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13.（玉溪期末）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”。为描述集合地点，同学们想出了不同的方法.
（1）甲同学想到用平面直角坐标系，如图
，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为$(-3,2)$，九龙桥的坐标为$(-2,-3)$，请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：
（2）乙同学想到用方位角和距离，如图
，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东$15°$方向8 cm处，记为(南偏东$15°$, 8 cm)，进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为：
（1）甲同学想到用平面直角坐标系，如图
，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为$(-3,2)$，九龙桥的坐标为$(-2,-3)$，请在图中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：(2，3)
；（2）乙同学想到用方位角和距离，如图
，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东$15°$方向8 cm处，记为(南偏东$15°$, 8 cm)，进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为：(北偏东75°，8 cm)
.答案
13. （1）图略，(2，3)
（2）(北偏东75°，8 cm)
（2）(北偏东75°，8 cm)
解析
【分析】
（1）要确定大宋校场的坐标，首先需根据已知两点的坐标建立平面直角坐标系：已知文房博物馆坐标为$(-3,2)$，说明该点在y轴左侧3个单位、x轴上方2个单位，因此从该点向右平移3个单位、向下平移2个单位即可得到坐标原点，进而画出x轴、y轴完成坐标系建立，再根据网格数出大宋校场对应的横、纵坐标即可。
（2）用方位角和距离确定位置时，需以文房博物馆为观测点，先确定大宋校场相对观测点的方位（以正北/正南为基准，偏东/偏西的角度），再测量两点间的距离，按照题目给出的记法书写即可。
【解析】
（1）①确定原点：从文房博物馆$(-3,2)$的位置向右数3个单位、向下数2个单位，得到坐标原点$(0,0)$；②建立坐标系：画出水平向右为正方向的x轴，竖直向上为正方向的y轴；③读取坐标：观察大宋校场的位置，横坐标为2，纵坐标为3，因此坐标为$(2,3)$。
（2）以文房博物馆为基准点，经测量可得大宋校场在文房博物馆的北偏东$75°$方向，两点间距离为8cm，按照题目给定的记法，位置可记为$(北偏东75°, 8 cm)$。
【答案】
（1）$(2，3)$；（2）$(北偏东75°，8 cm)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系内点的坐标
2. 方位角确定位置
【点评】
本题结合研学实际场景，考查平面内确定位置的两种常用方法，解题的关键是掌握坐标系的建立规则和方位角的表示方法，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
（1）要确定大宋校场的坐标，首先需根据已知两点的坐标建立平面直角坐标系：已知文房博物馆坐标为$(-3,2)$，说明该点在y轴左侧3个单位、x轴上方2个单位，因此从该点向右平移3个单位、向下平移2个单位即可得到坐标原点，进而画出x轴、y轴完成坐标系建立，再根据网格数出大宋校场对应的横、纵坐标即可。
（2）用方位角和距离确定位置时，需以文房博物馆为观测点，先确定大宋校场相对观测点的方位（以正北/正南为基准，偏东/偏西的角度），再测量两点间的距离，按照题目给出的记法书写即可。
【解析】
（1）①确定原点：从文房博物馆$(-3,2)$的位置向右数3个单位、向下数2个单位，得到坐标原点$(0,0)$；②建立坐标系：画出水平向右为正方向的x轴，竖直向上为正方向的y轴；③读取坐标：观察大宋校场的位置，横坐标为2，纵坐标为3，因此坐标为$(2,3)$。
（2）以文房博物馆为基准点，经测量可得大宋校场在文房博物馆的北偏东$75°$方向，两点间距离为8cm，按照题目给定的记法，位置可记为$(北偏东75°, 8 cm)$。
【答案】
（1）$(2，3)$；（2）$(北偏东75°，8 cm)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系内点的坐标
2. 方位角确定位置
【点评】
本题结合研学实际场景，考查平面内确定位置的两种常用方法，解题的关键是掌握坐标系的建立规则和方位角的表示方法，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
14. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答.
