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①下列方程中是二元一次方程的是 （
A.$\frac{1}{2}y + 2 = y$
B.$\frac{1}{2} - x + 3y = 0$
C.$x^2 - y = 2$
D.$\frac{1}{2y} + x = 0$
B
）A.$\frac{1}{2}y + 2 = y$
B.$\frac{1}{2} - x + 3y = 0$
C.$x^2 - y = 2$
D.$\frac{1}{2y} + x = 0$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的三个判断标准：一是方程一共含有2个不同的未知数；二是含有未知数的项的最高次数为1；三是方程是整式方程（分母中不含未知数）。解题时只需将每个选项逐一对照这三个标准，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。我们对各选项逐一分析：
选项A：方程中仅含有y1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程要求，排除；
选项B：方程含有x、y两个未知数，含x、y的项的次数均为1，且属于整式方程，完全符合二元一次方程的定义，当选；
选项C：方程中x的次数为2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，排除；
选项D：方程的分母中含有未知数y，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的定义 2.整式方程的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢牢抓住二元一次方程的三个判断要点，判断时注意不要忽略“整式方程”这一隐含条件，避免掉入分母含未知数、未知数次数高于1的命题陷阱。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的三个判断标准：一是方程一共含有2个不同的未知数；二是含有未知数的项的最高次数为1；三是方程是整式方程（分母中不含未知数）。解题时只需将每个选项逐一对照这三个标准，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。我们对各选项逐一分析：
选项A：方程中仅含有y1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程要求，排除；
选项B：方程含有x、y两个未知数，含x、y的项的次数均为1，且属于整式方程，完全符合二元一次方程的定义，当选；
选项C：方程中x的次数为2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，排除；
选项D：方程的分母中含有未知数y，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的定义 2.整式方程的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢牢抓住二元一次方程的三个判断要点，判断时注意不要忽略“整式方程”这一隐含条件，避免掉入分母含未知数、未知数次数高于1的命题陷阱。
【难度系数】
0.8
②已知$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$mx-(2m-1)y=-7$的解，则$m$的值为（ ）
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查二元一次方程解的应用，解题思路是：首先明确二元一次方程的解的含义，即能使方程左右两边相等的未知数的值；因此我们可以把已知的x、y的值代入原方程，将原方程转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可得到m的值。
【解析】
因为$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$是二元一次方程$mx-(2m-1)y=-7$的解，所以将$x=1$，$y=-2$代入方程得：
$m×1 - (2m-1)×(-2) = -7$
去括号计算得：
$m + 2(2m - 1) = -7$
$m + 4m - 2 = -7$
合并同类项得：
$5m - 2 = -7$
移项得：
$5m = -7 + 2$
$5m = -5$
系数化为1得：
$m = -1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握方程解的应用方法，代入未知数的值转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算时要注意符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
本题考查二元一次方程解的应用，解题思路是：首先明确二元一次方程的解的含义，即能使方程左右两边相等的未知数的值；因此我们可以把已知的x、y的值代入原方程，将原方程转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可得到m的值。
【解析】
因为$\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}$是二元一次方程$mx-(2m-1)y=-7$的解，所以将$x=1$，$y=-2$代入方程得：
$m×1 - (2m-1)×(-2) = -7$
去括号计算得：
$m + 2(2m - 1) = -7$
$m + 4m - 2 = -7$
合并同类项得：
$5m - 2 = -7$
移项得：
$5m = -7 + 2$
$5m = -5$
系数化为1得：
$m = -1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握方程解的应用方法，代入未知数的值转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算时要注意符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.8
③已知$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$是二元一次方程$ax+3y=0$的解，则点$(a,a-3)$所在的象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先利用二元一次方程解的定义，方程的解代入方程后等式一定成立，所以先把已知的x、y的值代入方程求出a的取值；再把a代入点的坐标表达式，得到点的横、纵坐标具体值；最后根据四个象限的坐标符号特点，判断点所在的象限即可。
【解析】
1. 求参数a的值：
把$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入方程$ax+3y=0$，可得：
$3a + 3×(-2) = 0$
化简计算：$3a - 6 = 0$，解得$a=2$
2. 确定点的坐标：
将$a=2$代入$(a,a-3)$，可得横坐标为$2$，纵坐标为$2-3=-1$，即点的坐标为$(2,-1)$
3. 判断象限：
