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4. 甲、乙两商家制作某种奖牌的费用如下表所示.
(1)当制作100个奖牌时,通过计算说明选择甲、乙哪个商家购买更省钱.
(2)制作多少个奖牌时,两个商家收费相同?
(1)当制作100个奖牌时,通过计算说明选择甲、乙哪个商家购买更省钱.
(2)制作多少个奖牌时,两个商家收费相同?
答案
4. 解 (1)在甲商家购买费用: $100×50×0.6+200+98=3\ 298$(元).
在乙商家购买费用: $100×60×0.8+260×0.8=5\ 008$(元).
$3\ 298＜5\ 008$,
答:在甲商家购买更省钱.
(2)设当制作 $x$ 个奖牌时,根据甲、乙两个商家收费相同,列得方程 $0.6×50x+200+98=0.8×60x+260×0.8$,解得$x=5$.
答:当制作 5 个奖牌时,甲、乙两个商家收费相同.
在乙商家购买费用: $100×60×0.8+260×0.8=5\ 008$(元).
$3\ 298＜5\ 008$,
答:在甲商家购买更省钱.
(2)设当制作 $x$ 个奖牌时,根据甲、乙两个商家收费相同,列得方程 $0.6×50x+200+98=0.8×60x+260×0.8$,解得$x=5$.
答:当制作 5 个奖牌时,甲、乙两个商家收费相同.
解析
【分析】
(1) 要判断制作100个奖牌时哪个商家更省钱，首先需要结合表格明确甲、乙商家的费用构成规则，分别列出两个商家总费用的计算式，将制作数量100代入计算出各自总费用后，比较费用大小即可得出结论。
(2) 要求两个商家收费相同的制作数量，可设制作数量为未知数x，用含x的代数式分别表示甲、乙商家的总费用，再根据“收费相同”即两个费用相等列一元一次方程，解方程即可得到对应x的值。
【解析】
(1) 计算制作100个奖牌时两个商家的总费用：
甲商家总费用=打折后的材料费+总设计费+邮费
$100×50×0.6+200+98=3000+200+98=3298$（元）
乙商家总费用=打折后的材料费+打折后的总设计费
$100×60×0.8+260×0.8=4800+208=5008$（元）
因为$3298＜5008$，所以甲商家费用更低。
(2) 设制作x个奖牌时，两个商家收费相同。
甲商家总费用可表示为：$0.6×50x+200+98=30x+298$
乙商家总费用可表示为：$0.8×60x+0.8×260=48x+208$
根据收费相同列方程：
$30x+298=48x+208$
移项得：$48x-30x=298-208$
合并同类项得：$18x=90$
系数化为1得：$x=5$
【答案】
(1) 选择甲商家购买更省钱；
(2) 制作5个奖牌时，两个商家收费相同。
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题是典型的生活类优惠方案应用题，解题关键是准确读懂不同商家的优惠规则，理清总费用的构成项，正确列出对应费用的代数式，再按要求计算或列方程求解，计算时注意不要遗漏费用项即可。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断制作100个奖牌时哪个商家更省钱，首先需要结合表格明确甲、乙商家的费用构成规则，分别列出两个商家总费用的计算式，将制作数量100代入计算出各自总费用后，比较费用大小即可得出结论。
(2) 要求两个商家收费相同的制作数量，可设制作数量为未知数x，用含x的代数式分别表示甲、乙商家的总费用，再根据“收费相同”即两个费用相等列一元一次方程，解方程即可得到对应x的值。
【解析】
(1) 计算制作100个奖牌时两个商家的总费用：
甲商家总费用=打折后的材料费+总设计费+邮费
$100×50×0.6+200+98=3000+200+98=3298$（元）
乙商家总费用=打折后的材料费+打折后的总设计费
$100×60×0.8+260×0.8=4800+208=5008$（元）
因为$3298＜5008$，所以甲商家费用更低。
(2) 设制作x个奖牌时，两个商家收费相同。
甲商家总费用可表示为：$0.6×50x+200+98=30x+298$
乙商家总费用可表示为：$0.8×60x+0.8×260=48x+208$
根据收费相同列方程：
$30x+298=48x+208$
移项得：$48x-30x=298-208$
合并同类项得：$18x=90$
系数化为1得：$x=5$
【答案】
(1) 选择甲商家购买更省钱；
(2) 制作5个奖牌时，两个商家收费相同。
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题是典型的生活类优惠方案应用题，解题关键是准确读懂不同商家的优惠规则，理清总费用的构成项，正确列出对应费用的代数式，再按要求计算或列方程求解，计算时注意不要遗漏费用项即可。
【难度系数】
0.8
5. 冬季到来,为了能让老百姓吃上新鲜的水果,一水果市场到合作的苹果生产基地收购苹果,去年在苹果生产基地收购20 t苹果,收购价为1.2元/kg,今年收购苹果的数量增加了25%,收购价降低了$\frac{1}{6}$.
(1)今年苹果生产基地将苹果销售给该水果市场,收入比去年提高了多少元?
(2)从产地到该水果市场的距离是400 km,今年有甲、乙两种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均可以满载,且只能选一种车型)
选哪种车型来运输水果,才能保证运费较低?
(1)今年苹果生产基地将苹果销售给该水果市场,收入比去年提高了多少元?
(2)从产地到该水果市场的距离是400 km,今年有甲、乙两种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均可以满载,且只能选一种车型)
选哪种车型来运输水果,才能保证运费较低?
