三、耐心做一做。
⑧用代入消元法解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 3x + y = 7, \\ 2x - y = 3; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{1}{3}x + 1 = y, \\ 2(x + 1) - y = 6. \end{cases}$

8.(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=1; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$

【分析】
用代入消元法解二元一次方程组的核心思路是消元，把二元转化为已经学过的一元一次方程求解，具体思考步骤：1. 观察方程组中未知数的系数，选取系数为1或-1的未知数，将其用含另一个未知数的代数式表示；2. 把得到的代数式代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；3. 解一元一次方程得到一个未知数的值，再回代到之前的代数式求出另一个未知数的值，最后可验证解是否正确。
针对(1)：观察到两个方程中y的系数分别为1和-1，容易变形，可从第一个方程中将y用含x的式子表示，再代入第二个方程求解；
针对(2)：第一个方程已经直接给出y用x表示的形式，直接代入第二个方程即可消去y，求解x后再求y。
【解析】
(1) 先给方程组标序号：
$\begin{cases} 3x + y = 7 \quad \mathrm{①} \\ 2x - y = 3 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①移项得：$y = 7 - 3x \quad \mathrm{③}$
把③代入②，得：
$2x - (7 - 3x) = 3$
去括号：$2x - 7 + 3x = 3$
合并同类项：$5x - 7 = 3$
移项、系数化为1：$5x = 10$，解得$x = 2$
把$x=2$代入③，得：$y = 7 - 3×2 = 1$
(2) 给方程组标序号：
$\begin{cases} \dfrac{1}{3}x + 1 = y \quad \mathrm{①} \\ 2(x + 1) - y = 6 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
把①直接代入②，得：
$2(x + 1) - (\dfrac{1}{3}x + 1) = 6$
去括号：$2x + 2 - \dfrac{1}{3}x - 1 = 6$
合并同类项：$\dfrac{5}{3}x + 1 = 6$
移项：$\dfrac{5}{3}x = 5$
系数化为1，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得：$y = \dfrac{1}{3}×3 + 1 = 2$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=1; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，解一元一次方程，二元一次方程组求解
【点评】
本题是代入消元法解二元一次方程组的基础题型，重点考查代入消元的基本步骤，解题时要注意去括号时的符号问题，求出解后可代入原方程组检验是否成立，提升正确率。
【难度系数】
0.85

⑨用加减消元法解下列方程组：
(1)$\begin{cases} x - y = 4, \\ 3x + y = 16; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x - 2y = -2, \\ 2x + 3y = -10. \end{cases}$

9.(1)$\begin{cases} x=5, \\ y=1; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-2, \\ y=-2. \end{cases}$

【分析】
加减消元法的核心是通过等式变形，使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数，再将两式相加/减消去该未知数，转化为一元一次方程求解，最后代入原方程求另一个未知数。
(1) 观察第一个方程组，两个方程中y的系数分别为-1和1，互为相反数，直接将两式相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意一个原方程就能求出y。
(2) 观察第二个方程组，x、y的系数都没有相等或互为相反数的关系，选择消去y时，y的系数为-2和3，最小公倍数是6，将第一个方程乘3、第二个方程乘2，可使y的系数变为-6和6，相加即可消去y，求出x后代入原方程就能求出y，也可选择消去x，思路一致。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} x - y = 4 \quad ① \\ 3x + y = 16 \quad ② \end{cases}$
将①+②，得：$x - y + 3x + y = 4 + 16$
化简得：$4x = 20$，解得$x = 5$
把$x = 5$代入①，得：$5 - y = 4$，解得$y = 1$
(2) 给方程组标号：$\begin{cases} 3x - 2y = -2 \quad ① \\ 2x + 3y = -10 \quad ② \end{cases}$
①×3，得：$9x - 6y = -6 \quad ③$
②×2，得：$4x + 6y = -20 \quad ④$
将③+④，得：$9x -6y +4x +6y = -6 + (-20)$
化简得：$13x = -26$，解得$x = -2$
把$x = -2$代入①，得：$3×(-2) -2y = -2$，即$-6 -2y = -2$，解得$y = -2$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=5, \\ y=1; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-2, \\ y=-2. \end{cases}$
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解；一元一次方程求解
【点评】
本题考查加减消元法解二元一次方程组的应用，解题时需先观察未知数系数特征，选择合适的消元对象，系数有互为相反数或相等关系时可直接消元，无特殊关系时先变形系数再消元，熟练掌握消元思路即可快速解题。
【难度系数】
0.8

⑩用消元法解方程组$\begin{cases} x - 3y = 5, ① \\ 4x - 3y = 2 ② \end{cases}$时，两位同学的解法如下：
解法一 由①－②得$3x=3$；
解法二 由②得$3x + (x - 3y)=2$,③
把①代入③得$3x +5=2$.
(1)上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在解法后的横线上画“×”，并改正。
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答。

10. (1)解法一中的解题过程有错误，应改为由①－②得－3x=3；
(2)由①－②得－3x=3，解得$x=-1$，
把$x=-1$代入①得$-1-3y=5$，解得$y=-2$。
故原方程组的解是$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2. \end{cases}$

【分析】
(1) 判断解法正误时，先看解法一：进行①-②的运算需要把两个方程左右两边分别相减，去括号时要注意变号，(x-3y)-(4x-3y)计算后应为-3x，因此解法一原计算错误；再看解法二：将方程②拆出和方程①左边完全相同的式子，用整体代入的思路变形，整个过程没有错误。
(2) 解方程组可选择加减消元法，通过①-②先消去y，求出x的值后，再将x代入任意一个方程求出y的值，就能得到方程组的解。
【解析】
(1) 解法一：计算①-②时，左边为$(x-3y)-(4x-3y)=x-3y-4x+3y=-3x$，右边为$5-2=3$，原计算结果错误，故横线上画×，改正为：由①－②得$-3x=3$；
解法二：由②变形得到$3x+(x-3y)=2$，以及将①代入③得到$3x+5=2$的步骤均符合运算法则，因此两个横线上均画√。
(2) 选择加减消元法解答：
由①-②，得$-3x=3$，
解得$x=-1$，
把$x=-1$代入①，得$-1-3y=5$，
移项合并同类项得$-3y=6$，
解得$y=-2$。
【答案】
(1) 解法一：×，改正：由①－②得$-3x=3$；解法二两步均正确（√）；
(2) 原方程组的解是$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题围绕二元一次方程组的消元解法设题，既考查了等式变形时符号处理的注意事项，也渗透了整体代入简化运算的技巧，是消元法解方程组的基础训练题，计算时严格遵循运算法则可有效减少错误。
【难度系数】
0.8