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12. 如果$\sqrt[3]{2.37} \approx 1.333$，$\sqrt[3]{23.7} \approx 2.872$，那么$\sqrt[3]{0.0237} \approx$（
A.13.33
B.28.72
C.0.1333
D.0.2872
D
）A.13.33
B.28.72
C.0.1333
D.0.2872
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。首先观察待求的被开方数0.0237和已知的2.37、23.7的关联，可发现0.0237是将23.7的小数点向左移动3位得到的，对应立方根的小数点也需向左移动1位，就能快速算出结果。
【解析】
先对$\sqrt[3]{0.0237}$做变形处理：
$\sqrt[3]{0.0237}=\sqrt[3]{\frac{23.7}{1000}}=\frac{\sqrt[3]{23.7}}{\sqrt[3]{1000}}$
已知$\sqrt[3]{23.7}\approx2.872$，且$\sqrt[3]{1000}=10$，代入计算得：
$\frac{2.872}{10}=0.2872$
【答案】
D
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方根小数点移动规律
【点评】
本题考查立方根规律的应用，解题关键是准确匹配待求被开方数和已知被开方数的倍数关系，熟练掌握立方根的小数点移动规律可直接秒解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。首先观察待求的被开方数0.0237和已知的2.37、23.7的关联，可发现0.0237是将23.7的小数点向左移动3位得到的，对应立方根的小数点也需向左移动1位，就能快速算出结果。
【解析】
先对$\sqrt[3]{0.0237}$做变形处理：
$\sqrt[3]{0.0237}=\sqrt[3]{\frac{23.7}{1000}}=\frac{\sqrt[3]{23.7}}{\sqrt[3]{1000}}$
已知$\sqrt[3]{23.7}\approx2.872$，且$\sqrt[3]{1000}=10$，代入计算得：
$\frac{2.872}{10}=0.2872$
【答案】
D
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方根小数点移动规律
【点评】
本题考查立方根规律的应用，解题关键是准确匹配待求被开方数和已知被开方数的倍数关系，熟练掌握立方根的小数点移动规律可直接秒解，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
13. 如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B,点A表示$-\sqrt{2}$,设点B所表示的数为m。
(1)求m的值。
(2)求$|m-1|+(m-2)^2$的值。
(1)求m的值。
(2)求$|m-1|+(m-2)^2$的值。
答案
(1)$m=-\sqrt{2} +2$。
(2)原式=$|-\sqrt{2} +2-1|+(-\sqrt{2} +2-2)^2=|-\sqrt{2} +1|+(-\sqrt{2} )^2=\sqrt{2} -1+2=\sqrt{2} +1$。
(2)原式=$|-\sqrt{2} +2-1|+(-\sqrt{2} +2-2)^2=|-\sqrt{2} +1|+(-\sqrt{2} )^2=\sqrt{2} -1+2=\sqrt{2} +1$。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先回忆数轴上点的平移规律：点沿数轴向右移动，对应的数等于原数加上移动的单位长度，已知点A表示的数，直接结合移动距离即可求出m的值。解决第(2)问时，先将第(1)问求出的m代入待求式，按照实数运算顺序，先分别处理绝对值和乘方部分：计算绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，根据负数的绝对值是它的相反数去绝对值符号；计算乘方时按照平方的运算规则计算，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
(1) 已知数轴上点向右平移时，对应数值增加移动的单位长度。
点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁向右爬2个单位长度到达点B，因此：
$m = -\sqrt{2} + 2$
(2) 将$m = 2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+(m-2)^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=|(2-\sqrt{2})-1| + (2-\sqrt{2}-2)^2 \\&=|1-\sqrt{2}| + (-\sqrt{2})^2\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，即$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；同时$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$，因此：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+2 \\&=\sqrt{2}+1\end{aligned}$
【答案】
(1)$m=2-\sqrt{2}$（或$-\sqrt{2}+2$）
(2)$\sqrt{2}+1$
【知识点】
数轴平移规律，绝对值化简，实数运算
【点评】
本题结合数轴情境考查实数的基础运算，解题核心是掌握数轴上点的平移规则和实数运算的顺序，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先回忆数轴上点的平移规律：点沿数轴向右移动，对应的数等于原数加上移动的单位长度，已知点A表示的数，直接结合移动距离即可求出m的值。解决第(2)问时，先将第(1)问求出的m代入待求式，按照实数运算顺序，先分别处理绝对值和乘方部分：计算绝对值时，先判断绝对值内式子的正负，根据负数的绝对值是它的相反数去绝对值符号；计算乘方时按照平方的运算规则计算，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
(1) 已知数轴上点向右平移时，对应数值增加移动的单位长度。
