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任务一 画正比例函数图象
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作函数的图象？
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的
探究2：在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数$y=-x$的图象。
(1)列表。
(2)描点并连线。
阅读教科书内容，完成下列探究。
探究1：什么叫作函数的图象？
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的
横坐标
和纵坐标
，在平面直角坐标系
中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。探究2：在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数$y=-x$的图象。
(1)列表。
(2)描点并连线。
答案
探究1：横坐标、纵坐标、平面直角坐标系
探究2：略
探究2：略
解析
【分析】
本题分为概念考查和作图考查两部分。探究1是对函数图象定义的直接考查，解题时只需回忆教材中函数图象的定义，对应填入相关概念即可；探究2考查正比例函数图象的画法，遵循“列表、描点、连线”的基本步骤即可完成作图，正比例函数图象是过原点的直线，列表时选取2~3组简单的对应值就能快速完成作图。
【解析】
探究1：根据函数图象的定义，把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象，因此三个空依次填横坐标、纵坐标、平面直角坐标系。
探究2：(1)列表：可选取简单的x值，如x=-2、-1、0、1、2，代入y=-x计算得对应y值为2、1、0、-1、-2，填入表格即可；(2)描点：在平面直角坐标系中依次描出(-2,2)、(-1,1)、(0,0)、(1,-1)、(2,-2)这些点；连线：由于正比例函数图象是直线，用直线将描出的点连接起来即可得到y=-x的图象。
【答案】
探究1：横坐标、纵坐标、平面直角坐标系
探究2：略
【知识点】
函数图象的定义；描点法作函数图象；正比例函数图象特征
【点评】
本题是函数图象学习的入门题型，侧重考查基础概念的记忆和基础作图能力的掌握，相关知识是后续学习各类函数性质的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题分为概念考查和作图考查两部分。探究1是对函数图象定义的直接考查，解题时只需回忆教材中函数图象的定义，对应填入相关概念即可；探究2考查正比例函数图象的画法，遵循“列表、描点、连线”的基本步骤即可完成作图，正比例函数图象是过原点的直线，列表时选取2~3组简单的对应值就能快速完成作图。
【解析】
探究1：根据函数图象的定义，把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象，因此三个空依次填横坐标、纵坐标、平面直角坐标系。
探究2：(1)列表：可选取简单的x值，如x=-2、-1、0、1、2，代入y=-x计算得对应y值为2、1、0、-1、-2，填入表格即可；(2)描点：在平面直角坐标系中依次描出(-2,2)、(-1,1)、(0,0)、(1,-1)、(2,-2)这些点；连线：由于正比例函数图象是直线，用直线将描出的点连接起来即可得到y=-x的图象。
【答案】
探究1：横坐标、纵坐标、平面直角坐标系
探究2：略
【知识点】
函数图象的定义；描点法作函数图象；正比例函数图象特征
【点评】
本题是函数图象学习的入门题型，侧重考查基础概念的记忆和基础作图能力的掌握，相关知识是后续学习各类函数性质的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数$y=-1.5x$与$y=-4x$的图象。
答案
解：
利用两点法绘制正比例函数的图象，正比例函数的图象均过原点$(0,0)$：
1. 绘制$y=-1.5x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=-3$，得到点$(0,0)$和$(2,-3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-1.5x$的图象。
2. 绘制$y=-4x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-4$，得到点$(0,0)$和$(1,-4)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-4x$的图象。
利用两点法绘制正比例函数的图象，正比例函数的图象均过原点$(0,0)$：
1. 绘制$y=-1.5x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=-3$，得到点$(0,0)$和$(2,-3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-1.5x$的图象。
2. 绘制$y=-4x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-4$，得到点$(0,0)$和$(1,-4)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-4x$的图象。
