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8. 计算$(-2)^{63}+(-2)^{64}$的结果是(
A.$2^{63}$
B.$-2^{63}$
C.1
D.2
A
)。A.$2^{63}$
B.$-2^{63}$
C.1
D.2
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先观察式子特征：两个项都是以-2为底数的乘方，指数仅相差1，无需直接计算高次幂的结果。根据乘方的意义，先把$(-2)^{64}$转化为$(-2)^{63}×(-2)$，再把公共部分$(-2)^{63}$提取出来，结合有理数的加减、乘法法则逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：对原式变形计算如下：
$\begin{aligned}(-2)^{63}+(-2)^{64}&=(-2)^{63}+(-2)^{63}×(-2)\\&=(-2)^{63}×[1+(-2)]\\&=(-2)^{63}×(-1)\end{aligned}$
因为负数的奇次幂是负数，所以$(-2)^{63}=-2^{63}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-2^{63}×(-1)\\&=2^{63}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；简便计算
【点评】
本题考查乘方相关的混合运算，解题核心是利用乘方的意义找到两项的公共部分，通过拆分高次幂简化运算，运算时要注意负数乘方的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子特征：两个项都是以-2为底数的乘方，指数仅相差1，无需直接计算高次幂的结果。根据乘方的意义，先把$(-2)^{64}$转化为$(-2)^{63}×(-2)$，再把公共部分$(-2)^{63}$提取出来，结合有理数的加减、乘法法则逐步化简即可得到结果。
【解析】
解：对原式变形计算如下：
$\begin{aligned}(-2)^{63}+(-2)^{64}&=(-2)^{63}+(-2)^{63}×(-2)\\&=(-2)^{63}×[1+(-2)]\\&=(-2)^{63}×(-1)\end{aligned}$
因为负数的奇次幂是负数，所以$(-2)^{63}=-2^{63}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-2^{63}×(-1)\\&=2^{63}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；简便计算
【点评】
本题考查乘方相关的混合运算，解题核心是利用乘方的意义找到两项的公共部分，通过拆分高次幂简化运算，运算时要注意负数乘方的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
9.德国数学家莱布尼茨证明了$π=4×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{15}+···),$由此可知：$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{15}-···=$
$\frac{4-π}{4}$
。答案
9.$\frac{4-π}{4}$
解析
【分析】
解题时先观察已知的π的表达式和待求式子的结构关联：已知式子括号内1之后的部分，正好是待求式子整体添负号的结果。我们可以先利用等式的性质对已知等式变形，再通过整体代换的方式，把待求式子看作一个整体，通过移项、通分计算即可得到结果。
【解析】
设待求式$x=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{15}-···$
由题可知：
$π=4×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{15}+···)$
将括号内的式子变形可得：
$1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+···=1-(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-···)=1-x$
代入原式得：
$π=4×(1-x)$
两边同时除以4：
$\dfrac{π}{4}=1-x$
移项得：
$x=1-\dfrac{π}{4}$
通分计算：
$x=\dfrac{4}{4}-\dfrac{π}{4}=\dfrac{4-π}{4}$
【答案】
$\dfrac{4-π}{4}$
【知识点】
等式的基本性质，整体代换，分数运算
【点评】
本题重点考查式子结构观察能力和整体代换思想的应用，解题核心是快速找到待求式与已知表达式的关联，不需要逐一计算无穷项，通过整体变形即可快速求解，属于基础的变形类题目。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知的π的表达式和待求式子的结构关联：已知式子括号内1之后的部分，正好是待求式子整体添负号的结果。我们可以先利用等式的性质对已知等式变形，再通过整体代换的方式，把待求式子看作一个整体，通过移项、通分计算即可得到结果。
