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5. 如图,直线$y=kx+b$经过点$A(3,1)$.当$kx+b ＜ \frac{1}{3}x$时,$x$的取值范围为 （
A.$x ＜ 0$
B.$x ＜ 3$
C.$x ＞ 3$
D.$x ＜ 1$
C
）A.$x ＜ 0$
B.$x ＜ 3$
C.$x ＞ 3$
D.$x ＜ 1$
答案
5.C
解析
【分析】
首先，我们知道函数$y=\frac{1}{3}x$是过原点的正比例函数，将点$A(3,1)$代入$y=\frac{1}{3}x$，可验证点A是两条直线的交点。要求$kx+b＜\frac{1}{3}x$的x的取值范围，实际就是找直线$y=kx+b$位于直线$y=\frac{1}{3}x$下方时对应的x的取值，结合函数图像观察交点两侧的上下位置即可得到结果。
【解析】
1. 验证交点：把$x=3$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$y=\frac{1}{3}×3=1$，说明点$A(3,1)$是直线$y=kx+b$和$y=\frac{1}{3}x$的唯一交点。
2. 结合图像分析：观察图像可得，在交点右侧即$x＞3$时，直线$y=kx+b$的图像在直线$y=\frac{1}{3}x$的下方，此时满足$kx+b＜\frac{1}{3}x$。
因此不等式的解集为$x＞3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数的图像与性质
【点评】
本题是一次函数和不等式结合的基础题，核心是利用数形结合思想，将不等式的求解转化为判断函数图像的上下位置关系，大大降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
首先，我们知道函数$y=\frac{1}{3}x$是过原点的正比例函数，将点$A(3,1)$代入$y=\frac{1}{3}x$，可验证点A是两条直线的交点。要求$kx+b＜\frac{1}{3}x$的x的取值范围，实际就是找直线$y=kx+b$位于直线$y=\frac{1}{3}x$下方时对应的x的取值，结合函数图像观察交点两侧的上下位置即可得到结果。
【解析】
1. 验证交点：把$x=3$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$y=\frac{1}{3}×3=1$，说明点$A(3,1)$是直线$y=kx+b$和$y=\frac{1}{3}x$的唯一交点。
2. 结合图像分析：观察图像可得，在交点右侧即$x＞3$时，直线$y=kx+b$的图像在直线$y=\frac{1}{3}x$的下方，此时满足$kx+b＜\frac{1}{3}x$。
因此不等式的解集为$x＞3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数的图像与性质
【点评】
本题是一次函数和不等式结合的基础题，核心是利用数形结合思想，将不等式的求解转化为判断函数图像的上下位置关系，大大降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
6. 如图，直线$ l_1 $，$ l_2 $的交点坐标可以看作哪一个方程组的解 （
A.$\begin{cases} x - 2y = -2, \\ 2x - y = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y = -x + 1, \\ y = 2x - 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x - y = -2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y = 2x + 1, \\ y = 2x - 2 \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} x - 2y = -2, \\ 2x - y = 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y = -x + 1, \\ y = 2x - 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x - y = -2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y = 2x + 1, \\ y = 2x - 2 \end{cases}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题核心是理解：两个一次函数的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，也就是对应两个解析式组成的二元一次方程组的解。本题有两种常用解题思路：1. 先找到两条直线经过的点，用待定系数法求出两条直线的函数表达式，再整理为二元一次方程的标准形式，和选项比对；2. 分别求解每个选项的二元一次方程组，结合图像的交点坐标匹配正确选项，也可通过直线的斜率、截距特征先排除明显错误选项。
【解析】
方法一：解方程组验证
我们逐一计算各选项的方程组解：