解析
【分析】
正比例函数的图象是过原点的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，画正比例函数图象只需确定两个点即可，其中一个点固定为原点$(0,0)$，另一个点尽量选取横、纵坐标均为整数的点，方便计算和描点，分别对两个正比例函数取点后，描点、连线即可得到对应的图象。
【解析】
利用两点法绘制正比例函数的图象，正比例函数的图象均过原点$(0,0)$：
1. 绘制$y=-1.5x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，代入解析式得$y=-1.5×2=-3$，得到点$(0,0)$和$(2,-3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-1.5x$的图象。
2. 绘制$y=-4x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，代入解析式得$y=-4×1=-4$，得到点$(0,0)$和$(1,-4)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-4x$的图象。
【答案】
利用两点法绘制正比例函数的图象，正比例函数的图象均过原点$(0,0)$：
1. 绘制$y=-1.5x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=-3$，得到点$(0,0)$和$(2,-3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-1.5x$的图象。
2. 绘制$y=-4x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-4$，得到点$(0,0)$和$(1,-4)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-4x$的图象。
【知识点】
1. 正比例函数图象特征
2. 两点法画函数图象
【点评】
本题考察正比例函数图象的基础画法，核心是掌握正比例函数图象过原点的特点，选取坐标为整数的点可降低描点难度，作图时需注意两个函数图象在同一坐标系中的区分。
【难度系数】
0.9
正比例函数的图象是过原点的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，画正比例函数图象只需确定两个点即可，其中一个点固定为原点$(0,0)$，另一个点尽量选取横、纵坐标均为整数的点，方便计算和描点，分别对两个正比例函数取点后，描点、连线即可得到对应的图象。
【解析】
利用两点法绘制正比例函数的图象，正比例函数的图象均过原点$(0,0)$：
1. 绘制$y=-1.5x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，代入解析式得$y=-1.5×2=-3$，得到点$(0,0)$和$(2,-3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-1.5x$的图象。
2. 绘制$y=-4x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，代入解析式得$y=-4×1=-4$，得到点$(0,0)$和$(1,-4)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-4x$的图象。
【答案】
利用两点法绘制正比例函数的图象，正比例函数的图象均过原点$(0,0)$：
1. 绘制$y=-1.5x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=-3$，得到点$(0,0)$和$(2,-3)$，在平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-1.5x$的图象。
2. 绘制$y=-4x$的图象：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-4$，得到点$(0,0)$和$(1,-4)$，在同一平面直角坐标系中描出这两个点，过两点作直线，所得直线就是$y=-4x$的图象。
【知识点】
1. 正比例函数图象特征
2. 两点法画函数图象
【点评】
本题考察正比例函数图象的基础画法，核心是掌握正比例函数图象过原点的特点，选取坐标为整数的点可降低描点难度，作图时需注意两个函数图象在同一坐标系中的区分。
【难度系数】
0.9
任务二 理解正比例函数的性质
如图，在同一平面直角坐标系中画出正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$，$y_2=2x$，$y_3=-\frac{1}{2}x$和$y_4=-3x$的图象，并完成后面的探究。
如图，在同一平面直角坐标系中画出正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$，$y_2=2x$，$y_3=-\frac{1}{2}x$和$y_4=-3x$的图象，并完成后面的探究。
答案
解：4个函数的大致图象如图所示。
解析
【分析】
