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1. 5位同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6,8,10,7,9，这组数据的方差是（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. A
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，需遵循方差的固定计算步骤：第一步先计算这组数据的平均数，第二步将平均数代入方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均值即可得到结果。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{6+8+10+7+9}{5}=\frac{40}{5}=8$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2]$
$=\frac{1}{5}[4+0+4+1+1]$
$=\frac{1}{5}×10=2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；方差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算步骤，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差，需遵循方差的固定计算步骤：第一步先计算这组数据的平均数，第二步将平均数代入方差公式，计算每个数据与平均数差的平方的平均值即可得到结果。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{6+8+10+7+9}{5}=\frac{40}{5}=8$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2]$
$=\frac{1}{5}[4+0+4+1+1]$
$=\frac{1}{5}×10=2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数计算；方差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算步骤，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙、丙、丁四位同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：$s^2_{甲}=2.1$，$s^2_{乙}=3.5$，$s^2_{丙}=9$，$s^2_{丁}=0.7$，则成绩最稳定的是 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪位同学的成绩最稳定，首先明确：当几组数据的平均数相同时，成绩的稳定性由方差决定，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定。因此解题时只需比较四个方差的大小，找出方差最小的对象即可。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，波动越小，成绩越稳定。
已知四位同学成绩的平均数相同，对比四组方差的大小可得：$s^2_{丁}=0.7 ＜ s^2_{甲}=2.1 ＜ s^2_{乙}=3.5 ＜ s^2_{丙}=9$，丁的方差最小，因此丁的成绩最稳定。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础题，考查方差在实际问题中的应用，熟练掌握“方差越小，数据越稳定”的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪位同学的成绩最稳定，首先明确：当几组数据的平均数相同时，成绩的稳定性由方差决定，方差越小说明数据波动越小、成绩越稳定。因此解题时只需比较四个方差的大小，找出方差最小的对象即可。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，波动越小，成绩越稳定。
已知四位同学成绩的平均数相同，对比四组方差的大小可得：$s^2_{丁}=0.7 ＜ s^2_{甲}=2.1 ＜ s^2_{乙}=3.5 ＜ s^2_{丙}=9$，丁的方差最小，因此丁的成绩最稳定。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础题，考查方差在实际问题中的应用，熟练掌握“方差越小，数据越稳定”的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 某博物院中五位讲解员的年龄(单位:岁)分别为19,23,23,25,28,则三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是 （
A.方差
B.众数
C.中位数
D.平均数
A
）A.方差
B.众数
C.中位数
D.平均数
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先明确三年后每位讲解员的年龄都比原来大3岁，即所有原始数据同时加上常数3。接下来我们只需要结合平均数、众数、中位数、方差这四个统计量的定义和性质，逐一判断它们在数据整体加3后的变化情况，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确数据变化规律：三年后5个年龄数据均为原数据加3，得到新数据为22，26，26，28，31。
我们逐一分析选项：
1. 选项D（平均数）：原平均数为$\frac{19+23+23+25+28}{5}=23.6$，新平均数为$\frac{22+26+26+28+31}{5}=26.6=23.6+3$，平均数增大了3，发生改变，排除D；
2. 选项B（众数）：原数据中出现次数最多的数是23，即原众数为23；新数据中出现次数最多的数是26，即新众数为26，众数发生改变，排除B；
3. 选项C（中位数）：原数据排序后第3个数是23，即原中位数为23；新数据排序后第3个数是26，即新中位数为26，中位数发生改变，排除C；
4. 选项A（方差）：方差是衡量数据离散程度的统计量，当一组数据所有数同时加上或减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，因此方差不变。计算验证：原方差为$\frac{1}{5}[(19-23.6)^2+2×(23-23.6)^2+(25-23.6)^2+(28-23.6)^2]=8.64$，新方差为$\frac{1}{5}[(22-26.6)^2+2×(26-26.6)^2+(28-26.6)^2+(31-26.6)^2]=8.64$，二者相等，方差不变。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 方差的性质
2. 统计量的特征
3. 数据平移的影响
【点评】
本题考查常见统计量的性质，解题关键是掌握数据整体加减同一常数时，仅衡量离散程度的方差不变，平均数、中位数、众数都会相应加减这个常数，熟练应用该规律可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三年后每位讲解员的年龄都比原来大3岁，即所有原始数据同时加上常数3。接下来我们只需要结合平均数、众数、中位数、方差这四个统计量的定义和性质，逐一判断它们在数据整体加3后的变化情况，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确数据变化规律：三年后5个年龄数据均为原数据加3，得到新数据为22，26，26，28，31。