【解析】
设待求式$x=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{15}-···$
由题可知：
$π=4×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{15}+···)$
将括号内的式子变形可得：
$1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+···=1-(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-···)=1-x$
代入原式得：
$π=4×(1-x)$
两边同时除以4：
$\dfrac{π}{4}=1-x$
移项得：
$x=1-\dfrac{π}{4}$
通分计算：
$x=\dfrac{4}{4}-\dfrac{π}{4}=\dfrac{4-π}{4}$
【答案】
$\dfrac{4-π}{4}$
【知识点】
等式的基本性质，整体代换，分数运算
【点评】
本题重点考查式子结构观察能力和整体代换思想的应用，解题核心是快速找到待求式与已知表达式的关联，不需要逐一计算无穷项，通过整体变形即可快速求解，属于基础的变形类题目。
【难度系数】
0.7
10. 如图，飞机从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度（单位：km）记录如下：+2.5，−1.2，+1.1，−1.5，+0.8。
（1）求飞机最后所在的位置相对开始位置的高度差。
（2）若飞机平均上升1 km需消耗6 L燃油，平均下降1 km需消耗4 L燃油，则飞机在这五次特技飞行中共消耗了多少升燃油？
（1）求飞机最后所在的位置相对开始位置的高度差。
（2）若飞机平均上升1 km需消耗6 L燃油，平均下降1 km需消耗4 L燃油，则飞机在这五次特技飞行中共消耗了多少升燃油？
答案
10.解:(1)根据题意知,飞机最后所在的位置为：
$+2.5-1.2+1.1-1.5+0.8=1.7(\mathrm{km})$。
答:飞机最后所在的位置相对开始位置的高度差为1.7 km。
(2)根据题意可知,飞机在这五次特技飞行中共消耗的燃油量为：
$(2.5+1.1+0.8)×6+(1.2+1.5)×4$
$=4.4×6+2.7×4$
$=26.4+10.8$
$=37.2(\mathrm{L})$。
答:一共消耗37.2 L燃油。
$+2.5-1.2+1.1-1.5+0.8=1.7(\mathrm{km})$。
答:飞机最后所在的位置相对开始位置的高度差为1.7 km。
(2)根据题意可知,飞机在这五次特技飞行中共消耗的燃油量为：
$(2.5+1.1+0.8)×6+(1.2+1.5)×4$
$=4.4×6+2.7×4$
$=26.4+10.8$
$=37.2(\mathrm{L})$。
答:一共消耗37.2 L燃油。
解析
【分析】
（1）求相对开始位置的高度差时，因为上升记为正、下降记为负，最终高度差就是五次高度变化的代数和，直接将五个记录的数相加即可，结果的正负代表最终位置比起始位置高或低。
（2）计算耗油量时，耗油量只和移动的距离有关，和升降方向无关，且上升、下降的油耗标准不同。因此首先要分别统计上升的总高度（所有正数的和）、下降的总高度（所有负数的绝对值的和），再分别对应乘各自的油耗标准，相加后得到总耗油量。
【解析】
(1) 根据题意，计算五次高度变化的和：
$\begin{aligned}&+2.5-1.2+1.1-1.5+0.8\\=&(2.5+1.1+0.8)-(1.2+1.5)\\=&4.4-2.7\\=&1.7(\mathrm{km})\end{aligned}$
(2) 先分别计算上升、下降的总高度：
上升总高度：$2.5+1.1+0.8=4.4(\mathrm{km})$
下降总高度：$\vert-1.2\vert+\vert-1.5\vert=1.2+1.5=2.7(\mathrm{km})$
再计算总耗油量：
$\begin{aligned}&4.4×6 + 2.7×4\\=&26.4+10.8\\=&37.2(\mathrm{L})\end{aligned}$
【答案】
(1) 飞机最后所在的位置相对开始位置的高度差为1.7 km；
(2) 飞机在这五次特技飞行中共消耗了37.2 L燃油。
【知识点】
有理数加减混合运算、绝对值的实际应用、有理数混合运算
【点评】
本题结合实际场景考查有理数的相关运算，解题核心是明确正负号的实际意义，区分“带方向的高度差”和“无方向的移动距离”两种不同的计算逻辑，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
（1）求相对开始位置的高度差时，因为上升记为正、下降记为负，最终高度差就是五次高度变化的代数和，直接将五个记录的数相加即可，结果的正负代表最终位置比起始位置高或低。
（2）计算耗油量时，耗油量只和移动的距离有关，和升降方向无关，且上升、下降的油耗标准不同。因此首先要分别统计上升的总高度（所有正数的和）、下降的总高度（所有负数的绝对值的和），再分别对应乘各自的油耗标准，相加后得到总耗油量。
【解析】