要画正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象特征：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是经过原点的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，我们只需要再找到1个除原点外的函数上的点，将该点和原点连接并延长，就能得到对应的函数图象。我们可以取$x=1$，代入每个函数求出对应的$y$值，得到第二个点的坐标，依次连线即可完成作图。
【解析】
画正比例函数图象采用两点法，步骤如下：
1. 明确正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象恒过原点$(0,0)$，因此只需再确定1个点即可；
2. 分别计算四个函数当$x=1$时的$y$值，得到对应点坐标：
① 对于$y_1=\frac{1}{2}x$，当$x=1$时，$y=\frac{1}{2}$，即点$(1,\frac{1}{2})$；
② 对于$y_2=2x$，当$x=1$时，$y=2$，即点$(1,2)$；
③ 对于$y_3=-\frac{1}{2}x$，当$x=1$时，$y=-\frac{1}{2}$，即点$(1,-\frac{1}{2})$；
④ 对于$y_4=-3x$，当$x=1$时，$y=-3$，即点$(1,-3)$；
3. 在坐标系中分别描出上述四个点，将每个点与原点$(0,0)$连接后向两端延长，即可得到四个正比例函数的图象。
【答案】
4个函数的大致图象如图所示。
【知识点】
正比例函数图象特征；两点法画函数图象；正比例函数性质
【点评】
本题是正比例函数图象的基础作图题，通过两点法作图的过程，能直观感知比例系数$k$对函数图象倾斜方向和倾斜程度的影响，有助于理解正比例函数的相关性质。
【难度系数】
0.8
要画正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象特征：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是经过原点的直线，根据“两点确定一条直线”的原理，我们只需要再找到1个除原点外的函数上的点，将该点和原点连接并延长，就能得到对应的函数图象。我们可以取$x=1$，代入每个函数求出对应的$y$值，得到第二个点的坐标，依次连线即可完成作图。
【解析】
画正比例函数图象采用两点法，步骤如下：
1. 明确正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象恒过原点$(0,0)$，因此只需再确定1个点即可；
2. 分别计算四个函数当$x=1$时的$y$值，得到对应点坐标：
① 对于$y_1=\frac{1}{2}x$，当$x=1$时，$y=\frac{1}{2}$，即点$(1,\frac{1}{2})$；
② 对于$y_2=2x$，当$x=1$时，$y=2$，即点$(1,2)$；
③ 对于$y_3=-\frac{1}{2}x$，当$x=1$时，$y=-\frac{1}{2}$，即点$(1,-\frac{1}{2})$；
④ 对于$y_4=-3x$，当$x=1$时，$y=-3$，即点$(1,-3)$；
3. 在坐标系中分别描出上述四个点，将每个点与原点$(0,0)$连接后向两端延长，即可得到四个正比例函数的图象。
【答案】
4个函数的大致图象如图所示。
【知识点】
正比例函数图象特征；两点法画函数图象；正比例函数性质
【点评】
本题是正比例函数图象的基础作图题，通过两点法作图的过程，能直观感知比例系数$k$对函数图象倾斜方向和倾斜程度的影响，有助于理解正比例函数的相关性质。
【难度系数】
0.8
探究1：正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$，$y_2=2x$的图象有什么共同点？
答案
解：函数的函数值 y 都随着 x 的增大而增大，即图象呈上升趋势；函数的图象都经过点(0，0)；函数的图象都经过第一、三象限。
解析
【分析】
要找出两个正比例函数的共同点，我们可以从正比例函数的特殊点、图象所在象限、增减性这几个维度入手分析。首先观察两个函数的比例系数k：$y_1=\frac{1}{2}x$的k为$\frac{1}{2}$，$y_2=2x$的k为2，二者均大于0，结合k＞0时正比例函数的通用性质，即可梳理出二者的共同点。
【解析】
1. 判断图象经过的特殊点：把$x=0$分别代入两个函数，可得$y_1=0$，$y_2=0$，因此两个函数的图象都经过原点$(0,0)$。
2. 判断图象所在象限：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）中，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，两个函数的k都大于0，因此图象都经过第一、三象限。
3. 判断增减性：当$k＞0$时，正比例函数的函数值$y$随$x$的增大而增大，图象呈上升趋势，因此两个函数的y都随x的增大而增大，图象呈上升趋势。
【答案】
函数的函数值 y 都随着 x 的增大而增大，即图象呈上升趋势；函数的图象都经过点(0，0)；函数的图象都经过第一、三象限。
【知识点】
正比例函数的图象、正比例函数的性质
【点评】
本题考查正比例函数的基础性质，重点要求掌握比例系数k的符号对函数图象位置、增减性的影响，是正比例函数章节的基础巩固题型。
【难度系数】
0.8
要找出两个正比例函数的共同点，我们可以从正比例函数的特殊点、图象所在象限、增减性这几个维度入手分析。首先观察两个函数的比例系数k：$y_1=\frac{1}{2}x$的k为$\frac{1}{2}$，$y_2=2x$的k为2，二者均大于0，结合k＞0时正比例函数的通用性质，即可梳理出二者的共同点。