选项A：$\begin{cases} x - 2y = -2 ① \\ 2x - y = 2 ② \end{cases}$
把②×2得：$4x - 2y = 4$ ③
用③-①消去y，得$3x=6$，解得$x=2$
将$x=2$代入①，得$2 - 2y = -2$，解得$y=2$
即方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$，符合两直线交点坐标。
选项B：联立方程得$-x+1=2x-2$，解得$x=1,y=0$，不符合交点坐标，排除。
选项C：解方程组得$\begin{cases} x=-1 \\ y=0 \end{cases}$，不符合交点坐标，排除。
选项D：两个一次函数的一次项系数均为2，两直线平行无交点，排除。
方法二：求直线解析式匹配
假设直线$l_1$过$(0,1)$、$(2,2)$，设解析式为$y=kx+b$，代入得$\begin{cases} b=1 \\ 2k+b=2 \end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2},b=1$，整理为标准方程得$x-2y=-2$；
直线$l_2$过$(0,-2)$、$(2,2)$，设解析式为$y=mx+n$，代入得$\begin{cases} n=-2 \\ 2m+n=2 \end{cases}$，解得$m=2,n=-2$，整理为标准方程得$2x-y=2$；
两个方程组成的方程组就是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；二元一次方程组的解法；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数和二元一次方程组结合的基础常考题，核心考查两者的对应关系，解题时可灵活选择求解方法，熟练掌握消元法解方程组和待定系数法求解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题核心是理解：两个一次函数的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，也就是对应两个解析式组成的二元一次方程组的解。本题有两种常用解题思路：1. 先找到两条直线经过的点，用待定系数法求出两条直线的函数表达式，再整理为二元一次方程的标准形式，和选项比对；2. 分别求解每个选项的二元一次方程组，结合图像的交点坐标匹配正确选项，也可通过直线的斜率、截距特征先排除明显错误选项。
【解析】
方法一：解方程组验证
我们逐一计算各选项的方程组解：
选项A：$\begin{cases} x - 2y = -2 ① \\ 2x - y = 2 ② \end{cases}$
把②×2得：$4x - 2y = 4$ ③
用③-①消去y，得$3x=6$，解得$x=2$
将$x=2$代入①，得$2 - 2y = -2$，解得$y=2$
即方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$，符合两直线交点坐标。
选项B：联立方程得$-x+1=2x-2$，解得$x=1,y=0$，不符合交点坐标，排除。
选项C：解方程组得$\begin{cases} x=-1 \\ y=0 \end{cases}$，不符合交点坐标，排除。
选项D：两个一次函数的一次项系数均为2，两直线平行无交点，排除。
方法二：求直线解析式匹配
假设直线$l_1$过$(0,1)$、$(2,2)$，设解析式为$y=kx+b$，代入得$\begin{cases} b=1 \\ 2k+b=2 \end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2},b=1$，整理为标准方程得$x-2y=-2$；
直线$l_2$过$(0,-2)$、$(2,2)$，设解析式为$y=mx+n$，代入得$\begin{cases} n=-2 \\ 2m+n=2 \end{cases}$，解得$m=2,n=-2$，整理为标准方程得$2x-y=2$；
两个方程组成的方程组就是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；二元一次方程组的解法；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数和二元一次方程组结合的基础常考题，核心考查两者的对应关系，解题时可灵活选择求解方法，熟练掌握消元法解方程组和待定系数法求解析式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
二、填空题
7. 某校积极筹备“阳光体育”活动，决定购买一批篮球和足球共30个. 在某体育用品店，每个篮球80元，每个足球60元，在该校购买期间，足球打八折促销. 设该校要购买$ m(0 ＜ m ＜ 30) $个篮球，购买篮球和足球的总费用为$ w $元.
(1)$ w $与$ m $之间的函数关系式为
(2)若该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，则当学校购买
7. 某校积极筹备“阳光体育”活动，决定购买一批篮球和足球共30个. 在某体育用品店，每个篮球80元，每个足球60元，在该校购买期间，足球打八折促销. 设该校要购买$ m(0 ＜ m ＜ 30) $个篮球，购买篮球和足球的总费用为$ w $元.
