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=1. 第五步
已知明明的解法是错误的.
（1）他开始出现错误的步骤是第
（2）请给出正确的解答过程.
已知明明的解法是错误的.
（1）他开始出现错误的步骤是第
四
步；（2）请给出正确的解答过程.
答案
3. 解（1）四
（2）原式$=\dfrac{a-1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}+1÷\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{a-1}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}+1×\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{2a}{a}=2$。
（2）原式$=\dfrac{a-1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}+1÷\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{a-1}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}+1×\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{2a}{a}=2$。
解析
【分析】
（1）判断错误步骤时，需依据分式混合运算的法则，按运算顺序逐步骤校验：先算乘除、后算加减，有括号先算括号内的，除法运算要先转化为乘以除数的倒数，同分母分式加减需将分子相加、分母不变。结合正确运算过程可知，明明在第四步首次出现运算错误。
（2）正确求解时，可先将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律分别计算两项的乘积，随后合并同分母分式，最后约分化简得到最简结果。
【解析】
（1）按照分式混合运算的运算规则逐次核对，可知明明开始出现错误的步骤是第四步。
（2）正确解答过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a-1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}+1÷\dfrac{a}{a+1}\\&=\dfrac{a-1}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}+1×\dfrac{a+1}{a}\\&=\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{a+1}{a}\\&=\dfrac{(a-1)+(a+1)}{a}\\&=\dfrac{2a}{a}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{四}$；
（2）正确解答过程如上，最终结果为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
分式的混合运算、分式的乘除运算、同分母分式加减法
【点评】
本题主要考查分式混合运算的规范求解，解题时要注意运算顺序，除法要先转化为乘法再进行计算，合并分式时要注意分子部分的运算符号，避免因运算规则误用出现错误。
【难度系数】
0.7
（1）判断错误步骤时，需依据分式混合运算的法则，按运算顺序逐步骤校验：先算乘除、后算加减，有括号先算括号内的，除法运算要先转化为乘以除数的倒数，同分母分式加减需将分子相加、分母不变。结合正确运算过程可知，明明在第四步首次出现运算错误。
（2）正确求解时，可先将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律分别计算两项的乘积，随后合并同分母分式，最后约分化简得到最简结果。
【解析】
（1）按照分式混合运算的运算规则逐次核对，可知明明开始出现错误的步骤是第四步。
（2）正确解答过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{a-1}{a+1}÷\dfrac{a}{a+1}+1÷\dfrac{a}{a+1}\\&=\dfrac{a-1}{a+1}×\dfrac{a+1}{a}+1×\dfrac{a+1}{a}\\&=\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{a+1}{a}\\&=\dfrac{(a-1)+(a+1)}{a}\\&=\dfrac{2a}{a}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{四}$；
（2）正确解答过程如上，最终结果为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
分式的混合运算、分式的乘除运算、同分母分式加减法
【点评】
本题主要考查分式混合运算的规范求解，解题时要注意运算顺序，除法要先转化为乘法再进行计算，合并分式时要注意分子部分的运算符号，避免因运算规则误用出现错误。
【难度系数】
0.7
先化简$( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$，再从$-2$，$-1$，$1$中选择合适的$x$值代入求值.
解 $( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$.
因为$x+1 ≠ 0$，$x+2 ≠ 0$且$x^2 + 2x +1 ≠ 0$，
所以$x ≠ -1$且$x ≠ -2$.
所以选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$.
解 $( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$.
因为$x+1 ≠ 0$，$x+2 ≠ 0$且$x^2 + 2x +1 ≠ 0$，
所以$x ≠ -1$且$x ≠ -2$.
所以选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$.
