1. 下列四个多项式中,能因式分解的是 ()

A.$a^2+1$
B.$a^2-6a+9$
C.$x^2+5y$
D.$x^2-5y$

1. B

【分析】
解题时首先要明确因式分解的核心是将多项式转化为几个整式乘积的形式，现阶段我们常用的因式分解公式有平方差公式和完全平方公式，解题时可先排查每个选项是否有公因式，再对照两个公式的结构特征逐一判断是否能分解即可。
【解析】
我们先回忆因式分解常用的两个公式特征：
①平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，满足“两项、异号、均为平方项”的特征；
②完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，满足“三项、两个平方项同号、中间项为两底数乘积的2倍”的特征。
对各选项逐一分析：
A选项：$a^2+1$是两项同号的平方和，不符合上述两个公式的结构，也没有公因式，不能因式分解；
B选项：$a^2-6a+9=a^2-2· a·3+3^2$，完全符合完全平方差公式的结构，可分解为$(a-3)^2$，能因式分解；
C选项：$x^2+5y$两项同号，$5y$不是整式的平方，不符合公式结构，无公因式，不能因式分解；
D选项：$x^2-5y$中$5y$不是整式的平方，不符合平方差公式的结构，无公因式，不能因式分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的概念、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的判断，核心是熟练掌握平方差和完全平方公式的结构特征，逐一对比选项即可快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9

2. 若 $a + b = 2$，$ab = 1$，则 $a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 = $

2. 4

【分析】
解题时先观察所求代数式的结构特征，发现各项均含有公因式$ab$，因此第一步先提取公因式；提取公因式后余下的多项式符合完全平方公式的形式，可进一步用完全平方公式分解因式，将代数式转化为含有已知条件$a+b$、$ab$的形式，最后整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 &= ab(a^2 + 2ab + b^2) \\&= ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=2$，$ab=1$代入上式得：
原式$=1× 2^2 = 1×4=4$
【答案】
4
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的整式乘积形式，再整体代入计算，可避免求解未知数的复杂运算，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8

3. 给出下列式子: ①$-x^2 - xy - y^2$; ②$\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2$; ③$-4ab^2 - a^2 + 4b^4$; ④$4x^2 + 9y^2 - 12xy$; ⑤$3x^2 + 6xy + 3y^2$. 其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

3. C

【分析】
解题时首先明确能用完全平方公式分解因式的多项式的特征：1. 多项式为三项式；2. 其中有两项是两个整式的平方，且这两项符号相同；3. 剩余一项是这两个整式乘积的2倍，符号可正可负。我们先对每个式子进行整理（有公因式先提取公因式），再对照上述特征逐一判断即可得出结果。
【解析】
我们逐个分析5个式子：
① $-x^2 - xy - y^2$：提取负号得$-(x^2 + xy + y^2)$，中间项为$xy$，不是$x$与$y$乘积的2倍，不符合完全平方式特征，无法用完全平方公式分解。
② $\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2$：先提取公因式$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2)$，括号内符合完全平方式，可分解为$(a-b)^2$，即原式$=\frac{1}{2}(a-b)^2$，符合要求。
③ $-4ab^2 - a^2 + 4b^4$：整理为$4b^4 - 4ab^2 - a^2$，平方项$4b^4$为正、$a^2$为负，两个平方项符号不同，不符合完全平方式特征，无法用完全平方公式分解。
④ $4x^2 + 9y^2 - 12xy$：整理为$4x^2 - 12xy + 9y^2$，是$(2x)^2 - 2· 2x· 3y + (3y)^2$，符合完全平方式，可分解为$(2x-3y)^2$，符合要求。
⑤ $3x^2 + 6xy + 3y^2$：先提取公因式3，得$3(x^2 + 2xy + y^2)$，括号内可分解为$(x+y)^2$，即原式$=3(x+y)^2$，符合要求。
综上，符合要求的式子有②④⑤，共3个。
【答案】C
【知识点】完全平方公式分解因式；提公因式法分解因式；完全平方式的特征
【点评】本题考查完全平方公式分解因式的应用，解题关键是牢记完全平方式的结构特征，遇到含公因式的多项式时要先提取公因式再判断，易错点是忽略平方项需同号、或误将非2倍乘积的项当做完全平方式的中间项。
【难度系数】0.7

