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3. 下列四个轴对称图形中,对称轴条数最多的是 (
A
) 答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确轴对称图形对称轴的定义：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。我们只需要逐个数出四个选项中图形的对称轴数量，再比较多少，就能选出对称轴最多的图形。
【解析】
我们逐个分析每个图形的对称轴条数：
1. 选项A：可以找到4条对称轴，分别是过圆心的竖直直线、水平直线，以及过圆心的两条斜向直线，沿这4条直线对折，图形两旁都能完全重合。
2. 选项B：可以找到2条对称轴，分别是过圆心的竖直直线和水平直线，沿斜向直线对折时图形无法完全重合，共2条对称轴。
3. 选项C：可以找到3条对称轴，分别是过圆心和内部三角形每个顶点的直线，共3条。
4. 选项D：只有1条对称轴，即过圆心的竖直直线，沿其他直线对折都无法重合。
比较可知，A的对称轴条数最多。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形、对称轴识别
【点评】
这道题主要考查对轴对称图形对称轴的判断，解题的关键是牢记对称轴的定义，仔细观察图形特征，避免漏数、多数对称轴。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确轴对称图形对称轴的定义：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。我们只需要逐个数出四个选项中图形的对称轴数量，再比较多少，就能选出对称轴最多的图形。
【解析】
我们逐个分析每个图形的对称轴条数：
1. 选项A：可以找到4条对称轴，分别是过圆心的竖直直线、水平直线，以及过圆心的两条斜向直线，沿这4条直线对折，图形两旁都能完全重合。
2. 选项B：可以找到2条对称轴，分别是过圆心的竖直直线和水平直线，沿斜向直线对折时图形无法完全重合，共2条对称轴。
3. 选项C：可以找到3条对称轴，分别是过圆心和内部三角形每个顶点的直线，共3条。
4. 选项D：只有1条对称轴，即过圆心的竖直直线，沿其他直线对折都无法重合。
比较可知，A的对称轴条数最多。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形、对称轴识别
【点评】
这道题主要考查对轴对称图形对称轴的判断，解题的关键是牢记对称轴的定义，仔细观察图形特征，避免漏数、多数对称轴。
【难度系数】
0.7
4.已知下列图形都是轴对称图形,请你画出它们所有的对称轴. 
答案
解：
根据“轴对称图形的对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线”按尺规作图要求绘制：
1. 图①：共1条对称轴，选取该图形的一组对称点，作出两点连线的垂直平分线，即为图①的唯一对称轴。
2. 图②：共2条对称轴，分别选取两对不同的对称点，依次作出两组对称点连线的垂直平分线，得到两条互相垂直的对称轴。
3. 图③：共4条对称轴，分别选取四对不同的对称点，依次作出每组对称点连线的垂直平分线，得到4条过图形中心、两两互相垂直的对称轴。
所有对称轴用虚线标注在对应图形上即可。
根据“轴对称图形的对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线”按尺规作图要求绘制：
1. 图①：共1条对称轴，选取该图形的一组对称点，作出两点连线的垂直平分线，即为图①的唯一对称轴。
2. 图②：共2条对称轴，分别选取两对不同的对称点，依次作出两组对称点连线的垂直平分线，得到两条互相垂直的对称轴。
3. 图③：共4条对称轴，分别选取四对不同的对称点，依次作出每组对称点连线的垂直平分线，得到4条过图形中心、两两互相垂直的对称轴。
所有对称轴用虚线标注在对应图形上即可。
解析
【分析】
要画出轴对称图形的对称轴，首先回忆相关性质：轴对称图形的对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线，再结合尺规作线段垂直平分线的方法即可求解。首先先判断每个图形的对称轴数量：图①只有上下方向的对称，共1条对称轴；图②有上下、左右两个方向的对称，共2条对称轴；图③是四角星形，共有4个方向的对称，共4条对称轴。接下来对每个图形，先找到对应的对称点，连接对称点得到线段，再用尺规作线段的垂直平分线，就是对应的对称轴，最后用虚线标注即可。
【解析】
根据“轴对称图形的对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线”按尺规作图要求绘制：
1. 图①：共1条对称轴，选取该图形的一组对称点，作出两点连线的垂直平分线，即为图①的唯一对称轴。
2. 图②：共2条对称轴，分别选取两对不同的对称点，依次作出两组对称点连线的垂直平分线，得到两条互相垂直的对称轴。
3. 图③：共4条对称轴，分别选取四对不同的对称点，依次作出每组对称点连线的垂直平分线，得到4条过图形中心、两两互相垂直的对称轴。
