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1 泥塑,俗称“彩塑”,是中国民间的一种传统古老艺术。师徒两人制作一批泥塑,师傅单独制作需8小时完成,徒弟单独制作需12小时完成。
(1)两人合作多少小时能制作完成这批泥塑?
想: ÷ =工作时间
方法一:假设这批泥塑有48个,下面列式正确的是()。
A. $48÷(8+12)$
B. $48÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})$
C. $48÷(48÷8+48÷12)$
方法二:把工作总量看作“1”。
①师傅每小时完成了(),徒弟每小时完成了(),两人合作,每小时完成()。
②两人合作多少小时能制作完成这批泥塑?
列式:
(2)根据方法二,我们可知$1-(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})×3$表示:
(3)如果这批泥塑由徒弟先做3小时,剩下的由师徒合作,还要多少小时能制作完成这批泥塑?
(1)两人合作多少小时能制作完成这批泥塑?
想: ÷ =工作时间
方法一:假设这批泥塑有48个,下面列式正确的是()。
A. $48÷(8+12)$
B. $48÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})$
C. $48÷(48÷8+48÷12)$
方法二:把工作总量看作“1”。
①师傅每小时完成了(),徒弟每小时完成了(),两人合作,每小时完成()。
②两人合作多少小时能制作完成这批泥塑?
列式:
(2)根据方法二,我们可知$1-(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})×3$表示:
(3)如果这批泥塑由徒弟先做3小时,剩下的由师徒合作,还要多少小时能制作完成这批泥塑?
答案
(1)
想：$\boldsymbol{工作总量} ÷ \boldsymbol{工作效率和} = 工作时间$
方法一：$\boldsymbol{C}$
方法二：
① 师傅每小时完成了($\boldsymbol{\frac{1}{8}}$)，徒弟每小时完成了($\boldsymbol{\frac{1}{12}}$)，两人合作，每小时完成($\boldsymbol{\frac{5}{24}}$)。
② 列式：$\boldsymbol{1÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=\frac{24}{5}}$（小时）
(2)
师徒两人合作3小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑总量的几分之几
(3)
列式：
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{12}×3)÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})&=\frac{3}{4}÷\frac{5}{24}\\&=\frac{18}{5}（小时）\end{aligned}$
答：还要$\frac{18}{5}$小时能制作完成这批泥塑。
想：$\boldsymbol{工作总量} ÷ \boldsymbol{工作效率和} = 工作时间$
方法一：$\boldsymbol{C}$
方法二：
① 师傅每小时完成了($\boldsymbol{\frac{1}{8}}$)，徒弟每小时完成了($\boldsymbol{\frac{1}{12}}$)，两人合作，每小时完成($\boldsymbol{\frac{5}{24}}$)。
② 列式：$\boldsymbol{1÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=\frac{24}{5}}$（小时）
(2)
师徒两人合作3小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑总量的几分之几
(3)
列式：
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{12}×3)÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})&=\frac{3}{4}÷\frac{5}{24}\\&=\frac{18}{5}（小时）\end{aligned}$
答：还要$\frac{18}{5}$小时能制作完成这批泥塑。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题核心是牢记“工作总量÷工作效率和=合作工作时间”的基本关系。第一问中，方法一假设泥塑总量为具体数量，需先分别算出师傅、徒弟的每小时制作量，求和得到效率和后，用总数量除以效率和就能得到合作时间，据此判断选项即可；方法二把工作总量看作单位“1”，单独完成时间的倒数就是各自的工作效率，相加得到合作效率后，用单位“1”除以合作效率即可得到合作时间。第二问结合式子各部分的含义分析：1是总工作量，(1/8+1/12)是合作效率，乘3是合作3小时的工作量，相减就是剩余工作量占总量的分率。第三问先算徒弟单独做3小时的工作量，用总工作量减去这部分得到剩余工作量，再除以合作效率就能求出还需要的时间。
【解析】
(1) 工程问题中求合作时间的基本公式为：$\boldsymbol{工作总量} ÷ \boldsymbol{工作效率和} = 工作时间$
方法一：假设这批泥塑共48个，师傅每小时做$48÷8=6$个，徒弟每小时做$48÷12=4$个，两人每小时共做$6+4=10$个，合作时间列式为$48÷(48÷8+48÷12)$，故选C。
