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1.为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是3.5，10.9，则下列说法正确的是（
A.甲秧苗出苗更整齐
B.乙秧苗出苗更整齐
C.甲、乙出苗一样整齐
D.无法确定甲、乙出苗谁更整齐
A
）A.甲秧苗出苗更整齐
B.乙秧苗出苗更整齐
C.甲、乙出苗一样整齐
D.无法确定甲、乙出苗谁更整齐
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪种秧苗出苗更整齐，本质是比较两组秧苗长度数据的波动大小，而方差正是衡量数据波动程度的统计量。解题思路为：先明确方差的性质——平均水平相同时，方差越小，数据波动越小，越整齐；再对比甲、乙的方差大小，即可得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量：在两组数据平均水平相同的情况下，方差越小，说明数据的集中程度越高，波动越小，数据越稳定（整齐）。
由题可知，甲、乙两种秧苗的平均长度一致，甲的方差为3.5，乙的方差为10.9，显然$3.5 ＜ 10.9$，即甲的方差更小，因此甲秧苗出苗更整齐。故选A。
【答案】A
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题侧重考查统计中方差的实际应用，只要理解方差和数据稳定性的对应关系，就能轻松解题，是对基础概念掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
要判断哪种秧苗出苗更整齐，本质是比较两组秧苗长度数据的波动大小，而方差正是衡量数据波动程度的统计量。解题思路为：先明确方差的性质——平均水平相同时，方差越小，数据波动越小，越整齐；再对比甲、乙的方差大小，即可得出结论。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量：在两组数据平均水平相同的情况下，方差越小，说明数据的集中程度越高，波动越小，数据越稳定（整齐）。
由题可知，甲、乙两种秧苗的平均长度一致，甲的方差为3.5，乙的方差为10.9，显然$3.5 ＜ 10.9$，即甲的方差更小，因此甲秧苗出苗更整齐。故选A。
【答案】A
【知识点】
方差的意义；数据稳定性判断
【点评】
本题侧重考查统计中方差的实际应用，只要理解方差和数据稳定性的对应关系，就能轻松解题，是对基础概念掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
2.体育测试后，小明算出了他所在小组5位同学成绩的平均数为$M$，如果把$M$当成另一位同学的成绩，与原来的5位同学的成绩一起算出这6位同学成绩的平均数为$N$，那么$\frac{M}{N}$的值为（
A.$\frac{5}{6}$
B.1
C.$\frac{6}{5}$
D.2
B
）A.$\frac{5}{6}$
B.1
C.$\frac{6}{5}$
D.2
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆平均数的计算公式：平均数 = 总数量÷总份数。首先根据5人的平均数M求出5人的总成绩，再加上新增的成绩M得到6人的总成绩，用6人的总成绩除以人数6得到N的表达式，最后计算M与N的比值即可。
【解析】
解：已知5位同学的平均成绩为M，根据平均数的计算公式，这5位同学的总成绩为：$5× M=5M$。
把M加入成绩后，6位同学的总成绩为：$5M + M = 6M$。
则6位同学的平均成绩$N=\frac{6M}{6}=M$。
因此$\frac{M}{N}=\frac{M}{M}=1$。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题考查对平均数概念的掌握，解题关键是理清数据总和与数据个数的对应关系，难度较低，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平均数的计算公式：平均数 = 总数量÷总份数。首先根据5人的平均数M求出5人的总成绩，再加上新增的成绩M得到6人的总成绩，用6人的总成绩除以人数6得到N的表达式，最后计算M与N的比值即可。
【解析】
解：已知5位同学的平均成绩为M，根据平均数的计算公式，这5位同学的总成绩为：$5× M=5M$。
把M加入成绩后，6位同学的总成绩为：$5M + M = 6M$。
则6位同学的平均成绩$N=\frac{6M}{6}=M$。
因此$\frac{M}{N}=\frac{M}{M}=1$。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题考查对平均数概念的掌握，解题关键是理清数据总和与数据个数的对应关系，难度较低，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
3.样本$(x_1+1),(x_2+1),\dots,(x_n+1)$的平均数为10，方差为2，则对于样本$(x_1+2),(x_2+2),\dots,(x_n+2)$，下列结论正确的是（
A.平均数为10，方差为2
B.平均数为11，方差为3
C.平均数为11，方差为2
D.平均数为12，方差为4
C
）A.平均数为10，方差为2
B.平均数为11，方差为3
C.平均数为11，方差为2
D.平均数为12，方差为4
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先回忆平均数和方差的变化规律：若一组数据中的每个数据都加上同一个常数，平均数会增加这个常数，而方差反映的是数据的离散程度，每个数据增加相同数值时，数据间的差异不变，因此方差保持不变。本题中已知样本是每个原数据加1，待求样本是每个原数据加2，相当于给已知样本的每个数据额外加了1，据此可直接推导平均数和方差的结果。
【解析】
首先计算原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数：
已知样本$(x_1+1),(x_2+1),\dots,(x_n+1)$的平均数为10，即$\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=10$，化简得$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 1 = 10$，因此原数据的平均数$\overline{x}=10-1=9$。
再计算样本$(x_1+2),(x_2+2),\dots,(x_n+2)$的平均数：