我们逐一分析选项：
1. 选项D（平均数）：原平均数为$\frac{19+23+23+25+28}{5}=23.6$，新平均数为$\frac{22+26+26+28+31}{5}=26.6=23.6+3$，平均数增大了3，发生改变，排除D；
2. 选项B（众数）：原数据中出现次数最多的数是23，即原众数为23；新数据中出现次数最多的数是26，即新众数为26，众数发生改变，排除B；
3. 选项C（中位数）：原数据排序后第3个数是23，即原中位数为23；新数据排序后第3个数是26，即新中位数为26，中位数发生改变，排除C；
4. 选项A（方差）：方差是衡量数据离散程度的统计量，当一组数据所有数同时加上或减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，因此方差不变。计算验证：原方差为$\frac{1}{5}[(19-23.6)^2+2×(23-23.6)^2+(25-23.6)^2+(28-23.6)^2]=8.64$，新方差为$\frac{1}{5}[(22-26.6)^2+2×(26-26.6)^2+(28-26.6)^2+(31-26.6)^2]=8.64$，二者相等，方差不变。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 方差的性质
2. 统计量的特征
3. 数据平移的影响
【点评】
本题考查常见统计量的性质，解题关键是掌握数据整体加减同一常数时，仅衡量离散程度的方差不变，平均数、中位数、众数都会相应加减这个常数，熟练应用该规律可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，10.这六个分数的极差是
3
分.答案
4. 3
解析
【分析】
要计算这组分数的极差，首先要明确极差的定义：极差是一组数据中最大值与最小值的差，用于衡量数据的离散程度。解题时只需先从给定的打分中找出最大值和最小值，再用最大值减去最小值即可得到结果。
【解析】
首先整理六个评委的打分：7，8，7，9，8，10。
步骤1：找出这组数据中的最大值为10分，最小值为7分；
步骤2：根据极差计算公式：极差=最大值-最小值，代入数值计算得：$10-7=3$（分）。
【答案】3
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查极差的计算方法，只要掌握极差的定义就能快速得出答案，属于送分类题型。
【难度系数】
0.9
要计算这组分数的极差，首先要明确极差的定义：极差是一组数据中最大值与最小值的差，用于衡量数据的离散程度。解题时只需先从给定的打分中找出最大值和最小值，再用最大值减去最小值即可得到结果。
【解析】
首先整理六个评委的打分：7，8，7，9，8，10。
步骤1：找出这组数据中的最大值为10分，最小值为7分；
步骤2：根据极差计算公式：极差=最大值-最小值，代入数值计算得：$10-7=3$（分）。
【答案】3
【知识点】
极差的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查极差的计算方法，只要掌握极差的定义就能快速得出答案，属于送分类题型。
【难度系数】
0.9
5. 已知一个样本1,4,2,5,x，其平均数是3，则这个样本的方差是
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，平均数的核心是所有数据之和除以数据的总个数，根据已知的平均数可列等式求出x；第二步，将所有样本数据代入方差的计算公式，计算每个数据与平均数差值的平方的平均值，即可得到方差。
【解析】
解：已知样本1,4,2,5,x的平均数是3，数据总个数为5
根据平均数的计算公式可得：数据总和 = 平均数×数据个数 = 3×5 = 15
因此未知数据$x = 15 - (1+4+2+5) = 3$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$\bar{x}$为平均数，n为数据个数），代入数据计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(4-3)^2+(2-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-2)^2+1^2+(-1)^2+2^2+0^2]\\&=\frac{1}{5}×(4+1+1+4+0)\\&=\frac{1}{5}×10\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
平均数计算；方差计算；利用平均数求未知数据
【点评】
本题是统计类基础题，主要考查平均数和方差两个统计量的公式运用，只要熟记对应计算公式，先求出未知样本数据再代入计算即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，平均数的核心是所有数据之和除以数据的总个数，根据已知的平均数可列等式求出x；第二步，将所有样本数据代入方差的计算公式，计算每个数据与平均数差值的平方的平均值，即可得到方差。
【解析】
解：已知样本1,4,2,5,x的平均数是3，数据总个数为5
根据平均数的计算公式可得：数据总和 = 平均数×数据个数 = 3×5 = 15
因此未知数据$x = 15 - (1+4+2+5) = 3$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$\bar{x}$为平均数，n为数据个数），代入数据计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(1-3)^2+(4-3)^2+(2-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-2)^2+1^2+(-1)^2+2^2+0^2]\\&=\frac{1}{5}×(4+1+1+4+0)\\&=\frac{1}{5}×10\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
平均数计算；方差计算；利用平均数求未知数据
【点评】
本题是统计类基础题，主要考查平均数和方差两个统计量的公式运用，只要熟记对应计算公式，先求出未知样本数据再代入计算即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两位同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下表：
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩比较稳定？
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩比较稳定？
答案
6. 解:甲、乙两人射击成绩的平均数分别为 $\overline x_甲 =\frac{1}{5}×(7×2+8×2+10×1)=8(环),\overline x_乙 =\frac{1}{5}×(7×1+8×3+9×1)=8(环)$,甲、乙两人射击成绩的方差分别为 $s_甲^2 =\frac{1}{5}×[2×(7-8)^2+2×(8-8)^2+(10-8)^2]=1.2(环^2)$, $s_乙^2 =\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=0.4(环^2).\because \overline x_甲 =\overline x_乙 ,s_甲^2＞s_乙^2,\therefore$ 乙同学的射击成绩比较稳定.
