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1 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是(
A.至少有1个球是黑球
B.至少有1个球是白球
C.至少有2个球是黑球
D.至少有2个球是白球
A
)。A.至少有1个球是黑球
B.至少有1个球是白球
C.至少有2个球是黑球
D.至少有2个球是白球
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个是必然事件，首先明确必然事件的定义：在一定条件下一定会发生的事件。解题时可先分析摸球的极端情况：袋子里只有2个白球，摸3个球时最多只能摸出全部2个白球，剩下的1个只能是黑球，由此出发逐个验证选项即可。首先看选项A：不可能摸出3个全是白球（只有2个白球），所以A一定发生；选项B：存在摸出3个全是黑球的可能，所以B不一定发生；选项C：存在摸出1个黑球+2个白球的可能，所以C不一定发生；选项D：存在摸出3个黑球或2黑1白的可能，所以D不一定发生。
【解析】
解：必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。
已知袋中有2个白球、4个黑球，从中任意摸3个球：
1. 分析选项A：因为白球只有2个，所以摸出的3个球中最多有2个白球，剩余的1个球一定是黑球，因此至少有1个球是黑球，该事件一定发生，是必然事件；
2. 分析选项B：若摸出的3个球均为黑球（袋中有4个黑球，存在这种可能），则没有白球，因此该事件是随机事件，不是必然事件；
3. 分析选项C：若摸出1个黑球、2个白球，则只有1个黑球，因此该事件是随机事件，不是必然事件；
4. 分析选项D：若摸出3个黑球，或2个黑球1个白球，都不满足至少2个白球，因此该事件是随机事件，不是必然事件。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 必然事件的概念
2. 随机事件的概念
3. 可能性大小判断
【点评】
本题主要考查事件类型的判断，解题的关键是结合已知球的数量，通过分析极端情况快速验证各选项是否一定成立，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是必然事件，首先明确必然事件的定义：在一定条件下一定会发生的事件。解题时可先分析摸球的极端情况：袋子里只有2个白球，摸3个球时最多只能摸出全部2个白球，剩下的1个只能是黑球，由此出发逐个验证选项即可。首先看选项A：不可能摸出3个全是白球（只有2个白球），所以A一定发生；选项B：存在摸出3个全是黑球的可能，所以B不一定发生；选项C：存在摸出1个黑球+2个白球的可能，所以C不一定发生；选项D：存在摸出3个黑球或2黑1白的可能，所以D不一定发生。
【解析】
解：必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。
已知袋中有2个白球、4个黑球，从中任意摸3个球：
1. 分析选项A：因为白球只有2个，所以摸出的3个球中最多有2个白球，剩余的1个球一定是黑球，因此至少有1个球是黑球，该事件一定发生，是必然事件；
2. 分析选项B：若摸出的3个球均为黑球（袋中有4个黑球，存在这种可能），则没有白球，因此该事件是随机事件，不是必然事件；
3. 分析选项C：若摸出1个黑球、2个白球，则只有1个黑球，因此该事件是随机事件，不是必然事件；
4. 分析选项D：若摸出3个黑球，或2个黑球1个白球，都不满足至少2个白球，因此该事件是随机事件，不是必然事件。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 必然事件的概念
2. 随机事件的概念
3. 可能性大小判断
【点评】
本题主要考查事件类型的判断，解题的关键是结合已知球的数量，通过分析极端情况快速验证各选项是否一定成立，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
2 下列说法中正确的是(
A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是随机事件
B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
C.“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次
B
)。A.“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是随机事件
B.“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
C.“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次
答案
B
解析