(1) 根据题意，计算五次高度变化的和：
$\begin{aligned}&+2.5-1.2+1.1-1.5+0.8\\=&(2.5+1.1+0.8)-(1.2+1.5)\\=&4.4-2.7\\=&1.7(\mathrm{km})\end{aligned}$
(2) 先分别计算上升、下降的总高度：
上升总高度：$2.5+1.1+0.8=4.4(\mathrm{km})$
下降总高度：$\vert-1.2\vert+\vert-1.5\vert=1.2+1.5=2.7(\mathrm{km})$
再计算总耗油量：
$\begin{aligned}&4.4×6 + 2.7×4\\=&26.4+10.8\\=&37.2(\mathrm{L})\end{aligned}$
【答案】
(1) 飞机最后所在的位置相对开始位置的高度差为1.7 km；
(2) 飞机在这五次特技飞行中共消耗了37.2 L燃油。
【知识点】
有理数加减混合运算、绝对值的实际应用、有理数混合运算
【点评】
本题结合实际场景考查有理数的相关运算，解题核心是明确正负号的实际意义，区分“带方向的高度差”和“无方向的移动距离”两种不同的计算逻辑，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
11.【问题情境】从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任意抽取4张,根据牌面上的数字进行混合运算(每一张牌只能用一次),使得运算结果为24或－24,其中红色扑克牌代表负数,黑色扑克牌代表正数,J,Q,K分别代表11,12,13。比如,小亮抽到黑桃7、黑桃3、梅花3、梅花7,他列出如下算式,并求得24,即:$7×(3+3÷7)=24$。
【问题解决】
(1)小亮抽到了黑桃7、黑桃3、红桃3、梅花7,请你帮助小亮凑成24；
(2)小莹抽到了黑桃Q、红桃K、梅花3、方块A,请你帮助小莹凑成－24。
【问题解决】
(1)小亮抽到了黑桃7、黑桃3、红桃3、梅花7,请你帮助小亮凑成24；
(2)小莹抽到了黑桃Q、红桃K、梅花3、方块A,请你帮助小莹凑成－24。
答案
11.解:(1)$7×[3-(-3)÷7]$
$=7×[3+\frac{3}{7}]$
$=7×3+7×\frac{3}{7}$
$=21+3=24$；
(2)$-1-(-13)-12×3$
$=12-36=-24$。
$=7×[3+\frac{3}{7}]$
$=7×3+7×\frac{3}{7}$
$=21+3=24$；
(2)$-1-(-13)-12×3$
$=12-36=-24$。
解析
【分析】
解题时首先按照规则将牌面转换为对应有理数：黑色牌代表正数，红色牌代表负数，Q对应12、K对应13、A对应1，每张牌仅可使用一次，再结合有理数混合运算规则尝试组合得到目标结果。
第(1)问转换后得到数字7、3、-3、7，可参考题干给出的示例思路，调整运算符号适配负数即可凑出24；第(2)问转换后得到数字12、-13、3、-1，可先计算乘法部分，再通过加减运算调整得到-24。
【解析】
(1) 先明确各牌对应数值：黑桃7=7，黑桃3=3，红桃3=-3，梅花7=7，可列算式计算：
$7×[3-(-3)÷7]$
$=7×[3+\frac{3}{7}]$
$=7×3+7×\frac{3}{7}$
$=21+3=24$
(2) 先明确各牌对应数值：黑桃Q=12，红桃K=-13，梅花3=3，方块A=-1，可列算式计算：
$-1-(-13)-12×3$
$=-1+13-36$
$=12-36=-24$
（两问算式均不唯一，符合要求即可）
【答案】
(1) $7×[3-(-3)÷7]=24$
(2) $-1-(-13)-12×3=-24$
【知识点】
有理数混合运算，有理数符号法则，四则巧算
【点评】
本题结合趣味游戏考查有理数运算的应用，需要熟练掌握有理数的运算顺序和符号变化规则，解题时可多尝试不同运算组合，锻炼数感和运算灵活度。
【难度系数】
0.6
解题时首先按照规则将牌面转换为对应有理数：黑色牌代表正数，红色牌代表负数，Q对应12、K对应13、A对应1，每张牌仅可使用一次，再结合有理数混合运算规则尝试组合得到目标结果。
第(1)问转换后得到数字7、3、-3、7，可参考题干给出的示例思路，调整运算符号适配负数即可凑出24；第(2)问转换后得到数字12、-13、3、-1，可先计算乘法部分，再通过加减运算调整得到-24。
【解析】
(1) 先明确各牌对应数值：黑桃7=7，黑桃3=3，红桃3=-3，梅花7=7，可列算式计算：
$7×[3-(-3)÷7]$
$=7×[3+\frac{3}{7}]$
$=7×3+7×\frac{3}{7}$
$=21+3=24$
(2) 先明确各牌对应数值：黑桃Q=12，红桃K=-13，梅花3=3，方块A=-1，可列算式计算：
$-1-(-13)-12×3$
$=-1+13-36$
$=12-36=-24$
（两问算式均不唯一，符合要求即可）
【答案】
(1) $7×[3-(-3)÷7]=24$
(2) $-1-(-13)-12×3=-24$
【知识点】
有理数混合运算，有理数符号法则，四则巧算
【点评】
本题结合趣味游戏考查有理数运算的应用，需要熟练掌握有理数的运算顺序和符号变化规则，解题时可多尝试不同运算组合，锻炼数感和运算灵活度。
【难度系数】
0.6
