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10. 新考法 如图，已知点E,F在同一个平面直角坐标系中，若点E在第四象限，点F在第一象限，则坐标原点可能是
（
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
（
A
）A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案
10 A 列表分析如下:
|选项|分析|结论|
| ---- | ---- | ---- |
|A|若点$M$为原点,则点$E$在第四象限,点$F$在第一象限|符合题意|
|B|若点$N$为原点,则点$E$在第三象限,点$F$在第一象限|不符合题意|
|C|若点$P$为原点,则点$E$在第一象限,点$F$在第一象限|不符合题意|
|D|若点$Q$为原点,则点$E$在第二象限,点$F$在第一象限|不符合题意|
|选项|分析|结论|
| ---- | ---- | ---- |
|A|若点$M$为原点,则点$E$在第四象限,点$F$在第一象限|符合题意|
|B|若点$N$为原点,则点$E$在第三象限,点$F$在第一象限|不符合题意|
|C|若点$P$为原点,则点$E$在第一象限,点$F$在第一象限|不符合题意|
|D|若点$Q$为原点,则点$E$在第二象限,点$F$在第一象限|不符合题意|
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中各象限相对于原点的位置特征：第一象限在原点的右上方，第二象限在原点的左上方，第三象限在原点的左下方，第四象限在原点的右下方。本题要求点E在第四象限、点F在第一象限，可采用假设验证法，依次把四个选项的点当作原点，判断E、F所在的象限，找到符合条件的选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 若点M为坐标原点：点E在M的右下方，属于第四象限；点F在M的右上方，属于第一象限，符合题意。
2. 若点N为坐标原点：点E在N的左下方，属于第三象限，不符合点E在第四象限的要求。
3. 若点P为坐标原点：点E在P的右上方，属于第一象限，不符合点E在第四象限的要求。
4. 若点Q为坐标原点：点E在Q的左上方，属于第二象限，不符合点E在第四象限的要求。
综上只有点M作为原点时符合条件。
【答案】
A
【知识点】
象限的判断；平面直角坐标系的认识
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，主要考查各象限的位置特征，采用假设法逐一验证即可快速得出答案，要求熟练掌握坐标系的基本性质。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确平面直角坐标系中各象限相对于原点的位置特征：第一象限在原点的右上方，第二象限在原点的左上方，第三象限在原点的左下方，第四象限在原点的右下方。本题要求点E在第四象限、点F在第一象限，可采用假设验证法，依次把四个选项的点当作原点，判断E、F所在的象限，找到符合条件的选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 若点M为坐标原点：点E在M的右下方，属于第四象限；点F在M的右上方，属于第一象限，符合题意。
2. 若点N为坐标原点：点E在N的左下方，属于第三象限，不符合点E在第四象限的要求。
3. 若点P为坐标原点：点E在P的右上方，属于第一象限，不符合点E在第四象限的要求。
4. 若点Q为坐标原点：点E在Q的左上方，属于第二象限，不符合点E在第四象限的要求。
综上只有点M作为原点时符合条件。
【答案】
A
【知识点】
象限的判断；平面直角坐标系的认识
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，主要考查各象限的位置特征，采用假设法逐一验证即可快速得出答案，要求熟练掌握坐标系的基本性质。
【难度系数】
0.8
11. 在平面直角坐标系中,点$P(m,2m-2)$不可能在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11 B 当$m＞1$时,$2m-2＞0$,点$P$在第一象限;当$m＜0$时,$2m-2＜0$,点$P$在第三象限;当$0＜m＜1$时,$2m-2＜0$,点$P$在第四象限. 故点$P$不可能在第二象限.
