法），就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的最值问题，解题思路如下：第一步先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，确定函数有最大值还是最小值：若二次项系数$a＞0$，抛物线开口向上，$y$有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，$y$有最大值。第二步计算顶点的横坐标，也就是$y$取最值时对应的$x$的值，可选用顶点坐标公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，或者用配方法将函数化为顶点式求解。第三步将求得的$x$值代入原函数，计算得到对应的最值$y$。
【解析】
解法一（公式法）：
在抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +1$中，$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=-1$，$c=1$。
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，$y$有最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-1$时，$y$取得最值。
将$x=-1$代入函数解析式得：
$y=-\dfrac{1}{2}×(-1)^2 - (-1) +1=-\dfrac{1}{2}+1+1=\dfrac{3}{2}$。
解法二（配方法）：
将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -x +1$
$=-\dfrac{1}{2}(x^2+2x)+1$
$=-\dfrac{1}{2}(x^2+2x+1-1)+1$
$=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 +\dfrac{1}{2}+1$
$=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 +\dfrac{3}{2}$
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=-1$时，$y$有最大值，最大值为$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$-1$，大，$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，顶点坐标求法
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，需熟练掌握二次函数开口方向与最值的对应关系，以及顶点坐标的两种求解方法（公式法、配方法），就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
3. 某纸箱厂第1年的利润为50万元，如果每一年相比上一年的利润增长率都是x，则第3年的利润为
$50(1+x)^2$
万元。答案
3. $50(1+x)^2$
解析
【分析】
这是一道平均增长率的基础应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的核心数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以逐年推导利润：先根据第1年的利润算出第2年的利润，再以第2年的利润为基础，算出第3年的利润即可，注意第1年到第3年共经历了2次增长，不要误算为3次增长。
【解析】
已知第1年利润为50万元，年利润增长率为x：
1. 计算第2年的利润：第2年利润是在第1年的基础上增长得到的，因此第2年利润 = 第1年利润×(1+x) = $50(1+x)$ 万元；
2. 计算第3年的利润：第3年利润是在第2年的基础上增长得到的，因此第3年利润 = 第2年利润×(1+x) = $50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2$ 万元。
【答案】
$50(1+x)^2$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列代数式
3. 乘方的应用
【点评】
本题是增长率类问题的基础题型，核心是掌握增长率的数量关系，注意区分增长的次数，从初始年到目标年经过几年对应几次方，避免混淆次数导致错误。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的基础应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的核心数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以逐年推导利润：先根据第1年的利润算出第2年的利润，再以第2年的利润为基础，算出第3年的利润即可，注意第1年到第3年共经历了2次增长，不要误算为3次增长。
【解析】
已知第1年利润为50万元，年利润增长率为x：
1. 计算第2年的利润：第2年利润是在第1年的基础上增长得到的，因此第2年利润 = 第1年利润×(1+x) = $50(1+x)$ 万元；
2. 计算第3年的利润：第3年利润是在第2年的基础上增长得到的，因此第3年利润 = 第2年利润×(1+x) = $50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2$ 万元。
【答案】
$50(1+x)^2$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列代数式
3. 乘方的应用
【点评】
本题是增长率类问题的基础题型，核心是掌握增长率的数量关系，注意区分增长的次数，从初始年到目标年经过几年对应几次方，避免混淆次数导致错误。
【难度系数】
0.8
4*. 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是
$\dfrac{25}{2}$
cm².答案
4. $\dfrac{25}{2}$
解析
【分析】
本题属于二次函数实际最值问题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，可设其中一段铁丝长度为$x\ \mathrm{cm}$，另一段就为$(20-x)\ \mathrm{cm}$；第二步，根据正方形周长和面积的关系，分别表示出两个正方形的面积，再求和得到面积和关于$x$的函数表达式；第三步，将函数整理为二次函数的标准形式，结合二次函数的开口方向和顶点坐标求最小值，同时注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【解析】
解：设其中一段铁丝的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则另一段铁丝的长度为$(20 - x)\ \mathrm{cm}$，设两个正方形的面积之和为$y\ \mathrm{cm}^2$。
根据正方形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{x^2}{16} + \frac{(20 - x)^2}{16}\\&=\frac{x^2 + 400 - 40x + x^2}{16}\\&=\frac{2x^2 - 40x + 400}{16}\\&=\frac{x^2 - 20x + 200}{8}\\&=\frac{1}{8}(x^2 - 20x + 100 + 100)\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + \frac{25}{2}\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$\frac{1}{8}＞0$，抛物线开口向上，且$0＜x＜20$，
$\therefore$ 当$x=10$时，$y$取得最小值，最小值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
$\dfrac{25}{2}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；正方形的周长与面积计算
【点评】
本题考查利用二次函数解决实际最值问题，解题核心是准确建立二次函数模型，熟练运用配方法或顶点坐标公式求二次函数的最值，解题时需注意验证自变量的取值是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
本题属于二次函数实际最值问题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，可设其中一段铁丝长度为$x\ \mathrm{cm}$，另一段就为$(20-x)\ \mathrm{cm}$；第二步，根据正方形周长和面积的关系，分别表示出两个正方形的面积，再求和得到面积和关于$x$的函数表达式；第三步，将函数整理为二次函数的标准形式，结合二次函数的开口方向和顶点坐标求最小值，同时注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【解析】
解：设其中一段铁丝的长度为$x\ \mathrm{cm}$，则另一段铁丝的长度为$(20 - x)\ \mathrm{cm}$，设两个正方形的面积之和为$y\ \mathrm{cm}^2$。
根据正方形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{x^2}{16} + \frac{(20 - x)^2}{16}\\&=\frac{x^2 + 400 - 40x + x^2}{16}\\&=\frac{2x^2 - 40x + 400}{16}\\&=\frac{x^2 - 20x + 200}{8}\\&=\frac{1}{8}(x^2 - 20x + 100 + 100)\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + \frac{25}{2}\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$\frac{1}{8}＞0$，抛物线开口向上，且$0＜x＜20$，
$\therefore$ 当$x=10$时，$y$取得最小值，最小值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
$\dfrac{25}{2}$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；正方形的周长与面积计算
【点评】
本题考查利用二次函数解决实际最值问题，解题核心是准确建立二次函数模型，熟练运用配方法或顶点坐标公式求二次函数的最值，解题时需注意验证自变量的取值是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%. 商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y(单位：件)与降价x(单位：元)之间的函数解析式为$y=20+4x(x＞0)$.