$\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_n+2)}{n} = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 2 = 9+2=11$。
接下来计算方差：
已知前一个样本的方差为2，即$\frac{[(x_1+1)-10]^2 + [(x_2+1)-10]^2 + \dots + [(x_n+1)-10]^2}{n}=2$，化简得$\frac{(x_1-9)^2 + (x_2-9)^2 + \dots + (x_n-9)^2}{n}=2$。
后一个样本的平均数为11，因此它的方差为$\frac{[(x_1+2)-11]^2 + [(x_2+2)-11]^2 + \dots + [(x_n+2)-11]^2}{n} = \frac{(x_1-9)^2 + (x_2-9)^2 + \dots + (x_n-9)^2}{n}=2$。
综上，该样本平均数为11，方差为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题是统计部分的基础题，核心考查数据整体加减常数时平均数和方差的变化规律，熟记“数据同加/减常数时，平均数同步变化、方差不变”的结论可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平均数和方差的变化规律：若一组数据中的每个数据都加上同一个常数，平均数会增加这个常数，而方差反映的是数据的离散程度，每个数据增加相同数值时，数据间的差异不变，因此方差保持不变。本题中已知样本是每个原数据加1，待求样本是每个原数据加2，相当于给已知样本的每个数据额外加了1，据此可直接推导平均数和方差的结果。
【解析】
首先计算原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数：
已知样本$(x_1+1),(x_2+1),\dots,(x_n+1)$的平均数为10，即$\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=10$，化简得$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 1 = 10$，因此原数据的平均数$\overline{x}=10-1=9$。
再计算样本$(x_1+2),(x_2+2),\dots,(x_n+2)$的平均数：
$\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_n+2)}{n} = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 2 = 9+2=11$。
接下来计算方差：
已知前一个样本的方差为2，即$\frac{[(x_1+1)-10]^2 + [(x_2+1)-10]^2 + \dots + [(x_n+1)-10]^2}{n}=2$，化简得$\frac{(x_1-9)^2 + (x_2-9)^2 + \dots + (x_n-9)^2}{n}=2$。
后一个样本的平均数为11，因此它的方差为$\frac{[(x_1+2)-11]^2 + [(x_2+2)-11]^2 + \dots + [(x_n+2)-11]^2}{n} = \frac{(x_1-9)^2 + (x_2-9)^2 + \dots + (x_n-9)^2}{n}=2$。
综上，该样本平均数为11，方差为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题是统计部分的基础题，核心考查数据整体加减常数时平均数和方差的变化规律，熟记“数据同加/减常数时，平均数同步变化、方差不变”的结论可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4.已知a,b,c三个数的平均数是6，(2a−3)，(2b−2)，(2c+5)的平均数是
12
。答案
4.12
解析
【分析】
解题首先利用平均数的定义，由a、b、c的平均数求出三个数的总和；再将要求平均数的三个新数相加，通过合并同类项整理出含a+b+c的式子，代入已求出的总和得到新数的总和，最后再次利用平均数的计算公式即可得出结果，解题时不需要单独求a、b、c的取值，用整体代入思想更简便。
【解析】
解：已知a、b、c三个数的平均数是6，根据“总和=平均数×个数”可得：
$a + b + c = 6 × 3 = 18$
先计算$(2a−3)$、$(2b−2)$、$(2c+5)$三个数的和：
$\begin{aligned}&(2a−3)+(2b−2)+(2c+5)\\=&2a + 2b + 2c - 3 - 2 + 5\\=&2(a + b + c)\end{aligned}$
把$a+b+c=18$代入得：
$2×18 = 36$
再计算这三个数的平均数：
$36 ÷ 3 = 12$
【答案】
12
【知识点】
平均数的计算；代数式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对平均数概念的掌握和整体代入的数学思想，解题核心是先求出原数的总和，再整体代入计算新数的总和，避免了单独求每个未知量的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
解题首先利用平均数的定义，由a、b、c的平均数求出三个数的总和；再将要求平均数的三个新数相加，通过合并同类项整理出含a+b+c的式子，代入已求出的总和得到新数的总和，最后再次利用平均数的计算公式即可得出结果，解题时不需要单独求a、b、c的取值，用整体代入思想更简便。
【解析】
解：已知a、b、c三个数的平均数是6，根据“总和=平均数×个数”可得：
$a + b + c = 6 × 3 = 18$
先计算$(2a−3)$、$(2b−2)$、$(2c+5)$三个数的和：
$\begin{aligned}&(2a−3)+(2b−2)+(2c+5)\\=&2a + 2b + 2c - 3 - 2 + 5\\=&2(a + b + c)\end{aligned}$
把$a+b+c=18$代入得：
$2×18 = 36$
再计算这三个数的平均数：
$36 ÷ 3 = 12$
【答案】
12
【知识点】
平均数的计算；代数式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对平均数概念的掌握和整体代入的数学思想，解题核心是先求出原数的总和，再整体代入计算新数的总和，避免了单独求每个未知量的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
