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6. 在分子、分母都是整式的情况下，若分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式，例如，分式$\frac{4}{x+2}$，$\frac{3x^2}{x^3 -4x}$是真分式。若分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式，例如，分式$\frac{x^2 +1}{x^2 -1}$，$\frac{x^2}{x+1}$是假分式。
一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，$\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$；
$\frac{x^2}{x-1} = \frac{(x-1)^2 +2x -1}{x-1} = (x-1) + \frac{2(x-1)+1}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$。
请按照以上方法解决下列问题。
（1）将假分式$\frac{2x+1}{x-1}$化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式$\frac{x^2 +1}{x+1}$化为一个整式与一个真分式的和，并判断当$x$取什么整数时，该分式的值也为整数。
一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，$\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$；
$\frac{x^2}{x-1} = \frac{(x-1)^2 +2x -1}{x-1} = (x-1) + \frac{2(x-1)+1}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$。
请按照以上方法解决下列问题。
（1）将假分式$\frac{2x+1}{x-1}$化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式$\frac{x^2 +1}{x+1}$化为一个整式与一个真分式的和，并判断当$x$取什么整数时，该分式的值也为整数。
答案
解（1）原式$=\dfrac{2x-2+3}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}$。
（2）原式$=\dfrac{x^2+2x+1-2x-2+2}{x+1}$
$=\dfrac{(x+1)^2-2(x+1)+2}{x+1}$
$=x+1-2+\dfrac{2}{x+1}$
$=x-1+\dfrac{2}{x+1}$。
因为$x$为整数，该分式的值也为整数，
所以$x=-3$或$-2$或0或1。
（2）原式$=\dfrac{x^2+2x+1-2x-2+2}{x+1}$
$=\dfrac{(x+1)^2-2(x+1)+2}{x+1}$
$=x+1-2+\dfrac{2}{x+1}$
$=x-1+\dfrac{2}{x+1}$。
因为$x$为整数，该分式的值也为整数，
所以$x=-3$或$-2$或0或1。
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题前先明确真分式、假分式的定义，核心方法是将假分式的分子凑成分母的整数倍与剩余部分的和，再拆分分式得到整式加真分式的形式。
（1）针对$\frac{2x+1}{x-1}$，观察分母为$x-1$，把分子$2x+1$变形为$2(x-1)+3$，拆分后即可得到结果；
（2）针对$\frac{x^2+1}{x+1}$，分母为$x+1$，先把分子凑成含$(x+1)^2$的形式，再整理成分母的倍数加常数的形式，拆分后得到整式加真分式的形式；要让分式值为整数，只需真分式部分为整数，即分母$x+1$是分子2的整数约数，同时注意分母不能为0，即可求出符合条件的整数$x$。
【解析】
（1）对$\frac{2x+1}{x-1}$变形：
$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2x-2+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$
（2）对$\frac{x^2+1}{x+1}$变形：
$\frac{x^2+1}{x+1}=\frac{x^2+2x+1-2x-2+2}{x+1}=\frac{(x+1)^2-2(x+1)+2}{x+1}$
拆分得：$(x+1)-2+\frac{2}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$
要使分式的值为整数，且$x$为整数，则$\frac{2}{x+1}$必须为整数，即$x+1$是2的整数约数，同时$x+1≠0$。
2的整数约数有$\pm1,\pm2$：
当$x+1=1$时，$x=0$；
当$x+1=-1$时，$x=-2$；
当$x+1=2$时，$x=1$；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
【答案】
（1）$\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$；
（2）$\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$，当$x$为$-3$、$-2$、$0$、$1$时，分式的值为整数。
【知识点】
分式新定义，分式化简，整除性质应用
【点评】
本题考查阅读理解能力和分式的运算能力，解题关键是掌握将假分式拆分的凑项方法，第二问求解整数$x$时要注意分母不为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题前先明确真分式、假分式的定义，核心方法是将假分式的分子凑成分母的整数倍与剩余部分的和，再拆分分式得到整式加真分式的形式。
（1）针对$\frac{2x+1}{x-1}$，观察分母为$x-1$，把分子$2x+1$变形为$2(x-1)+3$，拆分后即可得到结果；
（2）针对$\frac{x^2+1}{x+1}$，分母为$x+1$，先把分子凑成含$(x+1)^2$的形式，再整理成分母的倍数加常数的形式，拆分后得到整式加真分式的形式；要让分式值为整数，只需真分式部分为整数，即分母$x+1$是分子2的整数约数，同时注意分母不能为0，即可求出符合条件的整数$x$。
【解析】
（1）对$\frac{2x+1}{x-1}$变形：
$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2x-2+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$
（2）对$\frac{x^2+1}{x+1}$变形：
$\frac{x^2+1}{x+1}=\frac{x^2+2x+1-2x-2+2}{x+1}=\frac{(x+1)^2-2(x+1)+2}{x+1}$
拆分得：$(x+1)-2+\frac{2}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$
要使分式的值为整数，且$x$为整数，则$\frac{2}{x+1}$必须为整数，即$x+1$是2的整数约数，同时$x+1≠0$。
2的整数约数有$\pm1,\pm2$：
当$x+1=1$时，$x=0$；
当$x+1=-1$时，$x=-2$；
当$x+1=2$时，$x=1$；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
【答案】
（1）$\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$；
（2）$\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$，当$x$为$-3$、$-2$、$0$、$1$时，分式的值为整数。
【知识点】
分式新定义，分式化简，整除性质应用
【点评】
本题考查阅读理解能力和分式的运算能力，解题关键是掌握将假分式拆分的凑项方法，第二问求解整数$x$时要注意分母不为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