(1)$ w $与$ m $之间的函数关系式为
$w=32m+1440$
；(2)若该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，则当学校购买
20
个篮球时总费用最少，$ w $的最小值为2080
.答案
7.(1)$w=32m+1440$ (2)20 2080
解析
【分析】
(1) 要求总费用$w$与篮球个数$m$的函数关系式，需先分别表示出篮球总费用和打折后足球的总费用，两者相加即为总费用，化简整理即可得到函数关系式。
(2) 首先根据“购买篮球的个数不得少于足球的2倍”列不等式，求出自变量$m$的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，即可找到使总费用最小的$m$值，代入解析式求出最小费用即可。
【解析】
(1) 已知购买篮球$m$个，则购买足球的个数为$(30-m)$个。
足球打八折后的单价为：$60×0.8=48$（元）
总费用$w=$篮球总费用$+$足球总费用，即：
$w=80m+48(30-m)$
化简得：$w=80m+1440-48m=32m+1440$（$0＜m＜30$，且$m$为正整数）
(2) 根据题意，篮球个数不少于足球的2倍，可得不等式：
$m≥2(30-m)$
解不等式：
$m≥60-2m$
$3m≥60$
$m≥20$
结合已知条件$0＜m＜30$，可得$m$的取值范围为$20≤ m＜30$，且$m$为正整数。
在一次函数$w=32m+1440$中，$k=32＞0$，因此$w$随$m$的增大而增大，所以当$m$取最小值20时，总费用$w$最小。
将$m=20$代入解析式得：$w=32×20+1440=640+1440=2080$。
【答案】
(1)$w=32m+1440$ (2)20 2080
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际消费场景考查一次函数和一元一次不等式的综合应用，解题关键是理清题中数量关系，正确列出函数解析式与不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要求总费用$w$与篮球个数$m$的函数关系式，需先分别表示出篮球总费用和打折后足球的总费用，两者相加即为总费用，化简整理即可得到函数关系式。
(2) 首先根据“购买篮球的个数不得少于足球的2倍”列不等式，求出自变量$m$的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，即可找到使总费用最小的$m$值，代入解析式求出最小费用即可。
【解析】
(1) 已知购买篮球$m$个，则购买足球的个数为$(30-m)$个。
足球打八折后的单价为：$60×0.8=48$（元）
总费用$w=$篮球总费用$+$足球总费用，即：
$w=80m+48(30-m)$
化简得：$w=80m+1440-48m=32m+1440$（$0＜m＜30$，且$m$为正整数）
(2) 根据题意，篮球个数不少于足球的2倍，可得不等式：
$m≥2(30-m)$
解不等式：
$m≥60-2m$
$3m≥60$
$m≥20$
结合已知条件$0＜m＜30$，可得$m$的取值范围为$20≤ m＜30$，且$m$为正整数。
在一次函数$w=32m+1440$中，$k=32＞0$，因此$w$随$m$的增大而增大，所以当$m$取最小值20时，总费用$w$最小。
将$m=20$代入解析式得：$w=32×20+1440=640+1440=2080$。
【答案】
(1)$w=32m+1440$ (2)20 2080
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际消费场景考查一次函数和一元一次不等式的综合应用，解题关键是理清题中数量关系，正确列出函数解析式与不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
8. DeepSeek 训练AI模型时，记录GPU的温度$y(°C)$与运行时间$x(h)$之间的关系如图所示，当运行到第10 h时，GPU的温度是
$45℃$
。答案
8.$45℃$
解析
【分析】
观察图像可知，当运行时间$0≤ x≤20$时，GPU温度$y$与运行时间$x$满足一次函数关系。我们可以先利用待定系数法，结合图像给出的两个点的坐标$(0,25)$和$(20,65)$求出该段的函数解析式，再将$x=10$代入解析式，即可求出第10h时GPU的温度。
【解析】
设当$0≤ x≤20$时，$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
将点$(0,25)$代入解析式，得：$b=25$；
将点$(20,65)$和$b=25$代入解析式，得：$20k+25=65$，
解得$k=2$。
因此该段函数解析式为$y=2x+25(0≤ x≤20)$。
当$x=10$时，代入解析式得：$y=2×10+25=45$，即此时GPU温度为$45℃$。
【答案】
$45℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的应用，解题的核心是从函数图像中提取已知点的坐标，求出对应区间的函数解析式后代入求值，属于基础题型，熟练掌握一次函数的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
观察图像可知，当运行时间$0≤ x≤20$时，GPU温度$y$与运行时间$x$满足一次函数关系。我们可以先利用待定系数法，结合图像给出的两个点的坐标$(0,25)$和$(20,65)$求出该段的函数解析式，再将$x=10$代入解析式，即可求出第10h时GPU的温度。
【解析】
设当$0≤ x≤20$时，$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
将点$(0,25)$代入解析式，得：$b=25$；
将点$(20,65)$和$b=25$代入解析式，得：$20k+25=65$，
解得$k=2$。
因此该段函数解析式为$y=2x+25(0≤ x≤20)$。
当$x=10$时，代入解析式得：$y=2×10+25=45$，即此时GPU温度为$45℃$。
【答案】
$45℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的应用，解题的核心是从函数图像中提取已知点的坐标，求出对应区间的函数解析式后代入求值，属于基础题型，熟练掌握一次函数的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