点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁向右爬2个单位长度到达点B，因此：
$m = -\sqrt{2} + 2$
(2) 将$m = 2-\sqrt{2}$代入$|m-1|+(m-2)^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=|(2-\sqrt{2})-1| + (2-\sqrt{2}-2)^2 \\&=|1-\sqrt{2}| + (-\sqrt{2})^2\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，即$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；同时$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$，因此：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+2 \\&=\sqrt{2}+1\end{aligned}$
【答案】
(1)$m=2-\sqrt{2}$（或$-\sqrt{2}+2$）
(2)$\sqrt{2}+1$
【知识点】
数轴平移规律，绝对值化简，实数运算
【点评】
本题结合数轴情境考查实数的基础运算，解题核心是掌握数轴上点的平移规则和实数运算的顺序，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
14. 设实数$a,b$,若$a+b$的结果是有理数，则（
A.$a$为有理数,$b$为有理数
B.$a-b$的结果必为有理数
C.$a$为无理数,$b$为有理数
D.$a-b$的结果可能为无理数
D
）A.$a$为有理数,$b$为有理数
B.$a-b$的结果必为有理数
C.$a$为无理数,$b$为有理数
D.$a-b$的结果可能为无理数
答案
D
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握有理数和无理数的加减运算规律，采用举反例的方法逐一验证选项：如果能找到符合题目条件（$a+b$为有理数）但不符合选项结论的例子，就说明该选项错误；如果能找到符合条件也符合选项结论的例子，就能证明“可能”类的表述正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：举反例，令$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$，此时$a+b=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$是有理数，但$a$和$b$都是无理数，因此A错误。
2. 验证选项B：沿用上面的例子，$a-b=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$是无理数，说明$a-b$不一定是有理数，因此B错误。
3. 验证选项C：举反例，令$a=1$，$b=2$，此时$a+b=3$是有理数，且$a$、$b$都是有理数，因此C错误。
4. 验证选项D：由步骤2的例子可知，当$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$时，$a+b$是有理数，$a-b$是无理数，说明$a-b$的结果可能为无理数，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
实数的加减运算；有理数与无理数；反例法判断命题
【点评】
本题重点考察对实数运算性质的理解，易错点是误以为两数和为有理数则两个数均为有理数，熟练运用举反例的方法可快速排除错误选项，属于基础概念类的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是掌握有理数和无理数的加减运算规律，采用举反例的方法逐一验证选项：如果能找到符合题目条件（$a+b$为有理数）但不符合选项结论的例子，就说明该选项错误；如果能找到符合条件也符合选项结论的例子，就能证明“可能”类的表述正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：举反例，令$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$，此时$a+b=\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$是有理数，但$a$和$b$都是无理数，因此A错误。
2. 验证选项B：沿用上面的例子，$a-b=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$是无理数，说明$a-b$不一定是有理数，因此B错误。
3. 验证选项C：举反例，令$a=1$，$b=2$，此时$a+b=3$是有理数，且$a$、$b$都是有理数，因此C错误。
4. 验证选项D：由步骤2的例子可知，当$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$时，$a+b$是有理数，$a-b$是无理数，说明$a-b$的结果可能为无理数，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
实数的加减运算；有理数与无理数；反例法判断命题
【点评】
本题重点考察对实数运算性质的理解，易错点是误以为两数和为有理数则两个数均为有理数，熟练运用举反例的方法可快速排除错误选项，属于基础概念类的常考题型。
【难度系数】
0.7
15. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是$\sqrt{2}$的小数部分，又例如：因为$2^2＜(\sqrt{7})^2＜3^2$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$(\sqrt{7}-2)$。请解答：
(1)$\sqrt{11}$的整数部分是
(2)已知$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{41}$的整数部分为$b$，求$a+b-\sqrt{5}$的值。
(3)已知$x$是$3+\sqrt{5}$的整数部分，$y$是其小数部分，直接写出$x-y$的值。
(1)$\sqrt{11}$的整数部分是
3
，小数部分是$\sqrt{11}-3$
。(2)已知$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，$\sqrt{41}$的整数部分为$b$，求$a+b-\sqrt{5}$的值。
(3)已知$x$是$3+\sqrt{5}$的整数部分，$y$是其小数部分，直接写出$x-y$的值。
