17. 如果一个三角形的三边a、b、c满足$a^2 - b^2 + ac - bc = 0$，试说明该三角形是等腰三角形。

提示:原式可变形为$(a + b + c)(a - b)=0$,得$a = b$.所以三角形是等腰三角形

【分析】
要证明三角形是等腰三角形，需推导得到三角形有两条边相等，因此我们需要对给出的等式进行因式分解得到边的等量关系。观察等式左边的结构，前两项符合平方差公式的形式，后两项含有公因式c，可先分组分别因式分解，再提取公因式整理，最后结合三角形边长为正数的隐含条件，即可得到两条边的相等关系。
【解析】
对已知等式变形如下：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 + ac - bc &= 0 \\(a^2 - b^2) + (ac - bc) &= 0 \\(a + b)(a - b) + c(a - b) &= 0 \\(a - b)(a + b + c) &= 0\end{aligned}$
因为a、b、c是三角形的三边，三角形的边长均为正数，因此$a + b + c ＞ 0$。
要使两个因式的乘积为0，则只能$a - b = 0$，即$a = b$。
有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此该三角形为等腰三角形。
【答案】
该三角形是等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用、平方差公式、等腰三角形的判定
【点评】
本题将代数因式分解和几何图形判定结合，解题的核心是合理分组对等式左边进行因式分解，同时要注意运用三角形边长均为正数的隐含条件。
【难度系数】
0.7

18. 已知$a=\frac{1}{20}x+20$，$b=\frac{1}{20}x+19$，$c=\frac{1}{20}x+21$，求代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值。

18. 提示:原式可化为$\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$,代数式的值为 3

【分析】
观察所求代数式的结构，含有平方项和两两乘积项，若直接将a、b、c的表达式代入计算，运算量很大且容易出错。联想到完全平方公式的展开形式，可先对代数式进行恒等变形，将其转化为含(a-b)、(b-c)、(c-a)的平方和的形式，再计算a、b、c两两的差值（此时含x的项会抵消，差值为常数），最后代入变形后的式子即可快速求出结果。
【解析】
首先对所求代数式进行变形：
$\begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac&=\frac{1}{2}× 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\\&=\frac{1}{2}[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)]\\&=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\end{aligned}$
接下来计算a、b、c两两的差值：
$a-b=(\frac{1}{20}x+20)-(\frac{1}{20}x+19)=1$
$b-c=(\frac{1}{20}x+19)-(\frac{1}{20}x+21)=-2$
$c-a=(\frac{1}{20}x+21)-(\frac{1}{20}x+20)=1$
将差值代入变形后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×[1^2+(-2)^2+1^2]\\&=\frac{1}{2}×(1+4+1)\\&=\frac{1}{2}×6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握完全平方公式的变形应用，通过对所求代数式进行适当转化，避免了直接代入含x的表达式进行复杂运算，体现了整体代换的数学思想，能有效降低运算量、提升计算准确率。
【难度系数】
0.6