15. 已知二次函数$y=x^2-\frac{1}{2}x+c$的图像的顶点在$x$轴上，求$c$的值.

配方得 $y=x^2-\dfrac{1}{2}x+c=(x-\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{1}{16}+c$，
由题意，得$-\dfrac{1}{16}+c=0,c=\dfrac{1}{16}$。

16. 将抛物线$y=ax^2$先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线经过点$(2,-3)$，求平移后抛物线的表达式.

平移后的抛物线为 $y-2=a(x-3)^2$, 又过点$(2,-3)$,得$-3-2=a(2-3)^2$,得$a=-5$. 所以平移后抛物线的表达式为 $y=-5(x-3)^2+2$。

17. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，能与抛物线$y=2x^2-4x+1$重合，求$a、b、c$的值。

根据题意,有 $y+3=a(x+2)^2+b(x+2)+c$,即 $y=ax^2+(4a+b)x+4a+2b+c-3$。
即$\begin{cases}a=2,\\4a+b=-4,\\4a+2b+c-3=1,\end{cases}$
解得 $a=2,b=-12,c=20$。

已知抛物线 $ y=a(x-t-1)^2 + t^2 $（$ a、t $ 是常数，$ a≠0，t≠0 $）的顶点是 $ A $，抛物线 $ y=x^2 -2x +1 $ 的顶点是 $ B $。
(1) 判断点 $ A $ 是否在抛物线 $ y=x^2 -2x +1 $ 上，为什么？
(2) 如果抛物线 $ y=a(x-t-1)^2 + t^2 $ 经过点 $ B $。
① 求 $ a $ 的值；
② 这条抛物线与 $ x $ 轴的两个交点和它的顶点 $ A $ 能否形成直角三角形？若能，求出 $ t $ 的值；若不能，请说明理由。

思维与拓展4 (1) 由题意可知:点$A$的坐标为$(t+1,t^2)$,将点$A$的坐标代入抛物线$y=x^2-2x+1$中,可得$(t+1)^2-2(t+1)+1=t^2+2t+1-2t-2+1=t^2$.因此点$A$在抛物线$y=x^2-2x+1$上.
(2) ① 由题意可知:点$B$坐标为$(1,0)$,则有$0=a(1-t-1)^2+t^2$,即$at^2+t^2=0$,因此$a=-1$.
② 根据①可知:抛物线的解析式为$y=-(x-t-1)^2+t^2$,当$y=0$时,$-(x-t-1)^2+t^2=0$,解得$x=1$或$x=2t+1$.
设抛物线与$x$轴的交点为$M、N$,那么点$M$的坐标为$(1,0)$,点$N$的坐标为$(2t+1,0)$.
因此,$AM^2=t^2+t^4$,$AN^2=t^2+t^4$,$MN^2=4t^2$.
当$△ AMN$是直角三角形时,有$AM^2+AN^2=MN^2$.
即$(t^2+t^4)×2=4t^2$,解得$t=1$或$t=-1$.
所以能构成直角三角形,此时$t$的值为$1$或$-1$.