方法二：①把工作总量看作单位“1”，师傅单独8小时完成，每小时完成$1÷8=\frac{1}{8}$；徒弟单独12小时完成，每小时完成$1÷12=\frac{1}{12}$；两人合作每小时完成$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{5}{24}$。
② 合作时间=工作总量÷工作效率和，列式计算：
$1÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=\frac{24}{5}$（小时）
(2) 式子中1是泥塑总工作量，$(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})×3$是师徒合作3小时完成的工作量，因此整个式子表示师徒合作3小时后，剩余未完成的泥塑占总量的几分之几。
(3) 先算徒弟3小时完成的工作量：$\frac{1}{12}×3=\frac{1}{4}$，剩余工作量为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，再除以合作效率得所需时间：
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{12}×3)÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})&=\frac{3}{4}÷\frac{5}{24}\\&=\frac{18}{5}（小时）\end{aligned}$
【答案】
(1) 工作总量，工作效率和；方法一：$\boldsymbol{C}$；方法二：①$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{24}}$；②$\boldsymbol{1÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=\frac{24}{5}}$（小时）
(2) 师徒两人合作3小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑总量的几分之几
(3) 还要$\boldsymbol{\frac{18}{5}}$小时能制作完成这批泥塑。
【知识点】
工程问题，分数四则运算，单位“1”应用
【点评】
本题围绕工程问题的核心数量关系设计，兼顾了假设具体数值和把总量看作单位“1”两种解题思路，从基础合作问题到分步做工的延伸问题，层次清晰，能有效考查对工程问题解题方法的掌握情况。
【难度系数】
0.75
这是典型的工程问题，解题核心是牢记“工作总量÷工作效率和=合作工作时间”的基本关系。第一问中，方法一假设泥塑总量为具体数量，需先分别算出师傅、徒弟的每小时制作量，求和得到效率和后，用总数量除以效率和就能得到合作时间，据此判断选项即可；方法二把工作总量看作单位“1”，单独完成时间的倒数就是各自的工作效率，相加得到合作效率后，用单位“1”除以合作效率即可得到合作时间。第二问结合式子各部分的含义分析：1是总工作量，(1/8+1/12)是合作效率，乘3是合作3小时的工作量，相减就是剩余工作量占总量的分率。第三问先算徒弟单独做3小时的工作量，用总工作量减去这部分得到剩余工作量，再除以合作效率就能求出还需要的时间。
【解析】
(1) 工程问题中求合作时间的基本公式为：$\boldsymbol{工作总量} ÷ \boldsymbol{工作效率和} = 工作时间$
方法一：假设这批泥塑共48个，师傅每小时做$48÷8=6$个，徒弟每小时做$48÷12=4$个，两人每小时共做$6+4=10$个，合作时间列式为$48÷(48÷8+48÷12)$，故选C。
方法二：①把工作总量看作单位“1”，师傅单独8小时完成，每小时完成$1÷8=\frac{1}{8}$；徒弟单独12小时完成，每小时完成$1÷12=\frac{1}{12}$；两人合作每小时完成$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{5}{24}$。
② 合作时间=工作总量÷工作效率和，列式计算：
$1÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=\frac{24}{5}$（小时）
(2) 式子中1是泥塑总工作量，$(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})×3$是师徒合作3小时完成的工作量，因此整个式子表示师徒合作3小时后，剩余未完成的泥塑占总量的几分之几。
(3) 先算徒弟3小时完成的工作量：$\frac{1}{12}×3=\frac{1}{4}$，剩余工作量为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，再除以合作效率得所需时间：
$\begin{aligned}(1-\frac{1}{12}×3)÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})&=\frac{3}{4}÷\frac{5}{24}\\&=\frac{18}{5}（小时）\end{aligned}$
【答案】
(1) 工作总量，工作效率和；方法一：$\boldsymbol{C}$；方法二：①$\boldsymbol{\frac{1}{8}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{24}}$；②$\boldsymbol{1÷(\frac{1}{8}+\frac{1}{12})=\frac{24}{5}}$（小时）
(2) 师徒两人合作3小时后，剩余未完成的泥塑占这批泥塑总量的几分之几
(3) 还要$\boldsymbol{\frac{18}{5}}$小时能制作完成这批泥塑。
【知识点】