【解析】
1. 判断图象经过的特殊点：把$x=0$分别代入两个函数，可得$y_1=0$，$y_2=0$，因此两个函数的图象都经过原点$(0,0)$。
2. 判断图象所在象限：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）中，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，两个函数的k都大于0，因此图象都经过第一、三象限。
3. 判断增减性：当$k＞0$时，正比例函数的函数值$y$随$x$的增大而增大，图象呈上升趋势，因此两个函数的y都随x的增大而增大，图象呈上升趋势。
【答案】
函数的函数值 y 都随着 x 的增大而增大，即图象呈上升趋势；函数的图象都经过点(0，0)；函数的图象都经过第一、三象限。
【知识点】
正比例函数的图象、正比例函数的性质
【点评】
本题考查正比例函数的基础性质，重点要求掌握比例系数k的符号对函数图象位置、增减性的影响，是正比例函数章节的基础巩固题型。
【难度系数】
0.8
探究2：正比例函数$y_3=-\frac{1}{2}x$，$y_4=-3x$的图象有什么共同点？
探究3：关于正比例函数的图象与性质，你总结出了什么规律？
探究3：关于正比例函数的图象与性质，你总结出了什么规律？
答案
探究2 解：函数的函数值 y 都随着 x 的增大而减小，即图象呈下降趋势；函数的图象都经过点(0，0)；函数的图象都经过第二、四象限。
探究3 解：在正比例函数 $y=kx$ 中，
(1)当 $k＞0$ 时，图象经过第一、三象限，y 的值随着 x 值的增大而增大；
(2)当 $k＜0$ 时，图象经过第二、四象限，y 的值随着 x 值的增大而减小。
探究3 解：在正比例函数 $y=kx$ 中，
(1)当 $k＞0$ 时，图象经过第一、三象限，y 的值随着 x 值的增大而增大；
(2)当 $k＜0$ 时，图象经过第二、四象限，y 的值随着 x 值的增大而减小。
解析
【分析】
探究2的思考思路：先回忆正比例函数的基本结构为$y=kx$（k为常数，$k≠0$），其图象是过原点的直线。首先观察给出的两个函数的比例系数$k$均为负数，再分别从图象经过的特殊点、所在象限、增减性三个维度寻找共同特征即可。
探究3的思考思路：在探究2的基础上，结合k为正数时正比例函数的图象特征，分$k＞0$和$k＜0$两类情况，分别总结对应函数图象经过的象限、y随x的变化规律即可。
【解析】
探究2解答：
对比两个函数的图象特征可得三个共同点：
1. 两个函数的函数值y都随x的增大而减小，图象呈下降趋势；
2. 两个函数的图象都是过原点的直线，都经过点$(0,0)$；
3. 两个函数的图象都经过第二、四象限。
探究3解答：
总结正比例函数$y=kx$（k为常数，$k≠0$）的图象与性质规律如下：
(1) 当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大；
(2) 当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小。
【答案】
探究2：函数的函数值 y 都随着 x 的增大而减小，即图象呈下降趋势；函数的图象都经过点(0，0)；函数的图象都经过第二、四象限。
探究3：在正比例函数 $y=kx$ 中，(1)当 $k＞0$ 时，图象经过第一、三象限，y 的值随着 x 值的增大而增大；(2)当 $k＜0$ 时，图象经过第二、四象限，y 的值随着 x 值的增大而减小。
【知识点】
正比例函数的图象、正比例函数的性质
【点评】
本题通过对比具体正比例函数的图象特征引导归纳通用性质，是掌握正比例函数图象与性质的基础题型，解题的核心是明确比例系数k的符号对函数图象走向、所在象限及增减性的决定作用。
【难度系数】
0.8
探究2的思考思路：先回忆正比例函数的基本结构为$y=kx$（k为常数，$k≠0$），其图象是过原点的直线。首先观察给出的两个函数的比例系数$k$均为负数，再分别从图象经过的特殊点、所在象限、增减性三个维度寻找共同特征即可。
探究3的思考思路：在探究2的基础上，结合k为正数时正比例函数的图象特征，分$k＞0$和$k＜0$两类情况，分别总结对应函数图象经过的象限、y随x的变化规律即可。
【解析】
探究2解答：
对比两个函数的图象特征可得三个共同点：
1. 两个函数的函数值y都随x的增大而减小，图象呈下降趋势；
2. 两个函数的图象都是过原点的直线，都经过点$(0,0)$；
3. 两个函数的图象都经过第二、四象限。
探究3解答：
总结正比例函数$y=kx$（k为常数，$k≠0$）的图象与性质规律如下：
(1) 当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大；
(2) 当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小。
【答案】
探究2：函数的函数值 y 都随着 x 的增大而减小，即图象呈下降趋势；函数的图象都经过点(0，0)；函数的图象都经过第二、四象限。
探究3：在正比例函数 $y=kx$ 中，(1)当 $k＞0$ 时，图象经过第一、三象限，y 的值随着 x 值的增大而增大；(2)当 $k＜0$ 时，图象经过第二、四象限，y 的值随着 x 值的增大而减小。
【知识点】
正比例函数的图象、正比例函数的性质
【点评】
本题通过对比具体正比例函数的图象特征引导归纳通用性质，是掌握正比例函数图象与性质的基础题型，解题的核心是明确比例系数k的符号对函数图象走向、所在象限及增减性的决定作用。
【难度系数】
0.8