(1)求M型服装的进价；
(2)求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值.
1. 儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%. 商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y(单位：件)与降价x(单位：元)之间的函数解析式为$y=20+4x(x＞0)$.
(1)求M型服装的进价；
(2)求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值.
答案
1. (1) 40元 (2) 当x=7.5元时,$W_{最大}$=625元
解析
【分析】
(1) 求进价可利用利润与利润率的等量关系求解：先计算出标价打8折后的实际售价，设进价为未知数，根据“8折销售时利润=进价×50%”列一元一次方程即可求解。
(2) 求利润最大值需先明确总利润的计算逻辑：总利润=单件利润×销售数量。先表示出促销时每件服装的利润（8折售价 - 降价金额 - 进价），结合给出的销量与降价的函数关系，列出总利润W关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求开口向下的抛物线的顶点纵坐标，即为最大利润。
【解析】
(1) 设M型服装的进价为$a$元。
标价打8折后的售价为：$75×0.8=60$元/件
由“按8折销售仍可获利50%”可得等量关系：$60 - a = 50\% · a$
解方程：
$60=1.5a$
$a=40$
即M型服装的进价为40元。
(2) 促销时，每件服装的实际售价为$(60 - x)$元，单件利润为$(60 - x - 40)=(20 - x)$元，每天销量为$y=20 + 4x$件。
总利润$W=\mathrm{单件利润} × \mathrm{销量}$，因此：
$\begin{aligned}W&=(20 - x)(20 + 4x)\\&=-4x^2 + 60x + 400\end{aligned}$
该二次函数中二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-4)}=7.5$时，W取得最大值：
把$x=7.5$代入函数得：
$W_{\mathrm{最大}}=(20 - 7.5)×(20 + 4×7.5)=12.5×50=625$元。
【答案】
(1) 40元；(2) 当x=7.5元时，$W_{\mathrm{最大}}=625$元
【知识点】
一元一次方程应用；二次函数最值；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，既考查了基础的销售利润相关的方程计算，又考查了二次函数在实际最值问题中的应用，解题核心是找准等量关系列出对应的代数式和函数表达式，同时注意结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 求进价可利用利润与利润率的等量关系求解：先计算出标价打8折后的实际售价，设进价为未知数，根据“8折销售时利润=进价×50%”列一元一次方程即可求解。
(2) 求利润最大值需先明确总利润的计算逻辑：总利润=单件利润×销售数量。先表示出促销时每件服装的利润（8折售价 - 降价金额 - 进价），结合给出的销量与降价的函数关系，列出总利润W关于x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求开口向下的抛物线的顶点纵坐标，即为最大利润。
【解析】
(1) 设M型服装的进价为$a$元。
标价打8折后的售价为：$75×0.8=60$元/件
由“按8折销售仍可获利50%”可得等量关系：$60 - a = 50\% · a$
解方程：
$60=1.5a$
$a=40$
即M型服装的进价为40元。
(2) 促销时，每件服装的实际售价为$(60 - x)$元，单件利润为$(60 - x - 40)=(20 - x)$元，每天销量为$y=20 + 4x$件。
总利润$W=\mathrm{单件利润} × \mathrm{销量}$，因此：
$\begin{aligned}W&=(20 - x)(20 + 4x)\\&=-4x^2 + 60x + 400\end{aligned}$
该二次函数中二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-4)}=7.5$时，W取得最大值：
把$x=7.5$代入函数得：
$W_{\mathrm{最大}}=(20 - 7.5)×(20 + 4×7.5)=12.5×50=625$元。
【答案】
(1) 40元；(2) 当x=7.5元时，$W_{\mathrm{最大}}=625$元
【知识点】
一元一次方程应用；二次函数最值；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，既考查了基础的销售利润相关的方程计算，又考查了二次函数在实际最值问题中的应用，解题核心是找准等量关系列出对应的代数式和函数表达式，同时注意结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