工程问题，分数四则运算，单位“1”应用
【点评】
本题围绕工程问题的核心数量关系设计，兼顾了假设具体数值和把总量看作单位“1”两种解题思路，从基础合作问题到分步做工的延伸问题，层次清晰，能有效考查对工程问题解题方法的掌握情况。
【难度系数】
0.75
2 选一选。（将正确答案的序号填在括号里）
（1）随着科技的不断发展，人工智能配送车已从实验室走进了现实生活。如果两辆车同时配送，()小时可以将这些快递送完。
A.2
B.$\frac{7}{12}$
C.$\frac{12}{7}$
（1）随着科技的不断发展，人工智能配送车已从实验室走进了现实生活。如果两辆车同时配送，()小时可以将这些快递送完。
A.2
B.$\frac{7}{12}$
C.$\frac{12}{7}$
答案
C
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以把快递总工作量看作单位“1”，先分别求出两辆车的工作效率，再计算两车合作的效率和，最后根据“工作时间=工作总量÷工作效率和”就能求出共同配送需要的时间。
【解析】
我们把这批快递的总工作量看作单位“1”：
1. 第一辆车单独送3小时送完，它的工作效率为：$1÷3=\frac{1}{3}$
2. 第二辆车单独送4小时送完，它的工作效率为：$1÷4=\frac{1}{4}$
3. 两车同时配送的效率和为：$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$
4. 共同配送需要的时间为：$1÷\frac{7}{12}=\frac{12}{7}$（小时）
因此正确答案为选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数除法应用
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类应用题，解题时我们可以把快递总工作量看作单位“1”，先分别求出两辆车的工作效率，再计算两车合作的效率和，最后根据“工作时间=工作总量÷工作效率和”就能求出共同配送需要的时间。
【解析】
我们把这批快递的总工作量看作单位“1”：
1. 第一辆车单独送3小时送完，它的工作效率为：$1÷3=\frac{1}{3}$
2. 第二辆车单独送4小时送完，它的工作效率为：$1÷4=\frac{1}{4}$
3. 两车同时配送的效率和为：$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$
4. 共同配送需要的时间为：$1÷\frac{7}{12}=\frac{12}{7}$（小时）
因此正确答案为选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数除法应用
【点评】
本题属于工程问题的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
(2)一批布料,若都做上衣可以做15件,若都做裤子可以做20条,这批布料最多可以做()套这样的衣服。
A.8
B.9
C.10
A.8
B.9
C.10
答案
A
解析
【分析】
这道题是分数除法的实际应用类题目，我们可以按以下思路思考：首先把这批布料的总总量看作单位“1”，先分别计算做1件上衣、1条裤子各需要占总布料的几分之几，两者相加就是做1套衣服的用料占总量的分率；再用总布料“1”除以1套衣服的用料分率，就能得到可做的套数，注意最终结果要结合实际取整，剩余布料不够做1套时不能计入总数，要用去尾法取整。
【解析】
将这批布料的总量看作单位“1”：
1. 做1件上衣需要的布料：$1÷15=\frac{1}{15}$
2. 做1条裤子需要的布料：$1÷20=\frac{1}{20}$
3. 做1套衣服（1件上衣+1条裤子）需要的布料：
$\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{4}{60}+\frac{3}{60}=\frac{7}{60}$
4. 可做的套数：
$1÷\frac{7}{60}=\frac{60}{7}\approx8.57$
剩余布料不足以做1套完整的衣服，因此最多可以做8套。
【答案】
A
【知识点】
分数除法应用；单位“1”的运用；去尾法取近似值
【点评】
本题考查分数在实际生活中的应用，解题核心是准确把总布料设为单位“1”求出单套衣服的用料，同时要注意结合实际场景选择合适的取整方法，不能直接用四舍五入取整，避免出错。
【难度系数】
0.7
这道题是分数除法的实际应用类题目，我们可以按以下思路思考：首先把这批布料的总总量看作单位“1”，先分别计算做1件上衣、1条裤子各需要占总布料的几分之几，两者相加就是做1套衣服的用料占总量的分率；再用总布料“1”除以1套衣服的用料分率，就能得到可做的套数，注意最终结果要结合实际取整，剩余布料不够做1套时不能计入总数，要用去尾法取整。
【解析】
将这批布料的总量看作单位“1”：
1. 做1件上衣需要的布料：$1÷15=\frac{1}{15}$
2. 做1条裤子需要的布料：$1÷20=\frac{1}{20}$
3. 做1套衣服（1件上衣+1条裤子）需要的布料：
$\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{4}{60}+\frac{3}{60}=\frac{7}{60}$
4. 可做的套数：
$1÷\frac{7}{60}=\frac{60}{7}\approx8.57$
剩余布料不足以做1套完整的衣服，因此最多可以做8套。
【答案】
A
【知识点】
分数除法应用；单位“1”的运用；去尾法取近似值
【点评】
本题考查分数在实际生活中的应用，解题核心是准确把总布料设为单位“1”求出单套衣服的用料，同时要注意结合实际场景选择合适的取整方法，不能直接用四舍五入取整，避免出错。
【难度系数】
0.7