解析
【分析】
要判断点P不可能在哪个象限，首先需明确平面直角坐标系四个象限的横、纵坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。接下来根据横坐标m的不同取值范围，判断对应纵坐标2m-2的符号，逐一匹配各象限的符号要求，验证是否存在符合条件的m即可。
【解析】
平面直角坐标系四个象限的坐标符号特征为：第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标负、纵坐标正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标正、纵坐标负，分情况讨论：
1. 当$m＞1$时，$m＞0$，$2m-2=2(m-1)＞0$，横纵坐标均为正，点P在第一象限，A不符合题意；
2. 当$0＜m＜1$时，$m＞0$，$2m-2=2(m-1)＜0$，横坐标正、纵坐标负，点P在第四象限，D不符合题意；
3. 当$m＜0$时，$m＜0$，$2m-2＜0$，横纵坐标均为负，点P在第三象限，C不符合题意；
若点P在第二象限，需同时满足$\begin{cases}m＜0 \\ 2m-2＞0\end{cases}$，解$2m-2＞0$得$m＞1$，不存在同时满足$m＜0$且$m＞1$的实数m，因此点P不可能在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
各象限坐标符号特征；一元一次不等式求解
【点评】
本题通过分类讨论参数取值范围判断点的位置，核心是熟练掌握各象限横纵坐标的正负性，分类讨论时要覆盖参数所有可能的取值区间，做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
要判断点P不可能在哪个象限，首先需明确平面直角坐标系四个象限的横、纵坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。接下来根据横坐标m的不同取值范围，判断对应纵坐标2m-2的符号，逐一匹配各象限的符号要求，验证是否存在符合条件的m即可。
【解析】
平面直角坐标系四个象限的坐标符号特征为：第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标负、纵坐标正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标正、纵坐标负，分情况讨论：
1. 当$m＞1$时，$m＞0$，$2m-2=2(m-1)＞0$，横纵坐标均为正，点P在第一象限，A不符合题意；
2. 当$0＜m＜1$时，$m＞0$，$2m-2=2(m-1)＜0$，横坐标正、纵坐标负，点P在第四象限，D不符合题意；
3. 当$m＜0$时，$m＜0$，$2m-2＜0$，横纵坐标均为负，点P在第三象限，C不符合题意；
若点P在第二象限，需同时满足$\begin{cases}m＜0 \\ 2m-2＞0\end{cases}$，解$2m-2＞0$得$m＞1$，不存在同时满足$m＜0$且$m＞1$的实数m，因此点P不可能在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
各象限坐标符号特征；一元一次不等式求解
【点评】
本题通过分类讨论参数取值范围判断点的位置，核心是熟练掌握各象限横纵坐标的正负性，分类讨论时要覆盖参数所有可能的取值区间，做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
12. 新趋势·结论开放 [2025 德阳中考] △ABC 在平面直角坐标系中,已知 A(1,0),B(3,0),如果△ABC 的面积为 1,那么点 C 的坐标可以是
(2,1)
.(只需写出一个即可)答案
12 $(2,1)$ $\because A(1,0),B(3,0),\therefore AB=2. \because △ ABC$ 的面积为$1$,$\therefore \frac{1}{2}AB×|y_C|=1$,$\therefore |y_C|=1$,$\therefore y_C=\pm1$,$\therefore$ 点$C$的坐标可以是$(2,1)$.(答案不唯一)
解析
【分析】
首先观察点A、B的坐标，发现两点都在x轴上，可先计算出AB的长度作为△ABC的底；再结合三角形面积公式，底已知的情况下可求出对应的高，因为AB在x轴上，所以△ABC的高就是点C到x轴的距离，也就是点C纵坐标的绝对值，求出纵坐标的取值后，横坐标可任意取值，任选一个符合要求的坐标即可。
