14.（永安期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图②,过点C作CE // DA,交BA的延长线于点E.……
任务:
(1) 请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2) 如图③,在Rt△ABC中,AB=3, BC=4, ∠ABC=90°, AD平分∠BAC,求△ABD的周长.

14. （1）$\because CE // AD,\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{EA}, ∠ 2=∠ ACE, ∠ 1=∠ E. \because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ ACE=∠ E. \therefore AE=AC. \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ （2）如题图③，$\because AB=3, BC=4, ∠ ABC=90°,\therefore AC=5. \because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD},即\frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}.\therefore BD=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{2}.\therefore AD=\sqrt{BD^2+AB^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+9}=\frac{3\sqrt{5}}{2}.\therefore △ ABD$ 的周长$=\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$

【分析】
(1) 补全证明的思路：先利用平行线的性质，一方面得到对应线段成比例，另一方面得到角的等量关系；再结合角平分线的定义推出等角，判定等腰三角形得到线段相等，最后等量代换即可证明结论。
(2) 求解周长的思路：先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出斜边$AC$的长度，再利用角平分线分线段成比例定理求出$BD$的长，接着在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长，最后将三边相加即可得到$△ ABD$的周长。
【解析】
(1) 剩余证明过程：
$\because CE// AD$，
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{EA}$，$∠ 2=∠ ACE$，$∠ 1=∠ E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ ACE=∠ E$，
$\therefore AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 求解过程：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，根据角平分线分线段成比例定理得：$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，
即$\frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$，结合$CD+BD=BC=4$，解得$BD=\frac{3}{8}×4=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore △ ABD$的周长为$AB+BD+AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线分线段成比例定理；勾股定理
【点评】
本题将几何定理推导与实际应用结合，既考查了平行线性质、等腰三角形判定的基础运用，又考查了角平分线分线段成比例定理和勾股定理的综合计算，解题时要理清定理的推导逻辑，学会灵活运用所学定理简化计算。
【难度系数】
0.7