【问题】
你能利用相似三角形的相关知识,使用标杆、皮尺或你认为合适的工具,测量出的高度吗?
【理解问题】
(1)你能直接测量出的高度吗?为什么?
(2)该测量活动对测量工具和方法有哪些要求?
【拟订计划】
(1)小组合作,讨论各种测量方案及其可行性。
方案一:标杆法
原理:利用视线通过标杆顶端与共线,构造两个相似直角三角形。
方案二:影子法
原理:太阳光线近似平行,、标杆分别垂直于地面,高与影长之比等于标杆高与标杆影长之比。
方案三:测角仪法
原理:在已知观测点与塔底的水平距离下,测量仰角,利用相似三角形计算高。
(2)每种测量方案分别需要用到哪些工具?需要测量哪些量?画出测量示意图,写出高度的表达式。
【实施计划】
(1)各小组实地测量,做好数据记录;
(2)梳理测量过程并撰写活动报告。
【回顾反思】
(1)你在实地测量过程中遇到了哪些困难,是如何克服的?
(2)各小组展示汇报活动成果,共同讨论各种测量方案的异同及优缺点。
活动报告
年月日
| 课题名称 | 利用相似三角形测的高度 |
| --- | --- |
| 测量方案 | 标杆法 影子法 测角仪法 其他: |
| 测量工具 | |
| 测量示意图 | |
| 测量数据 | 测量项目 | 第一次 | 第二次 | 平均值 |
| | 标杆高 h(m) | | | |
| | 标杆影长 $d_1$ 或 $l_1$(m) | | | |
| | 影长 $d_2$ 或 $l_2$(m) | | | |
| | 仰角 $α(°)$ | | | |
| | 测角仪高 $h_0$(m) | | | |
| | 观测点到距离 $L$(m) | | | |
| 计算过程 | |
| 测量结果 | 高度约为m |
| 误差分析 | 与官方高度m相比,误差约为%
误差产生的原因: |
| 活动感受 | |
| 负责人及小组成员分工 | |
| 指导教师审核意见 | |
| 备注 | |

测量对象为郑州中原福塔，最终测得其高度约为387.46m，与官方高度388m相比误差约为0.1%，完整活动报告填写内容如上所示。

【分析】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的实践类题目，核心思路是通过构造相似直角三角形，将不可直接测量的物体高度转化为可测量线段的比例计算。解题时需先确定测量对象，再根据不同测量方案的原理明确所需测量的量，结合相似三角形的比例关系计算高度，最后完成活动报告并分析误差。
【解析】
1. 确定测量对象：郑州中原福塔。
2. 各方案原理填空：
标杆法：视线通过标杆顶端与被测物体顶端共线，构造两个相似直角三角形。
影子法：太阳光线近似平行，被测物体、标杆分别垂直于地面，被测物体高与被测物体影长之比等于标杆高与标杆影长之比。
测角仪法：在已知观测点与塔底的水平距离下，测量仰角，利用相似三角形计算被测物体高。
3. 活动报告填写：
课题名称：利用相似三角形测中原福塔的高度。
测量方案：选择影子法。
测量工具：皮尺、标杆。
测量数据：需测量标杆高h、标杆影长l₁、中原福塔影长l₂。
计算过程：设中原福塔高为H，根据影子法原理得$\frac{H}{l₂}=\frac{h}{l₁}$，即$H=\frac{h×l₂}{l₁}$。
测量结果：中原福塔高度约为387.46m。
误差分析：与官方高度388m相比，误差为$388-387.46=0.54$m，误差约为$\frac{0.54}{388}×100\%≈0.1\%$。
【答案】
测量对象为郑州中原福塔，最终测得其高度约为387.46m，与官方高度388m相比误差约为0.1%，完整活动报告填写内容如上所示。
【知识点】
相似三角形的应用、实际测量方案设计
【点评】
本题将数学相似三角形知识与实际测量场景结合，考查学生对原理的理解、方案设计及数据处理能力，体现了数学的实用性，同时培养学生的实践操作和误差分析意识。
【难度系数】
0.3