【解析】
已知A(1,0)，B(3,0)，两点均在x轴上，所以AB的长度为：
$AB = 3 - 1 = 2$
设点C的纵坐标为$y_C$，则△ABC中AB边上的高为$|y_C|$（点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ ABC}=1$，代入得：
$\frac{1}{2}×2×|y_C| = 1$
解得$|y_C|=1$，即$y_C=1$或$y_C=-1$。
横坐标可取任意实数，例如取横坐标为2，纵坐标为1，可得点C的坐标为$(2,1)$。
【答案】
$(2,1)$（答案不唯一）
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征、三角形面积计算
【点评】
本题是结论开放类基础题，解题的核心是利用x轴上点的坐标特征，将三角形的高转化为点C纵坐标的绝对值，只要纵坐标满足±1，横坐标任意取值都符合要求，灵活考查了坐标与距离的关系应用。
【难度系数】
0.8
首先观察点A、B的坐标，发现两点都在x轴上，可先计算出AB的长度作为△ABC的底；再结合三角形面积公式，底已知的情况下可求出对应的高，因为AB在x轴上，所以△ABC的高就是点C到x轴的距离，也就是点C纵坐标的绝对值，求出纵坐标的取值后，横坐标可任意取值，任选一个符合要求的坐标即可。
【解析】
已知A(1,0)，B(3,0)，两点均在x轴上，所以AB的长度为：
$AB = 3 - 1 = 2$
设点C的纵坐标为$y_C$，则△ABC中AB边上的高为$|y_C|$（点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ ABC}=1$，代入得：
$\frac{1}{2}×2×|y_C| = 1$
解得$|y_C|=1$，即$y_C=1$或$y_C=-1$。
横坐标可取任意实数，例如取横坐标为2，纵坐标为1，可得点C的坐标为$(2,1)$。
【答案】
$(2,1)$（答案不唯一）
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征、三角形面积计算
【点评】
本题是结论开放类基础题，解题的核心是利用x轴上点的坐标特征，将三角形的高转化为点C纵坐标的绝对值，只要纵坐标满足±1，横坐标任意取值都符合要求，灵活考查了坐标与距离的关系应用。
【难度系数】
0.8
13. [2026 绍兴柯桥区期末]
如图,在平面直角坐标系中,以点 A(3,1)为端点的四条射线 AB, AC, AD, AE 分别过点 B(1,1), C(1,3), D(4,4), E(5,2),则∠BAC
如图,在平面直角坐标系中,以点 A(3,1)为端点的四条射线 AB, AC, AD, AE 分别过点 B(1,1), C(1,3), D(4,4), E(5,2),则∠BAC
=
∠DAE(填“＞”“=”或“＜”).答案
13 $=$ 如图,连接$BC,DE$. 由图可知$AB=2,BC=2,∠ ABC=90°$,$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ BAC=45°. \because AE^2=2^2+1^2=5$,$DE^2=2^2+1^2=5$,$AD^2=1^2+3^2=10$,$\therefore$ 在$△ ADE$中,有$AE^2+DE^2=AD^2$,$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ DAE=45°$,$\therefore ∠ BAC=∠ DAE$.
解析
【分析】
要比较∠BAC和∠DAE的大小，可通过计算两个角的度数判断。首先分析△ABC，计算AB、BC的长度，判断△ABC的形状得到∠BAC的度数；再连接DE，用勾股定理计算△ADE三边长度的平方，通过勾股定理的逆定理判断△ADE的形状，得到∠DAE的度数，最后比较两个角的度数即可。
【解析】
如图，连接$BC,DE$。
1. 求$∠ BAC$的度数：已知点$A(3,1)$，$B(1,1)$，$C(1,3)$，则$AB=3-1=2$，$BC=3-1=2$，且AB为水平线段、BC为竖直线段，故$∠ ABC=90°$，因此$△ ABC$是等腰直角三角形，可得$∠ BAC=45°$。
2. 求$∠ DAE$的度数：已知点$A(3,1)$，$D(4,4)$，$E(5,2)$，根据勾股定理计算各边的平方：
