10.如图3-1-82，网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
（1）在左网格图中，先画一个与$△ ABC$相似的$△ DEF$，再将$△ DEF$逆时针旋转$90°$.
（2）在右图中，以点O为位似中心，画$△ A_2B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$位似，相似比为$2:1$.

10. (1) 图略,位置、旋转中心自定.
(2) 图略.

【分析】
（1）要画与△ABC相似的三角形，先计算△ABC的三边长度，得到三边的比例，再按比例放大或缩小边长，在格点中找到对应顶点画出△DEF；旋转作图时，先确定旋转中心，再根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角90°，找到△DEF各顶点逆时针旋转90°后的对应点，顺次连接即可。
（2）位似作图时，以O为位似中心，根据位似的性质，位似图形对应顶点的连线经过位似中心，且对应点到位似中心的距离比等于相似比2:1，连接O与△A₁B₁C₁的各顶点，延长（或反向延长）线段，取长度为原来的2倍得到对应顶点，顺次连接即可得到所求位似图形。
【解析】
（1）①计算△ABC的三边长：$BC=1$，$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边比为$1:\sqrt{10}:\sqrt{13}$；
②选取合适的相似比（如$k=2$），得到△DEF的三边长为$2、2\sqrt{10}、2\sqrt{13}$，在网格中找到符合边长的格点D、E、F，顺次连接得到△DEF；
③自选旋转中心（如点D），分别过旋转中心作DE、DF的垂线，在逆时针方向截取与原边等长的线段，得到E、F旋转后的对应点，顺次连接各对应点，即得到旋转后的三角形。
（2）①连接$OA_1、OB_1、OC_1$；
②分别沿射线$OA_1、OB_1、OC_1$（或反方向）延长，使得$OA_2=2OA_1$，$OB_2=2OB_1$，$OC_2=2OC_1$，得到点$A_2、B_2、C_2$；
③顺次连接$A_2、B_2、C_2$，所得△$A_2B_2C_2$即为所求位似图形。
【答案】
(1) 图略,位置、旋转中心自定.
(2) 图略.
【知识点】
相似三角形作图，旋转作图，位似图形作图
【点评】
本题是网格作图综合题，核心考查图形变换的作图方法，需要熟练掌握相似、旋转、位似的基本性质，作图时要注意满足格点要求，变换后图形的形状、大小符合对应变换的规则。
【难度系数】
0.7

11. 画$△ ABC$的内接正方形$DEFG$，使点$E,F$在$BC$边上，点$D,G$分别在$AB,AC$边上.
（1）图3-1-83、图3-1-84、图3-1-85是甲、乙、丙三人运用位似方法画出的$△ ABC$内接正方形$DEFG$的示意图，请你想一想，甲、乙、丙画图的原理是什么？结合图形指出各个图形的位似中心.


位似中心： 位似中心：


位似中心： 位似中心：
（2）请仿照以上给出的一种方法，在图3-1-86中画出$△ ABC$的内接正方形$DEFG$，使点$E,F$在$AC$边上，点$D,G$分别在$BC,AB$边上，并指出位似中心.

11. (1) 位似中心:甲的为点B，乙的为点A，丙的为点Q.
(2) 三种方法任选一种即可,图略.

【分析】
本题围绕位似图形的知识展开，解题思路清晰：首先回忆位似图形的核心定义：两个相似图形的对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行时，这两个图形是位似图形，该交点就是位似中心。第(1)问只需观察三人所作的示意图，找到每组位似正方形对应顶点连线的公共交点，即可确定对应位似中心。第(2)问模仿三人的作图逻辑，先构造一个和目标内接正方形位似的小正方形，再以对应位似中心进行缩放，就能得到符合要求的△ABC内接正方形。
【解析】
(1) 三人画图的共同原理：都利用位似图形的性质，先构造一个与所求内接正方形位似的正方形，再通过位似变换得到△ABC的内接正方形。
位似中心判断：甲所画的两个位似正方形的对应顶点连线都经过点B，故位似中心为点B；乙所画的两个位似正方形的对应顶点连线都经过点A，故位似中心为点A；丙所画的两个位似正方形的对应顶点连线都经过点Q，故位似中心为点Q。
(2) 示例画法（以位似中心为点C为例）：
① 作正方形D'E'F'G'，使E'、F'在AC边上，D'在BC边上；
② 连接CG'并延长，交AB于点G；
③ 过G作GF⊥AC于F，作GD//AC交BC于D，过D作DE⊥AC于E，四边形DEFG就是所求内接正方形，该画法位似中心为点C。（其余画法合理即可）
【答案】
(1) 点B；点A；点Q
(2) 画图略，位似中心根据所选画法对应即可
【知识点】
位似图形的定义；位似图形的性质；位似作图
【点评】
本题将位似知识和三角形内接正方形的作图需求结合，既考查位似中心的判断方法，也考查位似作图的实际应用，是位似章节的典型应用型题目，能帮助学生理解位似变换的实用价值。
【难度系数】
0.6