【分析】
这道题主要考查事件类型的判断以及概率的基本概念，解题时首先要明确必然事件、不可能事件、随机事件的定义，再结合几何图形的性质、概率的含义逐一分析每个选项，最终选出正确的说法。具体思考路径：①先回忆三类事件的核心区别：必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，随机事件可能发生也可能不发生；②逐个判断选项描述的事件是否符合对应类型的定义，同时注意概率为0的事件才是不可能事件，小概率事件仍然可能发生，频率不等于概率。
【解析】
首先明确相关定义：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
对各选项逐一分析：
A. 等边三角形的性质就是轴对称图形，任意画出的等边三角形一定是轴对称图形，因此该事件是必然事件，不是随机事件，A错误；
B. 所有平行四边形都是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，因此任意画出平行四边形它是中心对称图形是必然事件，B正确；
C. 概率为0.0001的事件只是发生的可能性很小，仍然有可能发生，不可能事件的概率为0，因此该事件不是不可能事件，C错误；
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，掷10次正面向上的次数是随机的，不一定是5次，只有大量重复试验时，正面向上的频率才会接近概率0.5，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.事件的分类 2.概率的意义 3.特殊图形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，综合性不强，只要准确掌握各类事件的定义、概率的含义以及常见几何图形的基本性质就能快速解答，做题时要注意区分小概率事件和不可能事件，不要把概率和有限次试验的频率混淆。
【难度系数】
0.8
这道题主要考查事件类型的判断以及概率的基本概念，解题时首先要明确必然事件、不可能事件、随机事件的定义，再结合几何图形的性质、概率的含义逐一分析每个选项，最终选出正确的说法。具体思考路径：①先回忆三类事件的核心区别：必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，随机事件可能发生也可能不发生；②逐个判断选项描述的事件是否符合对应类型的定义，同时注意概率为0的事件才是不可能事件，小概率事件仍然可能发生，频率不等于概率。
【解析】
首先明确相关定义：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
对各选项逐一分析：
A. 等边三角形的性质就是轴对称图形，任意画出的等边三角形一定是轴对称图形，因此该事件是必然事件，不是随机事件，A错误；
B. 所有平行四边形都是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，因此任意画出平行四边形它是中心对称图形是必然事件，B正确；
C. 概率为0.0001的事件只是发生的可能性很小，仍然有可能发生，不可能事件的概率为0，因此该事件不是不可能事件，C错误；
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，掷10次正面向上的次数是随机的，不一定是5次，只有大量重复试验时，正面向上的频率才会接近概率0.5，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.事件的分类 2.概率的意义 3.特殊图形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，综合性不强，只要准确掌握各类事件的定义、概率的含义以及常见几何图形的基本性质就能快速解答，做题时要注意区分小概率事件和不可能事件，不要把概率和有限次试验的频率混淆。
【难度系数】
0.8
3 在一个不透明的袋子里装有2个红球1个黄球，这3个小球除了颜色不同外，其他都相同，贝贝同学摸出一个球后放回口袋再摸一个；莹莹同学一次摸2个球，两人分别记录下小球的颜色，关于两人摸到1个红球1个黄球和2个红球的概率的描述中，正确的是（
A.$P_{(贝贝摸到1红1黄)} = P_{(莹莹摸到1红1黄)}$
B.$P_{(贝贝摸到1红1黄)} ＞ P_{(莹莹摸到1红1黄)}$
C.$P_{(贝贝摸到2红)} = P_{(莹莹摸到2红)}$
D.$P_{(贝贝摸到2红)} ＞ P_{(莹莹摸到2红)}$
D
）。A.$P_{(贝贝摸到1红1黄)} = P_{(莹莹摸到1红1黄)}$
B.$P_{(贝贝摸到1红1黄)} ＞ P_{(莹莹摸到1红1黄)}$
C.$P_{(贝贝摸到2红)} = P_{(莹莹摸到2红)}$
D.$P_{(贝贝摸到2红)} ＞ P_{(莹莹摸到2红)}$
答案
D