5.如果一组数据－3，－2，0，1，x，6，9，12的平均数为3，那么这组数据的中位数是
1
.答案
5.1
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先根据平均数的计算公式求出未知数据x的值，平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，据此列等式即可算出x；第二步求中位数，先将这组数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是偶数，中位数为排序后中间两个数据的平均数，找到中间两个数计算平均即可得到结果。
【解析】
首先根据平均数的定义计算x的值：
这组数据共有8个数，平均数为3，因此所有数据的总和为 $ 3 × 8 = 24 $
已知数据的和为：$ -3 + (-2) + 0 + 1 + 6 + 9 + 12 = 23 $
因此 $ x = 24 - 23 = 1 $
将这组数据按从小到大的顺序排列为：$ -3, -2, 0, 1, 1, 6, 9, 12 $
数据总个数为8（偶数），中位数是排序后第4个和第5个数据的平均数，即 $ \frac{1 + 1}{2} = 1 $
【答案】
1
【知识点】
平均数的计算；中位数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是先利用平均数求出未知量，再按中位数的定义求解，需要注意当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，而非中间的某个数。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先根据平均数的计算公式求出未知数据x的值，平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，据此列等式即可算出x；第二步求中位数，先将这组数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是偶数，中位数为排序后中间两个数据的平均数，找到中间两个数计算平均即可得到结果。
【解析】
首先根据平均数的定义计算x的值：
这组数据共有8个数，平均数为3，因此所有数据的总和为 $ 3 × 8 = 24 $
已知数据的和为：$ -3 + (-2) + 0 + 1 + 6 + 9 + 12 = 23 $
因此 $ x = 24 - 23 = 1 $
将这组数据按从小到大的顺序排列为：$ -3, -2, 0, 1, 1, 6, 9, 12 $
数据总个数为8（偶数），中位数是排序后第4个和第5个数据的平均数，即 $ \frac{1 + 1}{2} = 1 $
【答案】
1
【知识点】
平均数的计算；中位数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是先利用平均数求出未知量，再按中位数的定义求解，需要注意当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，而非中间的某个数。
【难度系数】
0.8
6.一组数据1，-2，0，-1，2的方差是
2
。答案
6.2
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，需按照方差的标准计算步骤逐步求解：第一步先计算这组数据的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方；第三步计算上述平方值的平均数，所得结果就是这组数据的方差。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{1 + (-2) + 0 + (-1) + 2}{5} = \frac{0}{5} = 0$
根据方差公式$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots + (x_n-\bar{x})^2]$，代入数据计算：
$S^2 = \frac{1}{5}[(1-0)^2 + (-2-0)^2 + (0-0)^2 + (-1-0)^2 + (2-0)^2]$
$= \frac{1}{5}[1 + 4 + 0 + 1 + 4]$
$= \frac{1}{5} × 10 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平均数的计算、方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算流程，计算时注意正负号的运算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的方差，需按照方差的标准计算步骤逐步求解：第一步先计算这组数据的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差的平方；第三步计算上述平方值的平均数，所得结果就是这组数据的方差。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{1 + (-2) + 0 + (-1) + 2}{5} = \frac{0}{5} = 0$
根据方差公式$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots + (x_n-\bar{x})^2]$，代入数据计算：
$S^2 = \frac{1}{5}[(1-0)^2 + (-2-0)^2 + (0-0)^2 + (-1-0)^2 + (2-0)^2]$
$= \frac{1}{5}[1 + 4 + 0 + 1 + 4]$
$= \frac{1}{5} × 10 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平均数的计算、方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差的计算方法，只要熟练掌握方差的计算流程，计算时注意正负号的运算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
7.某班举行美食比赛，评委要从色泽、味感、创意三个方面对菜肴进行打分，色泽、味感和创意所占比例分别为30％，40％，30％.若参赛选手甲的一道菜肴相应的得分依次记为4分、3分、2分，求参赛选手甲的这道菜肴的综合成绩.
