小明的探索
小明在学习了二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方,如 $ 3 + 2 \sqrt { 2 } = ( 1 + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $,善于思考的小明进行了如下探索:
设 $ a + b \sqrt { 2 } = ( m + n \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $(其中 $ a , b , m , n $ 均为正整数),则有 $ a + b \sqrt { 2 } = m ^ { 2 } + 2 m n \sqrt { 2 } + 2 n ^ { 2 } $,那么 $ a = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } , b = 2 m n $.
这样,小明找到了把部分 $ a + b \sqrt { 2 } $ 的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决问题:
(1)当 a , b , m , n 均为正整数时,若$ a + b \sqrt { 3 } = ( m + n \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } ,$用含 m , n 的式子分别表示 a , b ,得 a = , b = .
(2)利用所探索的结论,找一组正整数 a , b , m , n 填空:
+ $\sqrt { 3 }$= ( + $\sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$
(3)若a + 4$\sqrt { 3 } = ( m + n \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$,且 a , b , m , n 均为正整数,求 a 的值.
由$b = 2mn$得$4 = 2mn$，即$mn = 2$。
$\because a$，$m$，$n$均为正整数，$mn = 1×2$或$mn = 2×1$，
$\therefore m = 1$，$n = 2$或$m = 2$，$n = 1$。
当$m = 1$，$n = 2$时，$a = m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=13$；当$m = 2$，$n = 1$时，$a = m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=7$。

解 (1)$m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2)4 2 1 1(答案不唯一)
(3)由$b = 2mn$得$4 = 2mn$，即$mn = 2$。
$\because a$，$m$，$n$均为正整数，$mn = 1×2$或$mn = 2×1$，
$\therefore m = 1$，$n = 2$或$m = 2$，$n = 1$。
当$m = 1$，$n = 2$时，$a = m^{2}+3n^{2}=1^{2}+3×2^{2}=13$；当$m = 2$，$n = 1$时，$a = m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=7$。