4. 分解因式:
(1)$a^2+2a+1=$;
(2)$a^3-2a^2b+ab^2=$;
(3)$a-6ab+9ab^2=$;
(4)$mn^2+6mn+9m=$;
(5)$4a^3-12a^2+9a=$;
(6)$3x^2y+12xy^2+12y^3=$.

4. (1)$(a+1)^2$
(2)$a(a-b)^2$
(3)$a(1-3b)^2$
(4)$m(n+3)^2$
(5)$a(2a-3)^2$
(6)$3y(x+2y)^2$

【分析】
这组因式分解题遵循因式分解的通用步骤“一提二套三查”求解即可：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合完全平方公式的结构特征（形如$a^2\pm2ab+b^2$），符合则套用完全平方公式继续分解；第三步检查最终结果是否分解彻底，不能再继续分解为止。
【解析】
(1) 多项式$a^2+2a+1$无公因式，符合完全平方和公式结构：$a^2+2· a·1+1^2$，直接套用公式得$a^2+2a+1=(a+1)^2$。
(2) 先提取公因式$a$，得$a(a^2-2ab+b^2)$，剩余部分$a^2-2ab+b^2$符合完全平方差公式特征，因此分解为$a(a-b)^2$。
(3) 先提取公因式$a$，得$a(1-6b+9b^2)$，剩余部分$1-6b+9b^2=1^2-2·1·3b+(3b)^2$，符合完全平方差公式特征，因此分解为$a(1-3b)^2$。
(4) 先提取公因式$m$，得$m(n^2+6n+9)$，剩余部分$n^2+6n+9=n^2+2· n·3+3^2$，符合完全平方和公式特征，因此分解为$m(n+3)^2$。
(5) 先提取公因式$a$，得$a(4a^2-12a+9)$，剩余部分$4a^2-12a+9=(2a)^2-2·2a·3+3^2$，符合完全平方差公式特征，因此分解为$a(2a-3)^2$。
(6) 先提取公因式$3y$，得$3y(x^2+4xy+4y^2)$，剩余部分$x^2+4xy+4y^2=x^2+2· x·2y+(2y)^2$，符合完全平方和公式特征，因此分解为$3y(x+2y)^2$。
【答案】
(1)$(a+1)^2$；(2)$a(a-b)^2$；(3)$a(1-3b)^2$；(4)$m(n+3)^2$；(5)$a(2a-3)^2$；(6)$3y(x+2y)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解步骤
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规流程和完全平方公式的结构识别，解题时需注意不要漏提公因式，最后要检查分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.85

5. (1)已知$4x^2 - ax + 9$是完全平方式，则$a=$.
(2)已知$x^2 - 6x + m$是完全平方式，则$m=$.

5. (1)$\pm12$
(2)9

【分析】
这两道题均考查完全平方式的结构特征，解题时先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式满足“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”，且中间项符号有正、负两种可能。
第(1)题：先把已知式子的首项、末项转化为平方形式，确定公式中对应的两个平方项的底数，再根据中间项的两种可能计算a的值；
第(2)题：已知首项和中间项，先根据中间项的系数确定常数项的底数，再计算常数项即m的值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，已知$4x^2 - ax +9$是完全平方式：
首项$4x^2=(2x)^2$，末项$9=3^2$，因此该完全平方式可写为$(2x\pm3)^2$。
分别展开两种情况：
①$(2x+3)^2=4x^2 + 12x +9$，对比原式$4x^2 -ax +9$，得$-ax=12x$，解得$a=-12$；
②$(2x-3)^2=4x^2 -12x +9$，对比原式$4x^2 -ax +9$，得$-ax=-12x$，解得$a=12$。
因此$a=\pm12$。
(2) 已知$x^2 -6x +m$是完全平方式：
首项为$x^2$，中间项$-6x=-2× x×3$，根据完全平方公式的结构，常数项应为$3^2=9$，因此$m=9$。
【答案】
(1)$\pm12$；(2)$9$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握完全平方式的结构特点，注意求一次项系数相关参数时，中间项的符号有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8