答案
7.3分
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题时首先明确综合成绩为各维度得分按对应权重计算的加权平均数。解题思路：先分别确定色泽、味感、创意三个维度的得分和对应的权重占比，再用每个维度的得分乘对应权重，最后将所有乘积求和，即可得到综合成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算公式：
综合成绩 = 色泽得分×对应权重 + 味感得分×对应权重 + 创意得分×对应权重
将题中数据代入得：
$\begin{aligned}综合成绩&=4×30\% + 3×40\% + 2×30\%\\&=4×0.3 + 3×0.4 + 2×0.3\\&=1.2 + 1.2 + 0.6\\&=3（分）\end{aligned}$
【答案】
3分
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题结合生活中的评分场景考查加权平均数的应用，属于基础题型，只要明确各数据对应的权重，按照公式代入计算即可，计算时注意百分数转小数的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
本题考查加权平均数的实际应用，解题时首先明确综合成绩为各维度得分按对应权重计算的加权平均数。解题思路：先分别确定色泽、味感、创意三个维度的得分和对应的权重占比，再用每个维度的得分乘对应权重，最后将所有乘积求和，即可得到综合成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算公式：
综合成绩 = 色泽得分×对应权重 + 味感得分×对应权重 + 创意得分×对应权重
将题中数据代入得：
$\begin{aligned}综合成绩&=4×30\% + 3×40\% + 2×30\%\\&=4×0.3 + 3×0.4 + 2×0.3\\&=1.2 + 1.2 + 0.6\\&=3（分）\end{aligned}$
【答案】
3分
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题结合生活中的评分场景考查加权平均数的应用，属于基础题型，只要明确各数据对应的权重，按照公式代入计算即可，计算时注意百分数转小数的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
8.已知某校女子田径队23名队员年龄的平均数和中位数都是13，但是后来发现其中有一名队员的年龄登记错误，将14岁写成了15岁.经重新计算后，正确的平均数为a，中位数为b，则下列结论正确的是（
A.$a＜13,b=13$
B.$a＜13,b＜13$
C.$a＞13,b＜13$
D.$a＞13,b=13$
A
）A.$a＜13,b=13$
B.$a＜13,b＜13$
C.$a＞13,b＜13$
D.$a＞13,b=13$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时分别从平均数和中位数的定义出发分析：①平均数是所有数据之和除以数据总个数，首先判断修正数据后总年龄的变化，总年龄减小，总人数不变，即可得到平均数的变化情况；②中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数，23个数据的中位数是第12个数据，原来中位数为13，说明第12个数据是13，本次修改的是将15改为14，两个数都大于13，不会改变排序后第12个数据的大小，因此中位数不变。
【解析】
1. 计算正确的平均数$a$：
原来23名队员的年龄总和 = 平均数×人数 = $23×13 = 299$，
将15岁修正为14岁后，总年龄减少了$15-14=1$，修正后的总年龄为$299-1=298$，
因此正确的平均数$a = 298÷23 ＜ 13$。
2. 求正确的中位数$b$：
23个数据按从小到大排序后，中位数为第$\frac{23+1}{2}=12$个数据，
原来中位数是13，说明排序后第12个数据为13，
本次修改的数值15和14都大于13，不影响数据的排序结果，第12个数据仍然是13，因此$b=13$。
综上可得$a＜13,b=13$，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；中位数的定义
【点评】
本题核心是区分平均数和中位数的性质：平均数受所有数据的影响，任意一个数据的变化都会引起平均数的变化；中位数仅由排序后中间位置的数决定，只要变动的数据不改变中间位置的数值，中位数就保持不变。解题时抓住这两个性质即可快速判断结果。
【难度系数】
0.7
解题时分别从平均数和中位数的定义出发分析：①平均数是所有数据之和除以数据总个数，首先判断修正数据后总年龄的变化，总年龄减小，总人数不变，即可得到平均数的变化情况；②中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数，23个数据的中位数是第12个数据，原来中位数为13，说明第12个数据是13，本次修改的是将15改为14，两个数都大于13，不会改变排序后第12个数据的大小，因此中位数不变。
【解析】
1. 计算正确的平均数$a$：
原来23名队员的年龄总和 = 平均数×人数 = $23×13 = 299$，
将15岁修正为14岁后，总年龄减少了$15-14=1$，修正后的总年龄为$299-1=298$，
因此正确的平均数$a = 298÷23 ＜ 13$。
2. 求正确的中位数$b$：
23个数据按从小到大排序后，中位数为第$\frac{23+1}{2}=12$个数据，
原来中位数是13，说明排序后第12个数据为13，
本次修改的数值15和14都大于13，不影响数据的排序结果，第12个数据仍然是13，因此$b=13$。
综上可得$a＜13,b=13$，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；中位数的定义
【点评】
本题核心是区分平均数和中位数的性质：平均数受所有数据的影响，任意一个数据的变化都会引起平均数的变化；中位数仅由排序后中间位置的数决定，只要变动的数据不改变中间位置的数值，中位数就保持不变。解题时抓住这两个性质即可快速判断结果。
【难度系数】
0.7