$AE^2=(5-3)^2+(2-1)^2=2^2+1^2=5$，
$DE^2=(5-4)^2+(2-4)^2=1^2+2^2=5$，
$AD^2=(4-3)^2+(4-1)^2=1^2+3^2=10$。
可得$AE^2+DE^2=5+5=10=AD^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ADE$是直角三角形，又$AE=DE$，故$△ ADE$是等腰直角三角形，可得$∠ DAE=45°$。
综上，$∠ BAC=∠ DAE$。
【答案】
$=$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过计算角的度数比较角的大小，解题关键是能结合平面直角坐标系中点的坐标计算线段长度，灵活运用勾股定理及其逆定理判断三角形的形状。
【难度系数】
0.7
要比较∠BAC和∠DAE的大小，可通过计算两个角的度数判断。首先分析△ABC，计算AB、BC的长度，判断△ABC的形状得到∠BAC的度数；再连接DE，用勾股定理计算△ADE三边长度的平方，通过勾股定理的逆定理判断△ADE的形状，得到∠DAE的度数，最后比较两个角的度数即可。
【解析】
如图，连接$BC,DE$。
1. 求$∠ BAC$的度数：已知点$A(3,1)$，$B(1,1)$，$C(1,3)$，则$AB=3-1=2$，$BC=3-1=2$，且AB为水平线段、BC为竖直线段，故$∠ ABC=90°$，因此$△ ABC$是等腰直角三角形，可得$∠ BAC=45°$。
2. 求$∠ DAE$的度数：已知点$A(3,1)$，$D(4,4)$，$E(5,2)$，根据勾股定理计算各边的平方：
$AE^2=(5-3)^2+(2-1)^2=2^2+1^2=5$，
$DE^2=(5-4)^2+(2-4)^2=1^2+2^2=5$，
$AD^2=(4-3)^2+(4-1)^2=1^2+3^2=10$。
可得$AE^2+DE^2=5+5=10=AD^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ADE$是直角三角形，又$AE=DE$，故$△ ADE$是等腰直角三角形，可得$∠ DAE=45°$。
综上，$∠ BAC=∠ DAE$。
【答案】
$=$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过计算角的度数比较角的大小，解题关键是能结合平面直角坐标系中点的坐标计算线段长度，灵活运用勾股定理及其逆定理判断三角形的形状。
【难度系数】
0.7
14. [2025内江中考改编] 对于正整数$x$，规定函数$f(x)=\begin{cases}3x + 1&(x为奇数),\\\dfrac{1}{2}x&(x为偶数).\end{cases}$ 在平面直角坐标系中，将点$(m,n)$中的$m,n$分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中$m,n$均为正整数）。例如，点$(8,5)$经过第1次运算得到点$(4,16)$，经过第2次运算得到点$(2,8)$，经过第3次运算得到点$(1,4)$，经过有限次运算后，必进入循环圈。按上述规定，将点$(2,1)$经过第2026次运算后得到的点是 ______ 。
答案
14 $(1,4)$ 初始点:$(2,1)$(第0次运算). 第1次:横坐标2为偶数,$f(2)=\frac{2}{2}=1$,纵坐标1为奇数,$f(1)=3×1+1=4$,得到点$(1,4)$. 第2次:横坐标1为奇数,$f(1)=3×1+1=4$,纵坐标4为偶数,$f(4)=\frac{4}{2}=2$,得到点$(4,2)$. 第3次:横坐标4为偶数,$f(4)=\frac{4}{2}=2$,纵坐标2为偶数,$f(2)=\frac{2}{2}=1$,得到点$(2,1)$,与初始点相同,即三次一循环. $\because 2\ 026÷ 3=675······1$,$\therefore$ 第2 026次运算后对应的点与第1次运算后的点相同,即$(1,4)$.
解析
【分析】
这是一道结合新定义运算与坐标规律探究的题目，解题思路如下：首先要准确理解题干给出的$f(x)$运算规则：$x$为奇数时计算$3x+1$，$x$为偶数时计算$\frac{x}{2}$，横纵坐标需分别按照规则同步运算；接着从初始点$(2,1)$开始，依次计算前几次运算后的点坐标，直到出现重复的点，即可确定循环周期；最后用总运算次数2026除以循环周期，根据余数判断第2026次运算后对应的点在循环中的位置，就能得到结果。
