1. 观察下列等式与图形(其中正方形的边长均为1)的关系,找出规律,回答问题。
第1个等式:$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$
第2个等式:$2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3}$
第3个等式:$3×\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4}$
……
(1)写出第4个等式,并在给出的图形上对应涂色。
( )
(2)写出你猜想的第$n$个等式是()。

1.(1)第4个等式为$4×\frac{4}{5}=4-\frac{4}{5}$，对应涂色为。
(2)$n × \frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$
【解析】(1)观察第1个等式$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$,其中1为序号,分数的分子是1,分母是$1+1=2$;第2个等式$2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3}$,2为序号,分子是2,分母是$2+1=3$;依次类推,那么第4个等式序号是4,分子是4,分母是$4+1=5$,即$4×\frac{4}{5}=4-\frac{4}{5}$。(2)由前面的规律可得,第$n$个等式中,序号为$n$,分子是$n$,分母是$n+1$,所以第$n$个等式是$n × \frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$。

2. 观察下面各组题目，并找出规律。
$\{\begin{aligned}\frac{1}{2} - \frac{1}{3} &= \frac{1}{6} \\\frac{1}{2} × \frac{1}{3} &= \frac{1}{6}\end{aligned} \quad\{\begin{aligned}\frac{2}{7} - \frac{2}{9} &= \frac{4}{63} \\\frac{2}{7} × \frac{2}{9} &= \frac{4}{63}\end{aligned} $
$\{\begin{aligned}\frac{3}{5} - \frac{3}{8} &= \frac{9}{40} \\\frac{3}{5} × \frac{3}{8} &= \frac{9}{40}\end{aligned} \quad\{\begin{aligned}\frac{5}{6} - \frac{5}{11} &= \frac{25}{66} \\\frac{5}{6} × \frac{5}{11} &= \frac{25}{66}\end{aligned} $
(1)你能写出类似的算式吗？
$\frac{4}{5} × (\_\_\_\_\_\_) = \frac{4}{5} - (\_\_\_\_\_\_)$
$(\_\_\_\_\_\_) - \frac{3}{7} = (\_\_\_\_\_\_) × \frac{3}{7}$
(2)利用你发现的规律计算。

2.(1)$\frac{4}{9}$、$\frac{4}{9}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{4}$
(2)$\begin{aligned}&\frac{9}{8×11}+\frac{9}{11×14}+\frac{9}{14×17}+\frac{9}{17×20}\\=&\frac{3}{8}×\frac{3}{11}+\frac{3}{11}×\frac{3}{14}+\frac{3}{14}×\frac{3}{17}+\frac{3}{17}×\frac{3}{20}\\=&\frac{3}{8}-\frac{3}{11}+\frac{3}{11}-\frac{3}{14}+\frac{3}{14}-\frac{3}{17}+\frac{3}{17}-\frac{3}{20}\\=&\frac{3}{8}-\frac{3}{20}\\=&\frac{9}{40}\end{aligned}$
【解析】解答本题需明确对于分数$\frac{a}{b}$和$\frac{a}{c}$,当$c-b=a$时,$\frac{a}{b}-\frac{a}{c}=\frac{a}{b}×\frac{a}{c}$,据此解答即可。
方法点拨
观察数据可知分母中的两个数相差3,分子为$3×3$的积,故可将每个算式化成乘法算式,再用(1)中规律简算。

3. 观察下列式子，然后解决问题。
$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}......$
(1)试猜想：$\frac{1}{n(n+1)}=$。
(2)运用(1)中猜想得到的规律计算。
①$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{$$}+...+\frac{1}{2025×2026}$
②$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{$$}+...+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$

3.(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)①$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\\=&1-\frac{1}{2026}\\=&\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
②$\begin{aligned}&\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+…+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}\\=&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\\=&\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\\=&\frac{4}{10}\\=&\frac{2}{5}\end{aligned}$
【解析】根据题意将所给算式按规律进行计算即可,注意最后结果需化简为最简分数。

4. 巧算。
$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+$$+\frac{1}{1+2+3+\dots+100}$

4.$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+[\frac{2}{2×(2+1)}+\frac{2}{3×(3+1)}+…+\frac{2}{100×(100+1)}]\\&=1+2×(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{100×101})\\&=1+2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{100}-\frac{1}{101})\\&=1+2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{101})\\&=\frac{200}{101}\end{aligned}$