6. 分解因式：
(1)$x^2 -8xy +16y^2$；
(2)$x^2 +xy +\frac{1}{4}y^2$；
(3)$a^3 +2a^2 +a$；
(4)$4a^2 +b^2 -4ab$；
(5)$-x^2 -y^2 -2xy$；
(6)$2a^3b -4a^2b^2 +2ab^3$。

6. (1)$(x-4y)^2$
(2)$(x+\frac{1}{2}y)^2$
(3)$a(a+1)^2$
(4)$(2a-b)^2$
(5)$-(x+y)^2$
(6)$2ab(a-b)^2$

【分析】
这组题目均为因式分解基础题，解题遵循因式分解的常规步骤：①先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；②再判断剩余多项式是否符合完全平方公式的结构特征（完全平方式需满足：有两个同号的平方项，还有一项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负），对应套用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$即可完成分解，注意最后结果要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 多项式$x^2 -8xy +16y^2$中，$x^2$是$x$的平方，$16y^2=(4y)^2$，中间项$-8xy=-2· x·4y$，符合完全平方差公式结构，因此：
$x^2 -8xy +16y^2=(x-4y)^2$
(2) 多项式$x^2 +xy +\frac{1}{4}y^2$中，$x^2$是$x$的平方，$\frac{1}{4}y^2=(\frac{1}{2}y)^2$，中间项$xy=+2· x·\frac{1}{2}y$，符合完全平方和公式结构，因此：
$x^2 +xy +\frac{1}{4}y^2=(x+\frac{1}{2}y)^2$
(3) 先观察到多项式各项均含公因式$a$，先提取公因式：
$a^3 +2a^2 +a=a(a^2+2a+1)$
剩余部分$a^2+2a+1$符合完全平方和公式结构，即$a^2+2a+1=(a+1)^2$，因此：
$a^3 +2a^2 +a=a(a+1)^2$
(4) 多项式$4a^2 +b^2 -4ab$中，$4a^2=(2a)^2$，$b^2$是$b$的平方，中间项$-4ab=-2·2a· b$，符合完全平方差公式结构，因此：
$4a^2 +b^2 -4ab=(2a-b)^2$
(5) 多项式前两项均为负号，先提取公因式$-1$：
$-x^2 -y^2 -2xy=-(x^2+2xy+y^2)$
剩余部分$x^2+2xy+y^2$符合完全平方和公式结构，即$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，因此：
$-x^2 -y^2 -2xy=-(x+y)^2$
(6) 先观察到多项式各项均含公因式$2ab$，先提取公因式：
$2a^3b -4a^2b^2 +2ab^3=2ab(a^2-2ab+b^2)$
剩余部分$a^2-2ab+b^2$符合完全平方差公式结构，即$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此：
$2a^3b -4a^2b^2 +2ab^3=2ab(a-b)^2$
【答案】
(1)$(x-4y)^2$
(2)$(x+\frac{1}{2}y)^2$
(3)$a(a+1)^2$
(4)$(2a-b)^2$
(5)$-(x+y)^2$
(6)$2ab(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本组题目是因式分解的常规基础题型，核心考查对完全平方公式结构的识别能力，解题时需注意优先提取公因式，同时要注意符号处理，避免因符号判断错误导致失分，熟练掌握公式特征是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8