第四象限内的点满足横坐标为正、纵坐标为负，$(2,-1)$符合该特征，因此该点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解；象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考察基础概念的直接应用，解题的关键是正确理解方程的解的含义，熟记各象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：首先利用二元一次方程解的定义，方程的解代入方程后等式一定成立，所以先把已知的x、y的值代入方程求出a的取值；再把a代入点的坐标表达式，得到点的横、纵坐标具体值；最后根据四个象限的坐标符号特点，判断点所在的象限即可。
【解析】
1. 求参数a的值：
把$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入方程$ax+3y=0$，可得：
$3a + 3×(-2) = 0$
化简计算：$3a - 6 = 0$，解得$a=2$
2. 确定点的坐标：
将$a=2$代入$(a,a-3)$，可得横坐标为$2$，纵坐标为$2-3=-1$，即点的坐标为$(2,-1)$
3. 判断象限：
第四象限内的点满足横坐标为正、纵坐标为负，$(2,-1)$符合该特征，因此该点在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的解；象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考察基础概念的直接应用，解题的关键是正确理解方程的解的含义，熟记各象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8
④[2025·四川凉山中考]若$(3x+2y-19)^2 + |2x + y - 11| = 0$，则$x + y$的平方根是（
A.$8$
B.$\pm 8$
C.$\pm 2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
C
）A.$8$
B.$\pm 8$
C.$\pm 2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
4.C
解析
【分析】
首先，我们知道平方数和绝对值都具有非负性，也就是它们的值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自都等于0才能成立，这是解题的突破口。接下来我们可以根据这个性质列出关于x、y的二元一次方程组，用代入消元法解出x和y的值，再计算x+y的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，对照选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵$(3x+2y-19)^2≥0$，$|2x + y - 11|≥0$，且两者之和为0
∴可得方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 19 \quad \mathrm{①}\\2x + y = 11 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由②式变形得：$y = 11 - 2x$ ③
把③代入①式：
$3x + 2(11 - 2x) = 19$
$3x + 22 - 4x = 19$
$-x = -3$
解得$x=3$
把$x=3$代入③式，得$y=11 - 2×3=5$
∴$x+y=3+5=8$
根据平方根的定义，8的平方根为$\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握非负数的性质列出方程组，求解时要细心，另外注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先，我们知道平方数和绝对值都具有非负性，也就是它们的值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自都等于0才能成立，这是解题的突破口。接下来我们可以根据这个性质列出关于x、y的二元一次方程组，用代入消元法解出x和y的值，再计算x+y的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，对照选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵$(3x+2y-19)^2≥0$，$|2x + y - 11|≥0$，且两者之和为0
∴可得方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 19 \quad \mathrm{①}\\2x + y = 11 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由②式变形得：$y = 11 - 2x$ ③
把③代入①式：
$3x + 2(11 - 2x) = 19$
$3x + 22 - 4x = 19$
$-x = -3$
解得$x=3$
把$x=3$代入③式，得$y=11 - 2×3=5$
∴$x+y=3+5=8$
根据平方根的定义，8的平方根为$\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是掌握非负数的性质列出方程组，求解时要细心，另外注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
⑤[2025·四川泸州中考]《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题。例如方程$x+2y=3$恰有一个正整数解$x=1,y=1$。类似地，方程$2x+3y=21$的正整数解的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.C
解析
【分析】
要找方程$2x+3y=21$的正整数解，首先明确正整数解要求$x$、$y$都是大于0的整数。我们可以先把方程变形，用含$y$的式子表示$x$，再根据$x$是正整数的要求，先确定$y$的取值范围，再筛选出能让$x$也为正整数的$y$值，最后统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
解：已知方程$2x+3y=21$，变形用$y$表示$x$：
$2x=21-3y$
$x=\frac{21-3y}{2}$
因为$x$、$y$都是正整数，所以满足：
1. $y≥1$，且$x=\frac{21-3y}{2}＞0$，解不等式$\frac{21-3y}{2}＞0$得：$21-3y＞0$，即$y＜7$，因此$y$可取的正整数为1、2、3、4、5、6；
2. $21-3y$必须是2的倍数（即偶数），21是奇数，奇数减奇数为偶数，因此$3y$必须是奇数，又因为3是奇数，所以$y$必须是奇数。
综上，$y$可取的值为1、3、5，分别代入计算：
当$y=1$时，$x=\frac{21-3×1}{2}=9$，符合条件；
当$y=3$时，$x=\frac{21-3×3}{2}=6$，符合条件；
当$y=5$时，$x=\frac{21-3×5}{2}=3$，符合条件；