解析
【分析】
首先明确两人摸球的规则差异：贝贝是有放回的两次摸球，两次摸球结果相互独立；莹莹是一次性摸2个球，属于不放回试验。我们可以通过给小球编号，用列举法分别列出两人摸球的所有等可能结果，再分别计算对应事件的概率，最后对比四个选项判断正误即可。
【解析】
先将3个球编号：2个红球分别记为$R_1$、$R_2$，黄球记为$Y$。
1. 计算贝贝的相关概率
贝贝摸球为有放回摸2次，所有等可能结果共$3×3=9$种，分别为：
$(R_1,R_1)、(R_1,R_2)、(R_1,Y)、(R_2,R_1)、(R_2,R_2)、(R_2,Y)、(Y,R_1)、(Y,R_2)、(Y,Y)$
摸到1红1黄的结果共4种，故$P_{(贝贝摸到1红1黄)}=\frac{4}{9}$
摸到2红的结果共4种，故$P_{(贝贝摸到2红)}=\frac{4}{9}$
2. 计算莹莹的相关概率
莹莹一次性摸2个球，所有等可能结果共3种，分别为：
$(R_1,R_2)、(R_1,Y)、(R_2,Y)$
摸到1红1黄的结果共2种，故$P_{(莹莹摸到1红1黄)}=\frac{2}{3}$
摸到2红的结果共1种，故$P_{(莹莹摸到2红)}=\frac{1}{3}$
3. 对比选项
A：$\frac{4}{9}≠\frac{2}{3}$，错误；
B：$\frac{4}{9}＜\frac{2}{3}$，错误；
C：$\frac{4}{9}≠\frac{1}{3}$，错误；
D：$\frac{4}{9}＞\frac{1}{3}$，正确。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，有放回试验概率，不放回试验概率
【点评】
本题核心是区分有放回和不放回两种摸球试验的差异，通过列举法明确所有等可能结果，再结合概率公式计算比较即可，解题时需注意两种摸球方式的总结果数不同，避免混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
首先明确两人摸球的规则差异：贝贝是有放回的两次摸球，两次摸球结果相互独立；莹莹是一次性摸2个球，属于不放回试验。我们可以通过给小球编号，用列举法分别列出两人摸球的所有等可能结果，再分别计算对应事件的概率，最后对比四个选项判断正误即可。
【解析】
先将3个球编号：2个红球分别记为$R_1$、$R_2$，黄球记为$Y$。
1. 计算贝贝的相关概率
贝贝摸球为有放回摸2次，所有等可能结果共$3×3=9$种，分别为：
$(R_1,R_1)、(R_1,R_2)、(R_1,Y)、(R_2,R_1)、(R_2,R_2)、(R_2,Y)、(Y,R_1)、(Y,R_2)、(Y,Y)$
摸到1红1黄的结果共4种，故$P_{(贝贝摸到1红1黄)}=\frac{4}{9}$
摸到2红的结果共4种，故$P_{(贝贝摸到2红)}=\frac{4}{9}$
2. 计算莹莹的相关概率
莹莹一次性摸2个球，所有等可能结果共3种，分别为：
$(R_1,R_2)、(R_1,Y)、(R_2,Y)$
摸到1红1黄的结果共2种，故$P_{(莹莹摸到1红1黄)}=\frac{2}{3}$
摸到2红的结果共1种，故$P_{(莹莹摸到2红)}=\frac{1}{3}$
3. 对比选项
A：$\frac{4}{9}≠\frac{2}{3}$，错误；
B：$\frac{4}{9}＜\frac{2}{3}$，错误；
C：$\frac{4}{9}≠\frac{1}{3}$，错误；
D：$\frac{4}{9}＞\frac{1}{3}$，正确。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，有放回试验概率，不放回试验概率
【点评】
本题核心是区分有放回和不放回两种摸球试验的差异，通过列举法明确所有等可能结果，再结合概率公式计算比较即可，解题时需注意两种摸球方式的总结果数不同，避免混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
4 如图,在$3×2$的正方形网格中,线段$AB$的端点在格点上,在其他格点中任选一点$C$,使$△ ABC$是等腰三角形的概率为(
A.$\dfrac{1}{10}$
B.$\dfrac{1}{5}$
C.$\dfrac{3}{10}$
D.$\dfrac{2}{5}$
B
)。A.$\dfrac{1}{10}$
B.$\dfrac{1}{5}$
C.$\dfrac{3}{10}$
D.$\dfrac{2}{5}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个概率问题，首先需明确概率的计算逻辑：符合条件的情况数÷总情况数。第一步先计算除A、B外可供选择的格点总个数：3×2的正方形网格横向有4个格点、纵向有3个格点，总格点共4×3=12个，去掉A、B两个端点，总共有10个可选的C点。第二步要找出能使△ABC为等腰三角形的C点，需分三类讨论等腰三角形的构成：①AB为腰、A为顶点（即AC=AB）；②AB为腰、B为顶点（即BC=AB）；③AB为底（即AC=BC），结合勾股定理计算边长，数出所有符合要求的格点数量，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
