2. 请在正方形网格中建立一个平面直角坐标系,并在同一个平面直角坐标系中,画出二次函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象.

解：
① 建立平面直角坐标系：选取网格内合适的格点为坐标原点$O$，以水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，规定每个小正方形的边长为1个单位长度。
② 列表计算对应函数值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2x^2$ | … | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | … |
| $y=-2x^2$ | … | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ | … |
③ 描点：在平面直角坐标系中，分别描出$y=2x^2$对应的点$(-2,8)$、$(-1,2)$、$(0,0)$、$(1,2)$、$(2,8)$，以及$y=-2x^2$对应的点$(-2,-8)$、$(-1,-2)$、$(0,0)$、$(1,-2)$、$(2,-8)$。
④ 连线：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序顺次连接各点，即可得到开口向上的抛物线$y=2x^2$和开口向下的抛物线$y=-2x^2$。

【分析】
要绘制两个二次函数的图象，需遵循函数图象绘制的通用步骤思考：首先要建立适配的平面直角坐标系，选择网格中方便定位的格点作为原点，明确坐标轴方向和单位长度，方便后续描点；其次由于两个函数均为$y=ax^2$的形式，图象关于y轴对称，因此选取$x=-2、-1、0、1、2$这类对称的整数值，分别计算两个函数对应的y值，数据简单易找对应格点；接着把计算得到的坐标点在坐标系中精准定位；最后用平滑曲线按自变量从小到大的顺序顺次连接各点，就能得到两个函数的完整图象，同时注意两个函数开口方向相反的特征。
【解析】
① 建立平面直角坐标系：选取网格内合适的格点为坐标原点$O$，以水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，规定每个小正方形的边长为1个单位长度。
② 列表计算对应函数值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2x^2$ | … | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | … |
| $y=-2x^2$ | … | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ | … |
③ 描点：在平面直角坐标系中，分别描出$y=2x^2$对应的点$(-2,8)$、$(-1,2)$、$(0,0)$、$(1,2)$、$(2,8)$，以及$y=-2x^2$对应的点$(-2,-8)$、$(-1,-2)$、$(0,0)$、$(1,-2)$、$(2,-8)$。
④ 连线：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序顺次连接各点，即可得到开口向上的抛物线$y=2x^2$和开口向下的抛物线$y=-2x^2$。
【答案】
① 建立平面直角坐标系：选取网格内合适的格点为坐标原点$O$，以水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，规定每个小正方形的边长为1个单位长度。
② 列表计算对应函数值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2x^2$ | … | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | … |
| $y=-2x^2$ | … | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ | … |
③ 描点：在平面直角坐标系中，分别描出$y=2x^2$对应的点$(-2,8)$、$(-1,2)$、$(0,0)$、$(1,2)$、$(2,8)$，以及$y=-2x^2$对应的点$(-2,-8)$、$(-1,-2)$、$(0,0)$、$(1,-2)$、$(2,-8)$。
④ 连线：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序顺次连接各点，即可得到开口向上的抛物线$y=2x^2$和开口向下的抛物线$y=-2x^2$。
【知识点】
二次函数图象绘制；平面直角坐标系；$y=ax^2$的图象特征
【点评】
本题是基础作图类题目，核心考查函数图象绘制的“列表、描点、连线”三步法，通过绘制二次项系数互为相反数的两个二次函数图象，可直观感知二者关于x轴对称的特点，是掌握二次函数图象性质的基础练习。
【难度系数】
0.8

3. 已知抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$A(-2,-8)$.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点$B(-1,-4)$是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.

(1) $y=-2x^2$ (2) 否 (3) $(\sqrt{3},-6),(-\sqrt{3},-6)$

【分析】
(1) 已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含一个未知参数$a$，只需将点$A$的坐标代入解析式，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值，进而确定抛物线解析式；
(2) 判断点是否在抛物线上，只需将该点的横坐标代入已求出的抛物线解析式，计算得到对应的纵坐标，与该点给出的纵坐标对比，若相等则点在抛物线上，否则不在；
(3) 已知抛物线上点的纵坐标为$-6$，将$y=-6$代入解析式，得到关于$x$的一元二次方程，求解得到$x$的取值，即可得到对应点的坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,-8)$代入$y=ax^2$中，得：
$-8 = a× (-2)^2$
即$4a = -8$，解得$a=-2$
∴此抛物线的函数解析式为$y=-2x^2$
(2) 将$x=-1$代入$y=-2x^2$中，得：
$y = -2× (-1)^2 = -2$
∵$-2 ≠ -4$
∴点$B(-1,-4)$不在此抛物线上
(3) 令$y=-6$，代入$y=-2x^2$中，得：
$-2x^2 = -6$
化简得$x^2 = 3$，解得$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$
∴纵坐标为$-6$的点的坐标为$(\sqrt{3},-6)$和$(-\sqrt{3},-6)$
【答案】
(1) $y=-2x^2$ (2) 否 (3) $(\sqrt{3},-6),(-\sqrt{3},-6)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数的基本性质及点与函数图象的关系，解题关键是掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式这一核心规律，整体计算量小，属于必得分题型。
【难度系数】
0.8

4. 已知函数$y=(m-3)x^{m^2 -3m -2}$为二次函数.
(1)若其图象开口向上,求函数解析式;
(2)若当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,求函数的解析式,并画出函数的图象.

(1) $y=x^2$ (2) $y=-4x^2$,图象略

【分析】
要解决本题，首先需结合二次函数的定义求出参数m的可能取值：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0。求出m的可能值后，再结合两问的限制条件分别筛选m的取值：(1)开口向上对应二次项系数大于0；(2)x＞0时y随x增大而减小对应开口向下，即二次项系数小于0，最终代入得到对应解析式即可。
【解析】
∵ 函数$y=(m-3)x^{m^2 -3m -2}$是二次函数
∴ 可得条件：
$\begin{cases}m^2 - 3m - 2 = 2&①\\m - 3 ≠ 0&②\end{cases}$
解①式：整理得$m^2 - 3m - 4 = 0$，因式分解得$(m-4)(m+1)=0$，解得$m=4$或$m=-1$
解②式得$m ≠ 3$，因此m的可能取值为$m=4$或$m=-1$
(1) 若图象开口向上，则二次项系数$m-3＞0$，即$m＞3$
结合m的可能取值，仅$m=4$满足条件
将$m=4$代入解析式得：$y=(4-3)x^2 = x^2$
(2) 若当$x＞0$时，y随x的增大而减小，说明二次函数开口向下，即二次项系数$m-3＜0$，即$m＜3$
结合m的可能取值，仅$m=-1$满足条件
将$m=-1$代入解析式得：$y=(-1-3)x^2 = -4x^2$
该函数图象是开口向下、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，图象略。
【答案】
(1) $y=x^2$
(2) $y=-4x^2$，图象略
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数的基础应用类题目，解题的关键是牢记二次函数的定义，不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，再结合开口方向、增减性的性质即可快速求出参数，易错点是部分同学会忽略系数不为0的限制导致多解。
【难度系数】
0.7