所有对称轴用虚线标注在对应图形上即可。
【答案】
图①作1条竖直方向的对称轴，图②作水平、竖直2条互相垂直的对称轴，图③作4条过图形中心、两两垂直的对称轴，均用虚线规范标注即可。
【知识点】
轴对称图形，线段垂直平分线作图，对称轴性质
【点评】
本题结合轴对称性质和尺规作图技能，既考查对对称轴概念的理解，也考查实操能力，解题时需先明确对称轴数量，作图要符合规范，不要漏画对称轴。
【难度系数】
0.8
要画出轴对称图形的对称轴，首先回忆相关性质：轴对称图形的对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线，再结合尺规作线段垂直平分线的方法即可求解。首先先判断每个图形的对称轴数量：图①只有上下方向的对称，共1条对称轴；图②有上下、左右两个方向的对称，共2条对称轴；图③是四角星形，共有4个方向的对称，共4条对称轴。接下来对每个图形，先找到对应的对称点，连接对称点得到线段，再用尺规作线段的垂直平分线，就是对应的对称轴，最后用虚线标注即可。
【解析】
根据“轴对称图形的对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线”按尺规作图要求绘制：
1. 图①：共1条对称轴，选取该图形的一组对称点，作出两点连线的垂直平分线，即为图①的唯一对称轴。
2. 图②：共2条对称轴，分别选取两对不同的对称点，依次作出两组对称点连线的垂直平分线，得到两条互相垂直的对称轴。
3. 图③：共4条对称轴，分别选取四对不同的对称点，依次作出每组对称点连线的垂直平分线，得到4条过图形中心、两两互相垂直的对称轴。
所有对称轴用虚线标注在对应图形上即可。
【答案】
图①作1条竖直方向的对称轴，图②作水平、竖直2条互相垂直的对称轴，图③作4条过图形中心、两两垂直的对称轴，均用虚线规范标注即可。
【知识点】
轴对称图形，线段垂直平分线作图，对称轴性质
【点评】
本题结合轴对称性质和尺规作图技能，既考查对对称轴概念的理解，也考查实操能力，解题时需先明确对称轴数量，作图要符合规范，不要漏画对称轴。
【难度系数】
0.8
5. 作出下列图形的对称轴.（请用尺规作图的方法,不写作法,保留作图痕迹）
答案
5. 如图.
（直线l即为所求）
（直线l,a即为所求）
（直线l即为所求）解析
【分析】
要解决作对称轴的问题，首先回忆对称轴的性质：轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对称轴，是任意一组对应点所连线段的垂直平分线。解题思路为：1. 先在图形中找出一组或两组明显的对应点；2. 用尺规作这组对应点连线的垂直平分线，所得直线就是图形的对称轴；如果图形有多条对称轴，重复上述操作即可。
【解析】
1. 第一个轴对称图形：选取图形上下两个对称的特征点，用尺规作两点连线的垂直平分线，所得直线l即为该图形的对称轴。
2. 第二个十字形轴对称图形：它有2条对称轴，分别选取竖直方向、水平方向的两组对应点，依次作两组对应点连线的垂直平分线，得到竖直直线a和水平直线l，即为该图形的两条对称轴。
3. 两个相交圆组成的图形：选取两圆的圆心（或两圆的两个交点）作为一组对应点，作两点连线的垂直平分线，所得直线l即为该图形的对称轴。
所有作图保留尺规画弧的痕迹即可。
【答案】
（直线l即为所求）
（直线l,a即为所求）
（直线l即为所求）
【知识点】
轴对称的性质，尺规作垂直平分线，对称轴识别
【点评】
本题属于基础作图题，核心是理解对称轴的本质是对应点连线的垂直平分线，既考察了轴对称相关概念的掌握，也考察了尺规作图的基本操作能力，作图时要注意规范保留画弧痕迹。
【难度系数】
0.8
要解决作对称轴的问题，首先回忆对称轴的性质：轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对称轴，是任意一组对应点所连线段的垂直平分线。解题思路为：1. 先在图形中找出一组或两组明显的对应点；2. 用尺规作这组对应点连线的垂直平分线，所得直线就是图形的对称轴；如果图形有多条对称轴，重复上述操作即可。
【解析】
1. 第一个轴对称图形：选取图形上下两个对称的特征点，用尺规作两点连线的垂直平分线，所得直线l即为该图形的对称轴。
2. 第二个十字形轴对称图形：它有2条对称轴，分别选取竖直方向、水平方向的两组对应点，依次作两组对应点连线的垂直平分线，得到竖直直线a和水平直线l，即为该图形的两条对称轴。
3. 两个相交圆组成的图形：选取两圆的圆心（或两圆的两个交点）作为一组对应点，作两点连线的垂直平分线，所得直线l即为该图形的对称轴。
所有作图保留尺规画弧的痕迹即可。
【答案】
（直线l即为所求）（直线l,a即为所求）（直线l即为所求）【知识点】
轴对称的性质，尺规作垂直平分线，对称轴识别
【点评】
本题属于基础作图题，核心是理解对称轴的本质是对应点连线的垂直平分线，既考察了轴对称相关概念的掌握，也考察了尺规作图的基本操作能力，作图时要注意规范保留画弧痕迹。
【难度系数】
0.8
6. 如图,某城市郊区有A,B两所学校,在距学校不远处有两个工厂C,D,现在要在它们之间建一个邮信筒,使得这个邮信筒到A,B两所学校的距离相等,同时到C,D两个工厂的距离也相等,请在图中标出邮信筒应建的位置.