【解析】
我们按规则依次计算点$(2,1)$每次运算后的坐标：
第0次（初始点）：$(2,1)$
第1次运算：横坐标2是偶数，$f(2)=\frac{2}{2}=1$；纵坐标1是奇数，$f(1)=3×1+1=4$，得到点$(1,4)$
第2次运算：横坐标1是奇数，$f(1)=3×1+1=4$；纵坐标4是偶数，$f(4)=\frac{4}{2}=2$，得到点$(4,2)$
第3次运算：横坐标4是偶数，$f(4)=\frac{4}{2}=2$；纵坐标2是偶数，$f(2)=\frac{2}{2}=1$，得到点$(2,1)$，和初始点相同，说明每3次运算为一个循环周期。
计算2026除以周期3的结果：$2026÷3=675······1$，余数为1，说明第2026次运算后的点和第1次运算后的点相同。
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
新定义运算，坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题将新定义运算和平面直角坐标系点的变化结合，核心是通过计算前几次的运算结果找到循环周期，再利用余数定位目标结果，侧重考查学生的运算能力和归纳总结规律的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合新定义运算与坐标规律探究的题目，解题思路如下：首先要准确理解题干给出的$f(x)$运算规则：$x$为奇数时计算$3x+1$，$x$为偶数时计算$\frac{x}{2}$，横纵坐标需分别按照规则同步运算；接着从初始点$(2,1)$开始，依次计算前几次运算后的点坐标，直到出现重复的点，即可确定循环周期；最后用总运算次数2026除以循环周期，根据余数判断第2026次运算后对应的点在循环中的位置，就能得到结果。
【解析】
我们按规则依次计算点$(2,1)$每次运算后的坐标：
第0次（初始点）：$(2,1)$
第1次运算：横坐标2是偶数，$f(2)=\frac{2}{2}=1$；纵坐标1是奇数，$f(1)=3×1+1=4$，得到点$(1,4)$
第2次运算：横坐标1是奇数，$f(1)=3×1+1=4$；纵坐标4是偶数，$f(4)=\frac{4}{2}=2$，得到点$(4,2)$
第3次运算：横坐标4是偶数，$f(4)=\frac{4}{2}=2$；纵坐标2是偶数，$f(2)=\frac{2}{2}=1$，得到点$(2,1)$，和初始点相同，说明每3次运算为一个循环周期。
计算2026除以周期3的结果：$2026÷3=675······1$，余数为1，说明第2026次运算后的点和第1次运算后的点相同。
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
新定义运算，坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题将新定义运算和平面直角坐标系点的变化结合，核心是通过计算前几次的运算结果找到循环周期，再利用余数定位目标结果，侧重考查学生的运算能力和归纳总结规律的能力。
【难度系数】
0.7
15.某地公园内有四棵古树A,B,C,D,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)请写出古树A,B的坐标;
(2)为了更好地保护古树,公园决定将四棵古树用围栏EHGF圈起来,划为保护区,请你计算保护区的面积.
(1)请写出古树A,B的坐标;
(2)为了更好地保护古树,公园决定将四棵古树用围栏EHGF圈起来,划为保护区,请你计算保护区的面积.
答案
15 解:(1)$A(10,10)$,$B(20,30)$.
(2)由题图,可得$S_{\mathrm{保护区}}=50×60-\frac{1}{2}×20×50-\frac{1}{2}×10×60-\frac{1}{2}×10×50=3\ 000-500-300-250=1\ 950$,
所以保护区的面积为1 950.
(2)由题图,可得$S_{\mathrm{保护区}}=50×60-\frac{1}{2}×20×50-\frac{1}{2}×10×60-\frac{1}{2}×10×50=3\ 000-500-300-250=1\ 950$,
所以保护区的面积为1 950.