答案
5. 解 (1)$20\ \mathrm{t}=20\ 000\ \mathrm{kg}$,去年的收入为 $20\ 000×1.2=24\ 000$(元),
今年的收入为 $20\ 000×(1+25\%)×1.2×(1-\frac{1}{6})=25\ 000$(元),
则今年收入比去年提高了 $25\ 000-24\ 000=1\ 000$(元).
(2)今年收购的苹果数量为 $20×(1+25\%)=25(\mathrm{t})$,
$25÷8=3\frac{1}{8}$,$25÷10=2\frac{1}{2}$.
若选甲车型,则需要 4 辆,费用为 $4×400×2.5=4\ 000$(元);
若选乙车型,则需要 3 辆,费用为 $3×400×3=3\ 600$(元).
因为 $3\ 600＜4\ 000$,
所以选乙车型运费较低.
今年的收入为 $20\ 000×(1+25\%)×1.2×(1-\frac{1}{6})=25\ 000$(元),
则今年收入比去年提高了 $25\ 000-24\ 000=1\ 000$(元).
(2)今年收购的苹果数量为 $20×(1+25\%)=25(\mathrm{t})$,
$25÷8=3\frac{1}{8}$,$25÷10=2\frac{1}{2}$.
若选甲车型,则需要 4 辆,费用为 $4×400×2.5=4\ 000$(元);
若选乙车型,则需要 3 辆,费用为 $3×400×3=3\ 600$(元).
因为 $3\ 600＜4\ 000$,
所以选乙车型运费较低.
解析
【分析】
(1)要计算今年收入比去年提高的金额，需先分别求出去年和今年的销售收入：首先统一重量单位，销售收入=收购总重量×收购单价，先根据去年的收购量和收购价算出去年收入；再根据今年收购量、收购价相对去年的变化幅度，算出今年的收购量和收购价，进而得到今年的收入，二者作差即可得到提高的金额。
(2)要选择运费更低的车型，需先算出今年苹果的总重量，再分别计算两种车型运输所需的车辆数（车辆数必须为正整数，不满1辆按1辆计算），再结合每辆车每千米的运费和运输距离，分别算出两种车型的总运费，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)先统一单位：$20\ \mathrm{t}=20000\ \mathrm{kg}$
去年的销售收入：$20000×1.2=24000$（元）
今年的收购量：$20000×(1+25\%)=25000$（kg）
今年的收购价：$1.2×(1-\frac{1}{6})=1$（元/kg）
今年的销售收入：$25000×1=25000$（元）
今年收入比去年提高的金额：$25000-24000=1000$（元）
(2)今年收购苹果的总重量：$20×(1+25\%)=25$（t）
若选择甲车型运输：
所需车辆数：$25÷8=3\frac{1}{8}$，车辆数需取正整数，因此需要4辆甲车型
总运费：$4×400×2.5=4000$（元）
若选择乙车型运输：
所需车辆数：$25÷10=2\frac{1}{2}$，车辆数需取正整数，因此需要3辆乙车型
总运费：$3×400×3=3600$（元）
因为$3600＜4000$，所以乙车型运费更低。
【答案】
(1)1000元；(2)选择乙车型运费较低
【知识点】
百分数的实际应用，有理数混合运算，方案优选
【点评】
本题结合生活运输、销售场景命题，既考查了分数、百分数的基础运算能力，也考查了实际问题的分析能力，解题时要注意车辆数需为正整数这个隐含条件，避免直接用分数车辆数计算运费导致出错。
【难度系数】
0.7
(1)要计算今年收入比去年提高的金额，需先分别求出去年和今年的销售收入：首先统一重量单位，销售收入=收购总重量×收购单价，先根据去年的收购量和收购价算出去年收入；再根据今年收购量、收购价相对去年的变化幅度，算出今年的收购量和收购价，进而得到今年的收入，二者作差即可得到提高的金额。
(2)要选择运费更低的车型，需先算出今年苹果的总重量，再分别计算两种车型运输所需的车辆数（车辆数必须为正整数，不满1辆按1辆计算），再结合每辆车每千米的运费和运输距离，分别算出两种车型的总运费，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)先统一单位：$20\ \mathrm{t}=20000\ \mathrm{kg}$
去年的销售收入：$20000×1.2=24000$（元）
今年的收购量：$20000×(1+25\%)=25000$（kg）
今年的收购价：$1.2×(1-\frac{1}{6})=1$（元/kg）
今年的销售收入：$25000×1=25000$（元）
今年收入比去年提高的金额：$25000-24000=1000$（元）
(2)今年收购苹果的总重量：$20×(1+25\%)=25$（t）
若选择甲车型运输：
所需车辆数：$25÷8=3\frac{1}{8}$，车辆数需取正整数，因此需要4辆甲车型
总运费：$4×400×2.5=4000$（元）
若选择乙车型运输：
所需车辆数：$25÷10=2\frac{1}{2}$，车辆数需取正整数，因此需要3辆乙车型
总运费：$3×400×3=3600$（元）
因为$3600＜4000$，所以乙车型运费更低。
【答案】
(1)1000元；(2)选择乙车型运费较低
【知识点】
百分数的实际应用，有理数混合运算，方案优选
【点评】
本题结合生活运输、销售场景命题，既考查了分数、百分数的基础运算能力，也考查了实际问题的分析能力，解题时要注意车辆数需为正整数这个隐含条件，避免直接用分数车辆数计算运费导致出错。
【难度系数】
0.7