12. 如图3-1-87,在平面直角坐标系$xOy$中,网格是由边长为1的小正方形组成的,$△ ABC$的顶点在网格线的交点上.
(1) 画出$△ ABC$绕$O$点逆时针旋转$90°$得到的$△ A_1B_1C_1$,判断$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$是不是位似图形,若是,请指出位似中心.
(2) 画出$△ ABC$绕$O$点旋转$180°$得到的$△ A_2B_2C_2$,判断$△ ABC$与$△ A_2B_2C_2$是不是位似图形,若是,请指出位似中心.
(3) 以点$O$为位似中心,在第四象限将$△ ABC$放大到原来的2倍得到$△ A_3B_3C_3$,请画出图形并求$△ A_3B_3C_3$的面积.

图3-1-87

12. (1) 图略. 不是位似图形.
(2) 图略. 是位似图形,位似中心是点O.
(3) 图略. $△ A_3B_3C_3$ 的面积是 14.

【分析】
解题时先确定△ABC三个顶点的坐标，再根据不同变换的规律求解：
1. 处理旋转相关问题时，先根据旋转角度的坐标变换规则找到对应点坐标，描点连线得到旋转后的图形，再结合位似图形的核心判定条件（不仅相似，且对应顶点连线交于同一点、对应边平行或共线）判断是否为位似图形；
2. 处理位似放大问题时，先根据位似中心、放大倍数和所在象限确定对应点坐标，作图后可利用“位似图形面积比等于相似比的平方”快速计算放大后的图形面积，也可通过割补法直接计算。
【解析】
由网格可得△ABC三个顶点坐标为：$A(0,-1)$，$B(2,0)$，$C(3,-3)$。
(1) 绕点$O$逆时针旋转$90°$的坐标变换规则为$(x,y)\to(-y,x)$，可得$A_1(1,0)$、$B_1(0,2)$、$C_1(3,3)$，描点连线得到$△ A_1B_1C_1$。观察两个图形的对应边为垂直关系，不满足位似图形对应边平行/共线的要求，因此不是位似图形。
(2) 绕点$O$旋转$180°$的坐标变换规则为$(x,y)\to(-x,-y)$，可得$A_2(0,1)$、$B_2(-2,0)$、$C_2(-3,3)$，描点连线得到$△ A_2B_2C_2$。两个图形对应顶点连线均过点$O$，且对应边互相平行，符合位似图形的定义，因此是位似图形，位似中心为点$O$。
(3) 以$O$为位似中心在第四象限放大2倍，对应点坐标为原坐标乘2，可得$A_3(0,-2)$、$B_3(4,0)$、$C_3(6,-6)$，描点连线得到$△ A_3B_3C_3$。
先计算原$△ ABC$的面积，用割补法：
$S_{△ ABC}=3×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×3=9-1-1.5-3=3.5$
位似放大2倍，面积比为相似比的平方，即$2^2=4$，因此$S_{△ A_3B_3C_3}=3.5×4=14$。
【答案】
(1) 图略，不是位似图形；
(2) 图略，是位似图形，位似中心是点$O$；
(3) 图略，$△ A_3B_3C_3$的面积是$\boxed{14}$。
【知识点】
旋转的性质，位似图形的判定，位似的性质
【点评】
本题综合考查了旋转变换、位似变换的作图和性质应用，解题的关键是熟练掌握坐标变换的规律，灵活运用割补法计算网格内图形面积，熟记位似图形面积比等于相似比的平方可大幅简化计算。
【难度系数】
0.7