答案
6. 如图,点P即为邮信筒应建的位置.
解析
【分析】
要找到同时满足“到A、B两所学校距离相等”和“到C、D两个工厂距离相等”的点，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到C、D距离相等的点都在CD的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足两个条件，即为邮信筒的位置。
【解析】
步骤1：连接AB，使用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线$l_1$；
步骤2：连接CD，使用尺规作图法作出线段CD的垂直平分线$l_2$；
步骤3：$l_1$与$l_2$的交点P就是所求的邮信筒的位置，该点到A、B距离相等，到C、D的距离也相等。
【答案】
如图,点P即为邮信筒应建的位置.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题关键是将实际的距离相等需求转化为对应的几何条件，借助线段垂直平分线的性质快速定位所求点的位置，掌握垂直平分线的相关性质和尺规作图方法是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
要找到同时满足“到A、B两所学校距离相等”和“到C、D两个工厂距离相等”的点，可结合线段垂直平分线的性质思考：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到C、D距离相等的点都在CD的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足两个条件，即为邮信筒的位置。
【解析】
步骤1：连接AB，使用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线$l_1$；
步骤2：连接CD，使用尺规作图法作出线段CD的垂直平分线$l_2$；
步骤3：$l_1$与$l_2$的交点P就是所求的邮信筒的位置，该点到A、B距离相等，到C、D的距离也相等。
【答案】
如图,点P即为邮信筒应建的位置.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题关键是将实际的距离相等需求转化为对应的几何条件，借助线段垂直平分线的性质快速定位所求点的位置，掌握垂直平分线的相关性质和尺规作图方法是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.8
7. 如图,已知线段$m$,射线$AB$及射线$AB$外一点$M$.请根据给出的图的相对位置,利用圆规和无刻度的直尺求作一个$\mathrm{Rt}△ MNK$,使$MN$为一条直角边,另一条直角边$NK$在射线$AB$上,使斜边$MK$的长度等于线段$m$的长度(只要求保留清晰的作图痕迹).
答案
7. 如图,Rt△MNK即为所求.
解析
【分析】
要作满足条件的$\mathrm{Rt}△ MNK$，需先明确图形要求：首先$∠ MNK$为直角，因此$MN⊥ AB$，直角顶点$N$是点$M$到$AB$的垂足；其次斜边$MK$的长度等于线段$m$。解题思路如下：第一步先过点$M$作$AB$的垂线，得到垂足$N$，确定直角顶点和直角边$MN$；第二步以$M$为圆心、线段$m$的长度为半径画弧，与射线$AB$的交点即为点$K$，保证斜边$MK=m$；最后连接$MK$即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点$M$作$MN⊥ AB$，垂足为$N$，此时$MN$为直角边，点$N$在射线$AB$上，满足$NK$在$AB$上的要求；
2. 用圆规截取线段$m$的长度，以点$M$为圆心，$m$的长为半径画弧，交射线$AB$于点$K$，此时$MK=m$，符合斜边长度要求；
3. 连接$MK$，得到的$△ MNK$即为所求的直角三角形。
【答案】
如图,$\mathrm{Rt}△ MNK$即为所求.