1. 计算总可选格点数量：
3×2网格的总格点数量为$(3+1)×(2+1)=12$个，排除线段AB的两个端点A、B，可选的C点共$12-2=10$个。
2. 找出符合等腰三角形条件的C点：
结合勾股定理计算AB的长度，再分三类讨论：
①当AB为腰、A为顶点时，在网格中找与A距离等于AB长度的格点，排除B后共0个符合要求的点；
②当AB为腰、B为顶点时，在网格中找与B距离等于AB长度的格点，共1个符合要求的点；
③当AB为底时，找AB垂直平分线上的格点，共1个符合要求的点。
综上，符合条件的C点共有$1+1=2$个。
3. 计算概率：
$P(△ ABC为等腰三角形)=\frac{符合条件的C点个数}{总可选C点个数}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何与概率结合的常见题型，解题的关键是分类讨论等腰三角形的三种构成情况，结合网格特点和勾股定理数准符合条件的点，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.6
要解决这个概率问题，首先需明确概率的计算逻辑：符合条件的情况数÷总情况数。第一步先计算除A、B外可供选择的格点总个数：3×2的正方形网格横向有4个格点、纵向有3个格点，总格点共4×3=12个，去掉A、B两个端点，总共有10个可选的C点。第二步要找出能使△ABC为等腰三角形的C点，需分三类讨论等腰三角形的构成：①AB为腰、A为顶点（即AC=AB）；②AB为腰、B为顶点（即BC=AB）；③AB为底（即AC=BC），结合勾股定理计算边长，数出所有符合要求的格点数量，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
1. 计算总可选格点数量：
3×2网格的总格点数量为$(3+1)×(2+1)=12$个，排除线段AB的两个端点A、B，可选的C点共$12-2=10$个。
2. 找出符合等腰三角形条件的C点：
结合勾股定理计算AB的长度，再分三类讨论：
①当AB为腰、A为顶点时，在网格中找与A距离等于AB长度的格点，排除B后共0个符合要求的点；
②当AB为腰、B为顶点时，在网格中找与B距离等于AB长度的格点，共1个符合要求的点；
③当AB为底时，找AB垂直平分线上的格点，共1个符合要求的点。
综上，符合条件的C点共有$1+1=2$个。
3. 计算概率：
$P(△ ABC为等腰三角形)=\frac{符合条件的C点个数}{总可选C点个数}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用
【点评】
本题是几何与概率结合的常见题型，解题的关键是分类讨论等腰三角形的三种构成情况，结合网格特点和勾股定理数准符合条件的点，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.6
5 如图，在$4×4$的正方形网格中，三个阴影小正方形组成一个图案，在这个网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影小正方形组成轴对称图形的概率是（
A.$\frac{3}{13}$
B.$\frac{4}{13}$
C.$\frac{3}{16}$
D.$\frac{1}{4}$
B
）。A.$\frac{3}{13}$
B.$\frac{4}{13}$
C.$\frac{3}{16}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
B
解析
【分析】
要计算补画后形成轴对称图形的概率，需依据“概率=符合要求的情况数÷所有等可能的总情况数”的思路求解：第一步先算总可选补画位置，4×4网格共16个小正方形，去掉已有的3个阴影，剩余13个空白位置都是可选的，即总情况数为13；第二步根据轴对称图形的定义，逐一验证空白位置补画阴影后能否构成轴对称图形，统计符合要求的位置数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算总等可能情况数：
4×4正方形网格共有小正方形：$4×4=16$个
已有3个阴影小正方形，因此可补画的空白位置共有：$16-3=13$种，每种补画位置的可能性相等。
2. 统计符合要求的情况数：
根据轴对称图形“沿某条直线对折，直线两侧部分可完全重合”的定义，逐一验证空白位置，可知共有4个位置补画阴影后，四个阴影小正方形能组成轴对称图形。
3. 计算概率：
$P=\frac{符合要求的情况数}{总情况数}=\frac{4}{13}$