（1）【观察发现】在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(1，1)，B(5，1)，C(-4，-2)，D(-4，6)，并连结AB、CD，请写出线段AB的中点坐标：
（2）【探究迁移】如果有$M(x_1, y_1)$、$N(x_2, y_2)$两点，那么线段MN的中点坐标是
（3）【拓展应用】已知三点$E(4, -2)$、$F(-3, -1)$、$G(-1, -4)$，点$H(x, y)$与点E、F、G中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点H的坐标.
（1）【观察发现】在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(1，1)，B(5，1)，C(-4，-2)，D(-4，6)，并连结AB、CD，请写出线段AB的中点坐标：
(3，1)
，线段CD的中点坐标：(-4，2)
.（2）【探究迁移】如果有$M(x_1, y_1)$、$N(x_2, y_2)$两点，那么线段MN的中点坐标是
$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$
.（3）【拓展应用】已知三点$E(4, -2)$、$F(-3, -1)$、$G(-1, -4)$，点$H(x, y)$与点E、F、G中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点H的坐标.
答案
14. （1）作图略，(3，1) (-4，2)
（2）$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$
（3）HF与EG的中点重合时，$\dfrac{-3+x}{2}=\dfrac{4-1}{2}$，$\dfrac{-1+y}{2}=\dfrac{-2-4}{2}$，$\therefore x=6$，$y=-5$，此时$H(6,-5)$;HE与FG的中点重合时，$\dfrac{4+x}{2}=\dfrac{-3-1}{2}$，$\dfrac{-2+y}{2}=\dfrac{-1-4}{2}$，$\therefore x=-8$，$y=-3$，此时$H(-8,-3)$;HG与EF的中点重合时，$\dfrac{-1+x}{2}=\dfrac{4-3}{2}$，$\dfrac{-4+y}{2}=\dfrac{-2-1}{2}$，$\therefore x=2$，$y=1$，此时$H(2,1)$.综上所述，点H的坐标为$(-8,-3)$、$(6,-5)$或$(2,1)$
（2）$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$
（3）HF与EG的中点重合时，$\dfrac{-3+x}{2}=\dfrac{4-1}{2}$，$\dfrac{-1+y}{2}=\dfrac{-2-4}{2}$，$\therefore x=6$，$y=-5$，此时$H(6,-5)$;HE与FG的中点重合时，$\dfrac{4+x}{2}=\dfrac{-3-1}{2}$，$\dfrac{-2+y}{2}=\dfrac{-1-4}{2}$，$\therefore x=-8$，$y=-3$，此时$H(-8,-3)$;HG与EF的中点重合时，$\dfrac{-1+x}{2}=\dfrac{4-3}{2}$，$\dfrac{-4+y}{2}=\dfrac{-2-1}{2}$，$\therefore x=2$，$y=1$，此时$H(2,1)$.综上所述，点H的坐标为$(-8,-3)$、$(6,-5)$或$(2,1)$
解析
【分析】
（1）求已知两端点的线段中点坐标时，中点的横坐标为两端点横坐标之和的一半，纵坐标为两端点纵坐标之和的一半，代入A、B和C、D的坐标直接计算即可。
（2）将（1）的特殊规律推广到任意两点$M(x_1, y_1)$、$N(x_2, y_2)$，即可得到通用的线段中点坐标公式。
（3）需分3种情况讨论：①H与F构成线段的中点和E、G构成线段的中点重合；②H与E构成线段的中点和F、G构成线段的中点重合；③H与G构成线段的中点和E、F构成线段的中点重合，每种情况根据中点坐标公式列方程求解$x、y$的值即可。
【解析】
（1）对于线段AB，端点$A(1,1)$、$B(5,1)$，中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，纵坐标为$\frac{1+1}{2}=1$，故AB中点坐标为$(3,1)$；
对于线段CD，端点$C(-4,-2)$、$D(-4,6)$，中点横坐标为$\frac{-4+(-4)}{2}=-4$，纵坐标为$\frac{-2+6}{2}=2$，故CD中点坐标为$(-4,2)$。
