登录
例3 某款手机后置摄像头的示意图如图所示. 其中外面的最大的圆的半径为 $ r $，最中间较小的圆的半径为 $ \frac{1}{2}r $，4个半径为 $ \frac{1}{5}r $ 的高清圆形镜头分布在两圆之间.
（1）用含 $ r $ 的代数式表示图中阴影部分的面积；（结果保留 $ π $）
（2）当 $ r=2 \ \mathrm{cm} $ 时，求图中阴影部分的面积.（$ π $ 取3）
解（1）阴影部分的面积为 $ π r^2 - π × ( \frac{1}{2}r )^2 - π × ( \frac{1}{5}r )^2 × 4 $.
（2）当 $ r=2 \ \mathrm{cm} $、$ π $ 取3时，
原式 $ = 3 × 2^2 - 3 × ( \frac{1}{2} × 2 )^2 - 3 × ( \frac{1}{5} × 2 )^2 × 4 = \frac{177}{25} (\mathrm{cm}^2) $.
解题要点
求代数式的值的关键是正确代入数值，遇到负数时，要合理地添加括号.
（1）用含 $ r $ 的代数式表示图中阴影部分的面积；（结果保留 $ π $）
（2）当 $ r=2 \ \mathrm{cm} $ 时，求图中阴影部分的面积.（$ π $ 取3）
解（1）阴影部分的面积为 $ π r^2 - π × ( \frac{1}{2}r )^2 - π × ( \frac{1}{5}r )^2 × 4 $.
（2）当 $ r=2 \ \mathrm{cm} $、$ π $ 取3时，
原式 $ = 3 × 2^2 - 3 × ( \frac{1}{2} × 2 )^2 - 3 × ( \frac{1}{5} × 2 )^2 × 4 = \frac{177}{25} (\mathrm{cm}^2) $.
解题要点
求代数式的值的关键是正确代入数值，遇到负数时，要合理地添加括号.
答案
（1）阴影部分的面积为 $ π r^2 - π × ( \frac{1}{2}r )^2 - π × ( \frac{1}{5}r )^2 × 4 $.
（2）当 $ r=2 \ \mathrm{cm} $、$ π $ 取3时，
原式 $ = 3 × 2^2 - 3 × ( \frac{1}{2} × 2 )^2 - 3 × ( \frac{1}{5} × 2 )^2 × 4 = \frac{177}{25} (\mathrm{cm}^2) $.
（2）当 $ r=2 \ \mathrm{cm} $、$ π $ 取3时，
原式 $ = 3 × 2^2 - 3 × ( \frac{1}{2} × 2 )^2 - 3 × ( \frac{1}{5} × 2 )^2 × 4 = \frac{177}{25} (\mathrm{cm}^2) $.
解析
【分析】
本题求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的割补思路：（1）首先明确阴影部分是从最大圆中去掉中间空白小圆和4个小圆形镜头得到的，因此只需分别计算出大圆、中间小圆、4个小镜头的面积，再用大圆面积依次减去两个空白部分的面积即可得到含r的代数式；（2）第二问属于代数式求值问题，将r=2、π=3直接代入第一问得到的代数式中，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）已知圆的面积公式为$S=π R^2$（$R$为圆的半径）：
最大圆的面积为$π r^2$；
中间空白小圆的半径为$\frac{1}{2}r$，面积为$π × (\frac{1}{2}r)^2$；
每个小圆形镜头的半径为$\frac{1}{5}r$，4个镜头的总面积为$π × (\frac{1}{5}r)^2 × 4$；
因此阴影部分的面积为：
$π r^2 - π × (\frac{1}{2}r)^2 - π × (\frac{1}{5}r)^2 × 4$
（2）将$r=2\ \mathrm{cm}$、$π=3$代入上述代数式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 3 × 2^2 - 3 × ( \frac{1}{2} × 2 )^2 - 3 × ( \frac{1}{5} × 2 )^2 × 4 \\&=12 - 3 - \frac{48}{25} \\&= \frac{177}{25}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
（1）$π r^2 - π × ( \frac{1}{2}r )^2 - π × ( \frac{1}{5}r )^2 × 4$
（2）$\frac{177}{25}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于规则图形衍生的面积计算问题，核心解题方法是割补法，需要准确识别各部分图形的尺寸，代入数值计算时要注意运算优先级，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
本题求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的割补思路：（1）首先明确阴影部分是从最大圆中去掉中间空白小圆和4个小圆形镜头得到的，因此只需分别计算出大圆、中间小圆、4个小镜头的面积，再用大圆面积依次减去两个空白部分的面积即可得到含r的代数式；（2）第二问属于代数式求值问题，将r=2、π=3直接代入第一问得到的代数式中，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）已知圆的面积公式为$S=π R^2$（$R$为圆的半径）：