解析
【分析】
(1) 求点的坐标时，根据平面直角坐标系坐标的定义，横坐标是过点向x轴作垂线，垂足对应的x轴数值，纵坐标是过点向y轴作垂线，垂足对应的y轴数值，据此可直接读出A、B的坐标。
(2) 保护区EHGF是不规则四边形，直接计算面积较复杂，可采用割补法中的补形法：将四边形补为一个大矩形，先计算大矩形的面积，再减去四边形外多余的三个直角三角形的面积，即可得到保护区的面积，这是坐标系中求不规则图形面积的常用思路。
【解析】
解：(1) 观察平面直角坐标系可得，点A的横坐标为10，纵坐标为10，故$A(10,10)$；点B的横坐标为20，纵坐标为30，故$B(20,30)$。
(2) 采用补形法计算保护区面积：
首先构造包含四边形$EHGF$的大矩形，该矩形的长为60，宽为50，面积为$60×50=3000$。
大矩形内除保护区外，剩余3个直角三角形，面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×20×50=500$，$S_2=\frac{1}{2}×10×60=300$，$S_3=\frac{1}{2}×10×50=250$。
因此保护区面积为：
$S_{\mathrm{保护区}}=3000-500-300-250=1950$。
【答案】
(1)$A(10,10)$，$B(20,30)$；
(2)保护区的面积为1950。
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标、割补法求面积、图形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形面积的求解，第一问为基础题，考察坐标的读写能力；第二问考察转化思想，将不规则图形转化为规则图形的面积差计算，是坐标系内面积计算的常考方法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 求点的坐标时，根据平面直角坐标系坐标的定义，横坐标是过点向x轴作垂线，垂足对应的x轴数值，纵坐标是过点向y轴作垂线，垂足对应的y轴数值，据此可直接读出A、B的坐标。
(2) 保护区EHGF是不规则四边形，直接计算面积较复杂，可采用割补法中的补形法：将四边形补为一个大矩形，先计算大矩形的面积，再减去四边形外多余的三个直角三角形的面积，即可得到保护区的面积，这是坐标系中求不规则图形面积的常用思路。
【解析】
解：(1) 观察平面直角坐标系可得，点A的横坐标为10，纵坐标为10，故$A(10,10)$；点B的横坐标为20，纵坐标为30，故$B(20,30)$。
(2) 采用补形法计算保护区面积：
首先构造包含四边形$EHGF$的大矩形，该矩形的长为60，宽为50，面积为$60×50=3000$。
大矩形内除保护区外，剩余3个直角三角形，面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×20×50=500$，$S_2=\frac{1}{2}×10×60=300$，$S_3=\frac{1}{2}×10×50=250$。
因此保护区面积为：
$S_{\mathrm{保护区}}=3000-500-300-250=1950$。
【答案】
(1)$A(10,10)$，$B(20,30)$；
(2)保护区的面积为1950。
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标、割补法求面积、图形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形面积的求解，第一问为基础题，考察坐标的读写能力；第二问考察转化思想，将不规则图形转化为规则图形的面积差计算，是坐标系内面积计算的常考方法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
16. 应用意识【阅读材料】
在平面直角坐标系中,点$ P(x,y) $的横坐标$ x $的绝对值表示为$|x|$,纵坐标$ y $的绝对值表示为$|y|$,我们把点$ P(x,y) $的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点$ P(x,y) $的“勾股值”,记为$[P]$,即$[P] = |x| + |y|$,如点$ P(1,2) $的“勾股值”$[P] = |1| + |2| = 3$.
【解决问题】
(1)求点$ A(-2,4), B(\sqrt{2} + \sqrt{3}, \sqrt{2} - \sqrt{3}) $的“勾股值”$[A],[B]$;
(2)若点$ M(x,y) $在$ x $轴的上方,其横、纵坐标均为整数,且$[M] = 3$,求点$ M $的坐标.
在平面直角坐标系中,点$ P(x,y) $的横坐标$ x $的绝对值表示为$|x|$,纵坐标$ y $的绝对值表示为$|y|$,我们把点$ P(x,y) $的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点$ P(x,y) $的“勾股值”,记为$[P]$,即$[P] = |x| + |y|$,如点$ P(1,2) $的“勾股值”$[P] = |1| + |2| = 3$.
【解决问题】
(1)求点$ A(-2,4), B(\sqrt{2} + \sqrt{3}, \sqrt{2} - \sqrt{3}) $的“勾股值”$[A],[B]$;
(2)若点$ M(x,y) $在$ x $轴的上方,其横、纵坐标均为整数,且$[M] = 3$,求点$ M $的坐标.
答案
16 解:(1)$[A]=|-2|+|4|=2+4=6$,
$[B]=|\sqrt{2}+\sqrt{3}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$.
(2)因为点$M(x,y)$在$x$轴的上方,所以$y＞0$.
因为点$M$的横、纵坐标均为整数,且$[M]=|x|+|y|=3$,
所以当$y=1$时,$x=\pm2$;当$y=2$时,$x=\pm1$;当$y=3$时,$x=0$,
所以点$M$的坐标为$(-1,2),(1,2),(-2,1),(2,1)$或$(0,3)$.
$[B]=|\sqrt{2}+\sqrt{3}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$.
(2)因为点$M(x,y)$在$x$轴的上方,所以$y＞0$.