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别、概率公式应用
【点评】
本题结合网格图形同时考察轴对称性质和简单概率计算，解题的核心是准确统计符合轴对称要求的补画位置，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6
要计算补画后形成轴对称图形的概率，需依据“概率=符合要求的情况数÷所有等可能的总情况数”的思路求解：第一步先算总可选补画位置，4×4网格共16个小正方形，去掉已有的3个阴影，剩余13个空白位置都是可选的，即总情况数为13；第二步根据轴对称图形的定义，逐一验证空白位置补画阴影后能否构成轴对称图形，统计符合要求的位置数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算总等可能情况数：
4×4正方形网格共有小正方形：$4×4=16$个
已有3个阴影小正方形，因此可补画的空白位置共有：$16-3=13$种，每种补画位置的可能性相等。
2. 统计符合要求的情况数：
根据轴对称图形“沿某条直线对折，直线两侧部分可完全重合”的定义，逐一验证空白位置，可知共有4个位置补画阴影后，四个阴影小正方形能组成轴对称图形。
3. 计算概率：
$P=\frac{符合要求的情况数}{总情况数}=\frac{4}{13}$
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别、概率公式应用
【点评】
本题结合网格图形同时考察轴对称性质和简单概率计算，解题的核心是准确统计符合轴对称要求的补画位置，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6
6 用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图①。在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图②。若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{3}{8}$
A
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{3}{8}$
答案
A
解析
【分析】
本题属于几何概型的概率计算问题，解题思路如下：首先回忆几何概型的概率计算公式：随机事件发生的概率等于对应事件区域的面积除以总区域的面积。其次，七巧板拼接成“火箭”的过程中，只是形状发生改变，总面积保持不变，因此“火箭”的面积等于制作七巧板的原正方形的面积。最后，只需要分别求出原正方形（即火箭）的面积和矩形区域的面积，代入公式计算即可得到所求概率。
【解析】
设原正方形纸板的面积为$S$，由于七巧板拼接成“火箭”的过程中仅改变形状，总面积不变，因此“火箭”图案的面积等于原正方形的面积，即$S_{\mathrm{火箭}}=S$。
结合七巧板各部分的边长关系，可求得拼接后矩形区域的面积为$2S$。
根据几何概型的概率计算公式，随机取点落在“火箭”部分的概率为：
$P=\frac{S_{\mathrm{火箭}}}{S_{\mathrm{矩形}}}=\frac{S}{2S}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
几何概型，图形拼接面积不变性，概率计算
【点评】
本题将趣味七巧板拼接和概率计算结合，核心是理解拼接前后图形总面积不变这一特点，再结合几何概型公式即可求解，题目灵活性较强，但整体难度不大。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概型的概率计算问题，解题思路如下：首先回忆几何概型的概率计算公式：随机事件发生的概率等于对应事件区域的面积除以总区域的面积。其次，七巧板拼接成“火箭”的过程中，只是形状发生改变，总面积保持不变，因此“火箭”的面积等于制作七巧板的原正方形的面积。最后，只需要分别求出原正方形（即火箭）的面积和矩形区域的面积，代入公式计算即可得到所求概率。
【解析】
设原正方形纸板的面积为$S$，由于七巧板拼接成“火箭”的过程中仅改变形状，总面积不变，因此“火箭”图案的面积等于原正方形的面积，即$S_{\mathrm{火箭}}=S$。
结合七巧板各部分的边长关系，可求得拼接后矩形区域的面积为$2S$。
根据几何概型的概率计算公式，随机取点落在“火箭”部分的概率为：
$P=\frac{S_{\mathrm{火箭}}}{S_{\mathrm{矩形}}}=\frac{S}{2S}=\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
几何概型，图形拼接面积不变性，概率计算
【点评】
本题将趣味七巧板拼接和概率计算结合，核心是理解拼接前后图形总面积不变这一特点，再结合几何概型公式即可求解，题目灵活性较强，但整体难度不大。
【难度系数】
0.7