最大圆的面积为$π r^2$；
中间空白小圆的半径为$\frac{1}{2}r$，面积为$π × (\frac{1}{2}r)^2$；
每个小圆形镜头的半径为$\frac{1}{5}r$，4个镜头的总面积为$π × (\frac{1}{5}r)^2 × 4$；
因此阴影部分的面积为：
$π r^2 - π × (\frac{1}{2}r)^2 - π × (\frac{1}{5}r)^2 × 4$
（2）将$r=2\ \mathrm{cm}$、$π=3$代入上述代数式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 3 × 2^2 - 3 × ( \frac{1}{2} × 2 )^2 - 3 × ( \frac{1}{5} × 2 )^2 × 4 \\&=12 - 3 - \frac{48}{25} \\&= \frac{177}{25}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
（1）$π r^2 - π × ( \frac{1}{2}r )^2 - π × ( \frac{1}{5}r )^2 × 4$
（2）$\frac{177}{25}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于规则图形衍生的面积计算问题，核心解题方法是割补法，需要准确识别各部分图形的尺寸，代入数值计算时要注意运算优先级，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
1. 当$a=5$，$b=\frac{1}{4}$时，$-2a+8b+5$的值为（
A.$-13$
B.$-5$
C.$-3$
D.$9$
C
）A.$-13$
B.$-5$
C.$-3$
D.$9$
答案
1. C
解析
【分析】
这是代数式求值类题目，解题思路分为两步：第一步将已知的a、b的取值准确代入到待求的代数式中；第二步按照有理数的运算规则，先计算乘法运算，再依次计算加减运算，最终匹配对应选项即可。运算过程中要注意符号不要出错，严格遵循运算顺序。
【解析】
解：将$a=5$，$b=\frac{1}{4}$代入$-2a+8b+5$中计算：
$\begin{aligned}原式&=-2×5 + 8×\frac{1}{4} + 5\\&=-10 + 2 + 5\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查代数式代入计算的能力，运算时需严格遵循先乘除后加减的顺序，注意负数运算的符号规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这是代数式求值类题目，解题思路分为两步：第一步将已知的a、b的取值准确代入到待求的代数式中；第二步按照有理数的运算规则，先计算乘法运算，再依次计算加减运算，最终匹配对应选项即可。运算过程中要注意符号不要出错，严格遵循运算顺序。
【解析】
解：将$a=5$，$b=\frac{1}{4}$代入$-2a+8b+5$中计算：
$\begin{aligned}原式&=-2×5 + 8×\frac{1}{4} + 5\\&=-10 + 2 + 5\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查代数式代入计算的能力，运算时需严格遵循先乘除后加减的顺序，注意负数运算的符号规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 若$p=-1$，$q=12$，则代数式$p^3 + q + 1$的值为（
A.1 728
B.12
C.14
D.1 741
B
）A.1 728
B.12
C.14
D.1 741
答案
2. B
解析
【分析】
本题是代数式求值类题目，解题思路为：首先明确代数式中各字母的取值，将数值直接代入代数式，再按照有理数的运算顺序（先算乘方，后算加减）逐步计算即可得到结果。
【解析】
已知$p=-1$，$q=12$，将其代入代数式$p^3 + q + 1$中：
第一步，计算乘方：$p^3=(-1)^3=-1$；
第二步，按照从左到右的顺序计算加减：$p^3 + q + 1 = -1 + 12 + 1 = 12$。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、有理数乘方运算、有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式代入求值的方法，只要掌握有理数的运算规则，计算过程细心即可拿到分数。
【难度系数】
0.9
本题是代数式求值类题目，解题思路为：首先明确代数式中各字母的取值，将数值直接代入代数式，再按照有理数的运算顺序（先算乘方，后算加减）逐步计算即可得到结果。
【解析】
已知$p=-1$，$q=12$，将其代入代数式$p^3 + q + 1$中：
第一步，计算乘方：$p^3=(-1)^3=-1$；
第二步，按照从左到右的顺序计算加减：$p^3 + q + 1 = -1 + 12 + 1 = 12$。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、有理数乘方运算、有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式代入求值的方法，只要掌握有理数的运算规则，计算过程细心即可拿到分数。
【难度系数】
0.9