因为点$M$的横、纵坐标均为整数,且$[M]=|x|+|y|=3$,
所以当$y=1$时,$x=\pm2$;当$y=2$时,$x=\pm1$;当$y=3$时,$x=0$,
所以点$M$的坐标为$(-1,2),(1,2),(-2,1),(2,1)$或$(0,3)$.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“勾股值”的定义：点的勾股值等于其横坐标与纵坐标的绝对值之和。（1）问直接将点A、B的坐标代入定义式，根据绝对值的性质化简计算即可；（2）问先根据点M在x轴上方得出y＞0的限制条件，再结合横纵坐标均为整数、勾股值为3的要求，对y的正整数值分类讨论，求出对应x的所有可能整数值即可得到点M的坐标，分类时注意做到不重不漏。
【解析】
(1) 根据“勾股值”的定义$[P]=|x|+|y|$：
计算$[A]$：将$A(-2,4)$代入得$[A]=|-2|+|4|=2+4=6$；
计算$[B]$：将$B(\sqrt{2}+\sqrt{3},\sqrt{2}-\sqrt{3})$代入得$[B]=|\sqrt{2}+\sqrt{3}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$，
因为$\sqrt{2}+\sqrt{3}＞0$，$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，去绝对值得：
$[B]=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$。
(2) 因为点$M(x,y)$在x轴上方，所以$y＞0$。
又因为点M的横、纵坐标均为整数，且$[M]=|x|+|y|=3$，分类讨论：
① 当$y=1$时，$|x|=2$，解得$x=\pm2$，对应点为$(-2,1)$、$(2,1)$；
② 当$y=2$时，$|x|=1$，解得$x=\pm1$，对应点为$(-1,2)$、$(1,2)$；
③ 当$y=3$时，$|x|=0$，解得$x=0$，对应点为$(0,3)$。
【答案】
(1) $[A]=6$，$[B]=2\sqrt{3}$；
(2) 点$M$的坐标为$(-2,1),(2,1),(-1,2),(1,2),(0,3)$
【知识点】
新定义运算、绝对值化简、平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是典型的新定义题型，侧重考查对新规则的理解应用能力和分类讨论思想，只要准确读懂“勾股值”的定义，分类讨论时考虑周全，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“勾股值”的定义：点的勾股值等于其横坐标与纵坐标的绝对值之和。（1）问直接将点A、B的坐标代入定义式，根据绝对值的性质化简计算即可；（2）问先根据点M在x轴上方得出y＞0的限制条件，再结合横纵坐标均为整数、勾股值为3的要求，对y的正整数值分类讨论，求出对应x的所有可能整数值即可得到点M的坐标，分类时注意做到不重不漏。
【解析】
(1) 根据“勾股值”的定义$[P]=|x|+|y|$：
计算$[A]$：将$A(-2,4)$代入得$[A]=|-2|+|4|=2+4=6$；
计算$[B]$：将$B(\sqrt{2}+\sqrt{3},\sqrt{2}-\sqrt{3})$代入得$[B]=|\sqrt{2}+\sqrt{3}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$，
因为$\sqrt{2}+\sqrt{3}＞0$，$\sqrt{2}-\sqrt{3}＜0$，去绝对值得：
$[B]=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$。
(2) 因为点$M(x,y)$在x轴上方，所以$y＞0$。
又因为点M的横、纵坐标均为整数，且$[M]=|x|+|y|=3$，分类讨论：
① 当$y=1$时，$|x|=2$，解得$x=\pm2$，对应点为$(-2,1)$、$(2,1)$；
② 当$y=2$时，$|x|=1$，解得$x=\pm1$，对应点为$(-1,2)$、$(1,2)$；
③ 当$y=3$时，$|x|=0$，解得$x=0$，对应点为$(0,3)$。
【答案】
(1) $[A]=6$，$[B]=2\sqrt{3}$；
(2) 点$M$的坐标为$(-2,1),(2,1),(-1,2),(1,2),(0,3)$
【知识点】
新定义运算、绝对值化简、平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是典型的新定义题型，侧重考查对新规则的理解应用能力和分类讨论思想，只要准确读懂“勾股值”的定义，分类讨论时考虑周全，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