【知识点】
1. 过一点作已知直线的垂线
2. 作线段等于已知线段
3. 直角三角形的定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，将两种基本作图结合考察，解题的关键是结合直角三角形的特征明确作图顺序，作图时要注意保留清晰的作图痕迹，符合尺规作图的规范要求。
【难度系数】
0.7
要作满足条件的$\mathrm{Rt}△ MNK$，需先明确图形要求：首先$∠ MNK$为直角，因此$MN⊥ AB$，直角顶点$N$是点$M$到$AB$的垂足；其次斜边$MK$的长度等于线段$m$。解题思路如下：第一步先过点$M$作$AB$的垂线，得到垂足$N$，确定直角顶点和直角边$MN$；第二步以$M$为圆心、线段$m$的长度为半径画弧，与射线$AB$的交点即为点$K$，保证斜边$MK=m$；最后连接$MK$即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点$M$作$MN⊥ AB$，垂足为$N$，此时$MN$为直角边，点$N$在射线$AB$上，满足$NK$在$AB$上的要求；
2. 用圆规截取线段$m$的长度，以点$M$为圆心，$m$的长为半径画弧，交射线$AB$于点$K$，此时$MK=m$，符合斜边长度要求；
3. 连接$MK$，得到的$△ MNK$即为所求的直角三角形。
【答案】
如图,$\mathrm{Rt}△ MNK$即为所求.
【知识点】
1. 过一点作已知直线的垂线
2. 作线段等于已知线段
3. 直角三角形的定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，将两种基本作图结合考察，解题的关键是结合直角三角形的特征明确作图顺序，作图时要注意保留清晰的作图痕迹，符合尺规作图的规范要求。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$△ ABC$中.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作边AC的垂直平分线交BC于点P;
②作$∠ BAC$的平分线交BC于点Q;
(2)若$∠ B=30°$,在(1)的条件下,当$∠ C=$
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法):
①作边AC的垂直平分线交BC于点P;
②作$∠ BAC$的平分线交BC于点Q;
(2)若$∠ B=30°$,在(1)的条件下,当$∠ C=$
50°
时,点P和点Q重合.答案
8. (1)①如图,直线PM即为所求；
②如图,射线AQ即为所求.
(2)$50°$
解析
【分析】
(1) 尺规作图部分思路：①作AC的垂直平分线时，分别以点A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，就是AC的垂直平分线，它和BC的交点即为P；②作∠BAC的角平分线时，以A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过A和该交点作射线，和BC的交点即为Q。
(2) 当P、Q重合时，该点同时满足两个性质：一是在AC的垂直平分线上，可得PA=PC，推出∠PAC=∠C；二是在∠BAC的角平分线上，可得∠BAP=∠PAC，因此∠BAC=2∠C，结合三角形内角和为180°，代入已知的∠B=30°，即可求出∠C的度数。
【解析】
(1) 按尺规作图规范作出的图形如下：
①直线PM即为所求的AC的垂直平分线；②射线AQ即为所求的∠BAC的角平分线。
(2) 当P、Q重合时：
∵点P在AC的垂直平分线上，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠C。
又
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠PAC=∠C，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAC=2∠C。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，
已知$∠ B=30°$，代入得：
$30° + 2∠ C + ∠ C = 180°$，
$3∠ C = 150°$，
解得$∠ C=50°$。
【答案】
(1)①如图，直线PM即为所求；②如图，射线AQ即为所求。
(2)$50°$
【知识点】
1. 尺规作图
2. 垂直平分线的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题将尺规作图和三角形性质计算结合，既考查了基础作图操作能力，又考查了对垂直平分线性质、角平分线定义、三角形内角和定理的综合运用能力，解题时找准重合点对应的性质、理清角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 尺规作图部分思路：①作AC的垂直平分线时，分别以点A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，就是AC的垂直平分线，它和BC的交点即为P；②作∠BAC的角平分线时，以A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过A和该交点作射线，和BC的交点即为Q。
(2) 当P、Q重合时，该点同时满足两个性质：一是在AC的垂直平分线上，可得PA=PC，推出∠PAC=∠C；二是在∠BAC的角平分线上，可得∠BAP=∠PAC，因此∠BAC=2∠C，结合三角形内角和为180°，代入已知的∠B=30°，即可求出∠C的度数。
【解析】
(1) 按尺规作图规范作出的图形如下：
①直线PM即为所求的AC的垂直平分线；②射线AQ即为所求的∠BAC的角平分线。
(2) 当P、Q重合时：
∵点P在AC的垂直平分线上，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠C。
又
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠PAC=∠C，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAC=2∠C。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，
已知$∠ B=30°$，代入得：
$30° + 2∠ C + ∠ C = 180°$，
$3∠ C = 150°$，
解得$∠ C=50°$。
【答案】
(1)①如图，直线PM即为所求；②如图，射线AQ即为所求。
(2)$50°$
【知识点】
1. 尺规作图
2. 垂直平分线的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题将尺规作图和三角形性质计算结合，既考查了基础作图操作能力，又考查了对垂直平分线性质、角平分线定义、三角形内角和定理的综合运用能力，解题时找准重合点对应的性质、理清角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