解析
【分析】
要评价两人射击成绩的稳定性，需比较两人成绩的方差，方差越小成绩越稳定。解题时首先要分别计算甲、乙两人射击成绩的平均数，再根据方差公式分别计算两人成绩的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
首先计算两人射击成绩的平均数：
$\overline x_甲 =\frac{1}{5}×(7×2+8×2+10×1)=8$（环）
$\overline x_乙 =\frac{1}{5}×(7×1+8×3+9×1)=8$（环）
再计算两人射击成绩的方差：
$s_甲^2 =\frac{1}{5}×[2×(7-8)^2+2×(8-8)^2+(10-8)^2]=1.2$（环²）
$s_乙^2 =\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=0.4$（环²）
$\because \overline x_甲 =\overline x_乙 ,s_甲^2＞s_乙^2$
$\therefore$ 乙同学的射击成绩比较稳定。
【答案】
乙同学的射击成绩比较稳定
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题考查利用方差判断数据的稳定性，解题核心是明确“平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定”，熟练掌握平均数和方差的计算公式即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要评价两人射击成绩的稳定性，需比较两人成绩的方差，方差越小成绩越稳定。解题时首先要分别计算甲、乙两人射击成绩的平均数，再根据方差公式分别计算两人成绩的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
首先计算两人射击成绩的平均数：
$\overline x_甲 =\frac{1}{5}×(7×2+8×2+10×1)=8$（环）
$\overline x_乙 =\frac{1}{5}×(7×1+8×3+9×1)=8$（环）
再计算两人射击成绩的方差：
$s_甲^2 =\frac{1}{5}×[2×(7-8)^2+2×(8-8)^2+(10-8)^2]=1.2$（环²）
$s_乙^2 =\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=0.4$（环²）
$\because \overline x_甲 =\overline x_乙 ,s_甲^2＞s_乙^2$
$\therefore$ 乙同学的射击成绩比较稳定。
【答案】
乙同学的射击成绩比较稳定
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题考查利用方差判断数据的稳定性，解题核心是明确“平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定”，熟练掌握平均数和方差的计算公式即可正确解答。
【难度系数】
0.8
7. 在“五四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91,96,95,92,94,95,95，分析这组数据，下列说法错误的是 （
A.中位数是95
B.方差是3
C.众数是95
D.平均数是94
B
）A.中位数是95
B.方差是3
C.众数是95
D.平均数是94
答案
7. B
解析
【分析】
这道题考查统计中常见统计量的判断与计算，解题时首先将数据从小到大排序，先确定中位数、众数，再计算平均数，最后代入方差公式算出方差，逐一核对选项即可找出错误说法。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列：91，92，94，95，95，95，96。
1. 验证中位数：数据共7个，中位数是排序后第4个数据，即95，故A选项说法正确；
2. 验证众数：95共出现3次，是出现次数最多的数，故众数为95，C选项说法正确；
3. 验证平均数：$\bar{x}=\frac{91+92+94+95+95+95+96}{7}=\frac{658}{7}=94$，故D选项说法正确；
4. 验证方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入得：
$s^2=\frac{1}{7}[(91-94)^2+(92-94)^2+(94-94)^2+3×(95-94)^2+(96-94)^2]=\frac{1}{7}×(9+4+0+3+4)=\frac{20}{7}\approx2.86≠3$，故B选项说法错误。
【答案】
B
【知识点】
中位数，众数，方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查各类常见统计量的定义及计算方法，解题时需注意先排序再找中位数，计算方差时要认真核对每个数据的偏差平方，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这道题考查统计中常见统计量的判断与计算，解题时首先将数据从小到大排序，先确定中位数、众数，再计算平均数，最后代入方差公式算出方差，逐一核对选项即可找出错误说法。
【解析】
首先将这组数据从小到大排列：91，92，94，95，95，95，96。
1. 验证中位数：数据共7个，中位数是排序后第4个数据，即95，故A选项说法正确；
2. 验证众数：95共出现3次，是出现次数最多的数，故众数为95，C选项说法正确；
3. 验证平均数：$\bar{x}=\frac{91+92+94+95+95+95+96}{7}=\frac{658}{7}=94$，故D选项说法正确；