答案
解：
$( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
要使分式有意义，需满足$x+1≠0$，$x+2≠0$，即$x≠-1$且$x≠-2$，
因此只能选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$。
$( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
要使分式有意义，需满足$x+1≠0$，$x+2≠0$，即$x≠-1$且$x≠-2$，
因此只能选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理括号内的运算，括号内是分式与整式的减法，需先通分，将整式转化为分母为$x+1$的分式，再合并分子；第二步处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，同时对能因式分解的多项式因式分解，再约分得到最简结果；第三步确定$x$的取值范围，要保证原式中所有分母都不为0，排除不合适的$x$值后，选允许的$x$代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：
$( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
要使分式有意义，需满足$x+1≠0$，$x+2≠0$，即$x≠-1$且$x≠-2$，
因此只能选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{x+1}{x+2}$，代入$x=1$，原式的值为$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的典型基础题，既考查了分式通分、约分、四则运算的基本规则，也设置了分式取值的隐含限制，提醒学生求值前要先验证所代入的数能否让原式所有分母不为0，避免出现无意义的运算。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理括号内的运算，括号内是分式与整式的减法，需先通分，将整式转化为分母为$x+1$的分式，再合并分子；第二步处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，同时对能因式分解的多项式因式分解，再约分得到最简结果；第三步确定$x$的取值范围，要保证原式中所有分母都不为0，排除不合适的$x$值后，选允许的$x$代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：
$( \frac{x^2}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x+2}{x^2 + 2x + 1}$
$= [ \frac{x^2}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}$
$= \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}$
$= \frac{x+1}{x+2}$
要使分式有意义，需满足$x+1≠0$，$x+2≠0$，即$x≠-1$且$x≠-2$，
因此只能选择$x=1$代入求值，
原式$= \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{x+1}{x+2}$，代入$x=1$，原式的值为$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的典型基础题，既考查了分式通分、约分、四则运算的基本规则，也设置了分式取值的隐含限制，提醒学生求值前要先验证所代入的数能否让原式所有分母不为0，避免出现无意义的运算。
【难度系数】
0.7
4. 先化简$(1+\dfrac{3}{x-1})÷\dfrac{x^2+4x+4}{2x-2}$，再从$-2$，$1$，$0$，$2$中选取一个合适的数作为$x$的值代入求值。
答案
解 原式$=\dfrac{x+2}{x-1}÷\dfrac{x^2+4x+4}{2x-2}$
$=\dfrac{x+2}{x-1}·\dfrac{2x-2}{x^2+4x+4}$
$=\dfrac{x+2}{x-1}·\dfrac{2(x-1)}{(x+2)^2}$
$=\dfrac{2}{x+2}$。
因为$x-1≠0$，$x^2+4x+4≠0$且$2x-2≠0$，
所以$x≠1$且$x≠-2$。
取$x=0$，原式$=\dfrac{2}{0+2}=1$。
$=\dfrac{x+2}{x-1}·\dfrac{2x-2}{x^2+4x+4}$
$=\dfrac{x+2}{x-1}·\dfrac{2(x-1)}{(x+2)^2}$
$=\dfrac{2}{x+2}$。
因为$x-1≠0$，$x^2+4x+4≠0$且$2x-2≠0$，
所以$x≠1$且$x≠-2$。
取$x=0$，原式$=\dfrac{2}{0+2}=1$。
解析
【分析】
本题为分式化简求值题，解题思路如下：首先处理括号内的分式加法，通过通分将1转化为分母为$x-1$的分式，与$\dfrac{3}{x-1}$合并；再将分式除法转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式因式分解，约分得到最简分式；随后根据分式有意义的条件（所有分母、除式不为0）排除不符合要求的$x$值；最后从可选的$x$中选取合适的数代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x-1+3}{x-1}÷\dfrac{x^2+4x+4}{2x-2}\\&=\dfrac{x+2}{x-1}·\dfrac{2(x-1)}{(x+2)^2}\\&=\dfrac{2}{x+2}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足$x-1≠0$，$2x-2≠0$，$x^2+4x+4≠0$，解得$x≠1$且$x≠-2$，因此可选取$x=0$或$x=2$代入。
取$x=0$代入$\dfrac{2}{x+2}$，得原式$=\dfrac{2}{0+2}=1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{2}{x+2}$，选取$x=0$代入时，原式的值为$1$（答案不唯一，选取$x=2$时结果为$\dfrac{1}{2}$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题的核心是先化简再求值，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，误选$x=1$或$x=-2$代入导致错误，计算过程中要注意通分、因式分解和约分的规范性。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值题，解题思路如下：首先处理括号内的分式加法，通过通分将1转化为分母为$x-1$的分式，与$\dfrac{3}{x-1}$合并；再将分式除法转化为乘法运算，同时对分子、分母中的多项式因式分解，约分得到最简分式；随后根据分式有意义的条件（所有分母、除式不为0）排除不符合要求的$x$值；最后从可选的$x$中选取合适的数代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x-1+3}{x-1}÷\dfrac{x^2+4x+4}{2x-2}\\&=\dfrac{x+2}{x-1}·\dfrac{2(x-1)}{(x+2)^2}\\&=\dfrac{2}{x+2}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足$x-1≠0$，$2x-2≠0$，$x^2+4x+4≠0$，解得$x≠1$且$x≠-2$，因此可选取$x=0$或$x=2$代入。
取$x=0$代入$\dfrac{2}{x+2}$，得原式$=\dfrac{2}{0+2}=1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{2}{x+2}$，选取$x=0$代入时，原式的值为$1$（答案不唯一，选取$x=2$时结果为$\dfrac{1}{2}$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题的核心是先化简再求值，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，误选$x=1$或$x=-2$代入导致错误，计算过程中要注意通分、因式分解和约分的规范性。
【难度系数】
0.7