答案
(1)3 $\sqrt{11} -3$
(2)因为$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜\sqrt{9}$ ,所以$2＜\sqrt{5} ＜3$。因为$\sqrt{5}$的小数部分为$a$,所以$a=\sqrt{5} -2$。因为$\sqrt{36} ＜\sqrt{41} ＜\sqrt{49}$ ,所以$6＜\sqrt{41} ＜7$,因为$\sqrt{41}$的整数部分为$b$,所以$b=6$。所以$a+b-\sqrt{5} =\sqrt{5} -2+6-\sqrt{5} =4$。
(3)$7-\sqrt{5}$
(2)因为$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜\sqrt{9}$ ,所以$2＜\sqrt{5} ＜3$。因为$\sqrt{5}$的小数部分为$a$,所以$a=\sqrt{5} -2$。因为$\sqrt{36} ＜\sqrt{41} ＜\sqrt{49}$ ,所以$6＜\sqrt{41} ＜7$,因为$\sqrt{41}$的整数部分为$b$,所以$b=6$。所以$a+b-\sqrt{5} =\sqrt{5} -2+6-\sqrt{5} =4$。
(3)$7-\sqrt{5}$
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是先通过相邻平方数估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再用“无理数本身减去整数部分”得到小数部分，最后代入对应代数式计算即可。
(1) 先找相邻的两个整数，使得它们的平方分别小于和大于11，就能确定$\sqrt{11}$的范围，进而得到整数部分和小数部分；
(2) 分别估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{41}$的范围，求出a和b的值，再代入式子计算；
(3) 先估算$\sqrt{5}$的范围，再加3得到$3+\sqrt{5}$的范围，求出x和y的值，最后计算$x-y$。
【解析】
(1) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，所以$3＜\sqrt{11}＜4$，因此$\sqrt{11}$的整数部分是3，小数部分为$\sqrt{11}-3$。
(2) 首先估算$\sqrt{5}$的范围：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$；
再估算$\sqrt{41}$的范围：因为$\sqrt{36}＜\sqrt{41}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{41}＜7$，所以$\sqrt{41}$的整数部分$b=6$；
将a、b代入式子得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}=4$。
(3) 因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$3+2＜3+\sqrt{5}＜3+3$，即$5＜3+\sqrt{5}＜6$，因此$3+\sqrt{5}$的整数部分$x=5$，小数部分$y=3+\sqrt{5}-5=\sqrt{5}-2$；
所以$x-y=5-(\sqrt{5}-2)=7-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $3$，$\sqrt{11}-3$
(2) $4$
(3) $7-\sqrt{5}$
【知识点】
无理数大小估算，实数的运算，无理数整数与小数部分判定
【点评】
本题的解题关键是掌握利用相邻平方数估算无理数取值范围的方法，先确定无理数的整数部分，再推导小数部分，代入代数式计算时注意去括号的符号规则，整体属于基础常考题，熟练掌握估算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.75
解决这类问题的核心思路是先通过相邻平方数估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再用“无理数本身减去整数部分”得到小数部分，最后代入对应代数式计算即可。
(1) 先找相邻的两个整数，使得它们的平方分别小于和大于11，就能确定$\sqrt{11}$的范围，进而得到整数部分和小数部分；
(2) 分别估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{41}$的范围，求出a和b的值，再代入式子计算；
(3) 先估算$\sqrt{5}$的范围，再加3得到$3+\sqrt{5}$的范围，求出x和y的值，最后计算$x-y$。
【解析】
(1) 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，所以$3＜\sqrt{11}＜4$，因此$\sqrt{11}$的整数部分是3，小数部分为$\sqrt{11}-3$。
(2) 首先估算$\sqrt{5}$的范围：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$；
再估算$\sqrt{41}$的范围：因为$\sqrt{36}＜\sqrt{41}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{41}＜7$，所以$\sqrt{41}$的整数部分$b=6$；
将a、b代入式子得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}=4$。
(3) 因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$3+2＜3+\sqrt{5}＜3+3$，即$5＜3+\sqrt{5}＜6$，因此$3+\sqrt{5}$的整数部分$x=5$，小数部分$y=3+\sqrt{5}-5=\sqrt{5}-2$；
所以$x-y=5-(\sqrt{5}-2)=7-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $3$，$\sqrt{11}-3$
(2) $4$
(3) $7-\sqrt{5}$
【知识点】
无理数大小估算，实数的运算，无理数整数与小数部分判定
【点评】
本题的解题关键是掌握利用相邻平方数估算无理数取值范围的方法，先确定无理数的整数部分，再推导小数部分，代入代数式计算时注意去括号的符号规则，整体属于基础常考题，熟练掌握估算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.75