4. 验证方差：根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入得：
$s^2=\frac{1}{7}[(91-94)^2+(92-94)^2+(94-94)^2+3×(95-94)^2+(96-94)^2]=\frac{1}{7}×(9+4+0+3+4)=\frac{20}{7}\approx2.86≠3$，故B选项说法错误。
【答案】
B
【知识点】
中位数，众数，方差计算
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查各类常见统计量的定义及计算方法，解题时需注意先排序再找中位数，计算方差时要认真核对每个数据的偏差平方，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
8. 甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩(单位:环)如下表所示：
则三名运动员中成绩最稳定的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
则三名运动员中成绩最稳定的是（
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
答案
8. A
解析
【分析】
要判断三名运动员谁的成绩最稳定，本质是比较三组数据的离散程度，离散程度越小则成绩越稳定。初中阶段通常用方差衡量数据的离散程度：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。因此解题步骤为：第一步分别计算三人成绩的平均数，第二步根据方差公式计算各自的方差，第三步比较方差大小，方差最小的即为成绩最稳定的运动员。
【解析】
首先计算三人5次射击成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{9.7+9.7+9.6+9.7+9.7}{5}=9.68$，
$\overline{x}_乙=\frac{9.9+9.8+10+9.4+9.3}{5}=9.68$，
$\overline{x}_丙=\frac{10+9.8+9.6+9.5+9.5}{5}=9.68$。
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[4×(9.7-9.68)^2+(9.6-9.68)^2]=\frac{1}{5}×0.008=0.0016$，
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(9.9-9.68)^2+(9.8-9.68)^2+(10-9.68)^2+(9.4-9.68)^2+(9.3-9.68)^2]=\frac{1}{5}×0.388=0.0776$，
$s^2_丙=\frac{1}{5}×[(10-9.68)^2+(9.8-9.68)^2+(9.6-9.68)^2+2×(9.5-9.68)^2]=\frac{1}{5}×0.188=0.0376$。
比较方差大小：$s^2_甲＜s^2_丙＜s^2_乙$，因此甲的成绩波动最小，最稳定。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算，方差的意义，数据的离散程度
【点评】
本题考查利用方差判断数据稳定性，解题核心是掌握方差的计算方法，理解“方差越小，数据波动越小、越稳定”的性质，计算时注意细心，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
要判断三名运动员谁的成绩最稳定，本质是比较三组数据的离散程度，离散程度越小则成绩越稳定。初中阶段通常用方差衡量数据的离散程度：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。因此解题步骤为：第一步分别计算三人成绩的平均数，第二步根据方差公式计算各自的方差，第三步比较方差大小，方差最小的即为成绩最稳定的运动员。
【解析】
首先计算三人5次射击成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{9.7+9.7+9.6+9.7+9.7}{5}=9.68$，
$\overline{x}_乙=\frac{9.9+9.8+10+9.4+9.3}{5}=9.68$，
$\overline{x}_丙=\frac{10+9.8+9.6+9.5+9.5}{5}=9.68$。
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[4×(9.7-9.68)^2+(9.6-9.68)^2]=\frac{1}{5}×0.008=0.0016$，
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(9.9-9.68)^2+(9.8-9.68)^2+(10-9.68)^2+(9.4-9.68)^2+(9.3-9.68)^2]=\frac{1}{5}×0.388=0.0776$，
$s^2_丙=\frac{1}{5}×[(10-9.68)^2+(9.8-9.68)^2+(9.6-9.68)^2+2×(9.5-9.68)^2]=\frac{1}{5}×0.188=0.0376$。
比较方差大小：$s^2_甲＜s^2_丙＜s^2_乙$，因此甲的成绩波动最小，最稳定。
【答案】
A
【知识点】
方差的计算，方差的意义，数据的离散程度
【点评】
本题考查利用方差判断数据稳定性，解题核心是掌握方差的计算方法，理解“方差越小，数据波动越小、越稳定”的性质，计算时注意细心，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