（2）结合（1）的规律，任意两点$M(x_1, y_1)$、$N(x_2, y_2)$的中点横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半，即中点坐标为$( \dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} )$。
（3）分三种情况讨论：
① 当HF的中点与EG的中点重合时：
列方程$\frac{-3+x}{2}=\frac{4-1}{2}$，$\frac{-1+y}{2}=\frac{-2-4}{2}$，解得$x=6$，$y=-5$，即$H(6,-5)$；
② 当HE的中点与FG的中点重合时：
列方程$\frac{4+x}{2}=\frac{-3-1}{2}$，$\frac{-2+y}{2}=\frac{-1-4}{2}$，解得$x=-8$，$y=-3$，即$H(-8,-3)$；
③ 当HG的中点与EF的中点重合时：
列方程$\frac{-1+x}{2}=\frac{4-3}{2}$，$\frac{-4+y}{2}=\frac{-2-1}{2}$，解得$x=2$，$y=1$，即$H(2,1)$。
综上，点H的坐标为$(6,-5)$、$(-8,-3)$或$(2,1)$。
【答案】
（1）$(3，1)$，$(-4，2)$
（2）$( \dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} )$
（3）点H的坐标为$(-8,-3)$、$(6,-5)$或$(2,1)$
【知识点】
中点坐标公式，坐标运算，分类讨论
【点评】
本题遵循从特殊到一般的思路推导中点坐标公式，再应用公式解决多情况的坐标求解问题，既考查了归纳推导能力，也考查了分类讨论的思维，解题时注意分类不重复、不遗漏，才能求出所有符合要求的坐标。
【难度系数】
0.7
（1）求已知两端点的线段中点坐标时，中点的横坐标为两端点横坐标之和的一半，纵坐标为两端点纵坐标之和的一半，代入A、B和C、D的坐标直接计算即可。
（2）将（1）的特殊规律推广到任意两点$M(x_1, y_1)$、$N(x_2, y_2)$，即可得到通用的线段中点坐标公式。
（3）需分3种情况讨论：①H与F构成线段的中点和E、G构成线段的中点重合；②H与E构成线段的中点和F、G构成线段的中点重合；③H与G构成线段的中点和E、F构成线段的中点重合，每种情况根据中点坐标公式列方程求解$x、y$的值即可。
【解析】
（1）对于线段AB，端点$A(1,1)$、$B(5,1)$，中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，纵坐标为$\frac{1+1}{2}=1$，故AB中点坐标为$(3,1)$；
对于线段CD，端点$C(-4,-2)$、$D(-4,6)$，中点横坐标为$\frac{-4+(-4)}{2}=-4$，纵坐标为$\frac{-2+6}{2}=2$，故CD中点坐标为$(-4,2)$。
（2）结合（1）的规律，任意两点$M(x_1, y_1)$、$N(x_2, y_2)$的中点横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半，即中点坐标为$( \dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} )$。
（3）分三种情况讨论：
① 当HF的中点与EG的中点重合时：
列方程$\frac{-3+x}{2}=\frac{4-1}{2}$，$\frac{-1+y}{2}=\frac{-2-4}{2}$，解得$x=6$，$y=-5$，即$H(6,-5)$；
② 当HE的中点与FG的中点重合时：
列方程$\frac{4+x}{2}=\frac{-3-1}{2}$，$\frac{-2+y}{2}=\frac{-1-4}{2}$，解得$x=-8$，$y=-3$，即$H(-8,-3)$；
③ 当HG的中点与EF的中点重合时：
列方程$\frac{-1+x}{2}=\frac{4-3}{2}$，$\frac{-4+y}{2}=\frac{-2-1}{2}$，解得$x=2$，$y=1$，即$H(2,1)$。
综上，点H的坐标为$(6,-5)$、$(-8,-3)$或$(2,1)$。
【答案】
（1）$(3，1)$，$(-4，2)$
（2）$( \dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} )$
（3）点H的坐标为$(-8,-3)$、$(6,-5)$或$(2,1)$
【知识点】
中点坐标公式，坐标运算，分类讨论
【点评】
本题遵循从特殊到一般的思路推导中点坐标公式，再应用公式解决多情况的坐标求解问题，既考查了归纳推导能力，也考查了分类讨论的思维，解题时注意分类不重复、不遗漏，才能求出所有符合要求的坐标。
【难度系数】
0.7