因此共有3组正整数解。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 正整数的概念
3. 简单不等式应用
【点评】
本题结合中国古代数学著作的背景，考查不定方程正整数解的求解方法，解题的核心是先确定未知数的取值范围，再结合整数的奇偶性等性质筛选符合条件的解，解题时注意枚举要完整，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要找方程$2x+3y=21$的正整数解，首先明确正整数解要求$x$、$y$都是大于0的整数。我们可以先把方程变形，用含$y$的式子表示$x$，再根据$x$是正整数的要求，先确定$y$的取值范围，再筛选出能让$x$也为正整数的$y$值，最后统计符合条件的解的个数即可。
【解析】
解：已知方程$2x+3y=21$，变形用$y$表示$x$：
$2x=21-3y$
$x=\frac{21-3y}{2}$
因为$x$、$y$都是正整数，所以满足：
1. $y≥1$，且$x=\frac{21-3y}{2}＞0$，解不等式$\frac{21-3y}{2}＞0$得：$21-3y＞0$，即$y＜7$，因此$y$可取的正整数为1、2、3、4、5、6；
2. $21-3y$必须是2的倍数（即偶数），21是奇数，奇数减奇数为偶数，因此$3y$必须是奇数，又因为3是奇数，所以$y$必须是奇数。
综上，$y$可取的值为1、3、5，分别代入计算：
当$y=1$时，$x=\frac{21-3×1}{2}=9$，符合条件；
当$y=3$时，$x=\frac{21-3×3}{2}=6$，符合条件；
当$y=5$时，$x=\frac{21-3×5}{2}=3$，符合条件；
因此共有3组正整数解。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 正整数的概念
3. 简单不等式应用
【点评】
本题结合中国古代数学著作的背景，考查不定方程正整数解的求解方法，解题的核心是先确定未知数的取值范围，再结合整数的奇偶性等性质筛选符合条件的解，解题时注意枚举要完整，避免漏解。
【难度系数】
0.7
⑥若$(m-1)x+2y^{|m|}+8=0$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m=$
-1
。答案
6.-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心判定要求：一是方程要含有2个不同的未知数，意味着两个未知数的系数都不能为0；二是每个未知数的次数都为1。解题时先根据“一次”的要求，由y的次数列等式求出m的可能值，再根据“二元”的要求，由x的系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义，可得到两个限制条件：
1. 未知数的次数为1，即$|m|=1$，解绝对值方程得$m=1$或$m=-1$；
2. 方程含有两个未知数，因此x的系数不能为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
结合两个条件，最终可得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题是二元一次方程概念的基础考法，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的要求，误把m=1当作答案，解题时要同时兼顾“二元”和“一次”两个判定条件，不要漏看限制要求。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心判定要求：一是方程要含有2个不同的未知数，意味着两个未知数的系数都不能为0；二是每个未知数的次数都为1。解题时先根据“一次”的要求，由y的次数列等式求出m的可能值，再根据“二元”的要求，由x的系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义，可得到两个限制条件：
1. 未知数的次数为1，即$|m|=1$，解绝对值方程得$m=1$或$m=-1$；
2. 方程含有两个未知数，因此x的系数不能为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
结合两个条件，最终可得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题是二元一次方程概念的基础考法，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的要求，误把m=1当作答案，解题时要同时兼顾“二元”和“一次”两个判定条件，不要漏看限制要求。
【难度系数】
0.6
⑦已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+2y=k \\2x+3y=3k-1\end{cases}$，当$3x+5y=3$时，$k=$ ______ 。
答案
7.1
解析
【分析】
观察已知方程组的两个方程和目标式$3x+5y=3$的结构，可发现将方程组的两个方程左右两边分别相加，左边恰好能得到$3x+5y$，右边是关于$k$的代数式，结合$3x+5y=3$就能直接得到关于$k$的一元一次方程，不需要单独求解$x、y$，用整体思想解题更简便。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}x+2y=k \quad \mathrm{①} \\2x+3y=3k-1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②，左边求和得：$x+2y+2x+3y=3x+5y$
右边求和得：$k+(3k-1)=4k-1$
因此可得$3x+5y=4k-1$
已知$3x+5y=3$，代入上式得：
$4k-1=3$
移项计算：$4k=3+1=4$
系数化为1得：$k=1$
【答案】
$1$
【知识点】
二元一次方程组运算、整体代入法、一元一次方程求解
【点评】
本题解题核心是观察方程结构，运用整体思想简化运算，无需单独求解$x、y$的值即可快速得出结果，是二元一次方程组中典型的整体思想应用题型。
【难度系数】
0.7
观察已知方程组的两个方程和目标式$3x+5y=3$的结构，可发现将方程组的两个方程左右两边分别相加，左边恰好能得到$3x+5y$，右边是关于$k$的代数式，结合$3x+5y=3$就能直接得到关于$k$的一元一次方程，不需要单独求解$x、y$，用整体思想解题更简便。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}x+2y=k \quad \mathrm{①} \\2x+3y=3k-1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①+②，左边求和得：$x+2y+2x+3y=3x+5y$
右边求和得：$k+(3k-1)=4k-1$
因此可得$3x+5y=4k-1$
已知$3x+5y=3$，代入上式得：
$4k-1=3$
移项计算：$4k=3+1=4$
系数化为1得：$k=1$
【答案】
$1$
【知识点】
二元一次方程组运算、整体代入法、一元一次方程求解
【点评】
本题解题核心是观察方程结构，运用整体思想简化运算，无需单独求解$x、y$的值即可快速得出结果，是二元一次方程组中典型的整体思想应用题型。
【难度系数】
0.7
